广东省深圳市龙岗区同心实验学校2021-2022学年八年级下学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省深圳市龙岗区同心实验学校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）1.下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称的概念，注意中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.若，则下列不等式中错误的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据a+3>b+3，可以得出a>b，再根据不等式的性质逐一判断选项即可．【详解】解：A．由a+3>b+3，可得a>b，不等式两边同乘以，不等式改变方向，，故A正确，不符合题意．B．由a+3>b+3，可得a>b，不等式两边同乘以−2，不等式改变方向，−2a<−2b，故B错误，符合题意．C．由a+3>b+3，可得a>b，不等式两边同时减2，不等式不改变方向，a−2>b−2，故C正确，不符合题意．D．由a+3>b+3，可得a>b，则−(−a)>−(−b),故D正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，注意不等式两边同时除以或同时乘以一个负数，不等号方向发生改变，熟知不等式的性质是解题的关键．3.下列因式分解正确的是（）A.3p2-3q2=（3p+3q）（p-q） B.m4-1=（m2+1）（m2-1）C.2p+2q+1=2（p+q）+1 D.m2-4m+4=（m-2）2【答案】D【解析】【分析】利用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式法分别因式分解分析得出答案．【详解】解：选项A：3p2−3q2＝3（p2−q2）＝3（p＋q）（p−q），不符合题意；选项B：m4−1＝（m2＋1）（m2−1）＝m4−1＝（m2＋1）（m＋1）（m−1），不符合题意；选项C：2p＋2q＋1不能进行因式分解，不符合题意；选项D：m2−4m＋4＝（m−2）2，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4.在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A.三角形三条角平分线的交点 B.三角形三条边的垂直平分线的交点C.三角形三条中线的交点 D.三角形三条高的交点【答案】B【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质解答即可．【详解】解：∵点到三角形三个顶点的距离相等，∴这个点一定是三角形三条边的垂直平分线的交点，故选：B．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．5.如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由尺规作图的作法可知，MN是BC的垂直平分线，从而得到BD=CD,再根据等边对等角，外角的性质，证明∠CDA=∠A=2∠B，即可解决问题．【详解】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，∴DC=DB，∴∠B=∠DCB，∵∠CDA=∠B+∠DCB，∴∠CDA=2∠B，∵CD=CA，∴∠CDA=∠A=50°，∴∠B=25°，∵∴故选：D．【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．6.已知实数满足，则以的值为两边的等腰三角形的周长是（）A.10 B.8或10 C.8 D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】先根据非负数的性质求出a和b的值，然后分两种情况求解即可.【详解】∵，∴a-2=0，b-4=0，∴a=2，b=4，当a为腰时，2+2=4，不合题意，舍去；当b为腰时，2+4>4，符合题意，∴周长=4+4+2=10.故选：A.【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用，解题的关键是掌握已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要．7.若多项式分解因式的结果为，则的值分别为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将去括号化为多项式，依次对应关系得到a与b的值．【详解】解：，∵多项式分解因式结果为，∴a=1，b=-6，故选：A．【点睛】此题考查了整式的乘法计算法则：多项式乘以多项式及单项式乘以多项式，熟记计算法则是解题的关键．8.如图，面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是BC长的2倍，则图中四边形ACED的面积是()A.10 B.15 C.20 D.25【答案】B【解析】【详解】分析：设点A到BC的距离为h，根据平移的性质用BC表示出AD、CE，然后根据三角形的面积公式与梯形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：设点A到BC距离为h，则S△ABC=BC•h=5∵平移的距离是BC的长的2倍∴AD=2BC，CE=BC∴四边形ACED的面积=（AD+CE）•h=（2BC+BC）•h=3×BC•h=3×5=15故选B点睛：本题考查了平移的性质，三角形的面积，主要用了对应点间的距离等于平移的距离的性质．9.如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，若，则（）A.75 B.100 C.120 D.125【答案】B【解析】【分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE2+CF2=EF2．【详解】∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=100．故选：B【点睛】本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用．10.如图，等边三角形△ABC的边长为2，点O是△ABC的重心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②BD＋BE＝2；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为3，上述结论中正确的个数是（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短计算判断即可．【详解】解：连接OB、OC，如图，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵点O是△ABC的中心，∴OB＝OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°∴∠BOC＝120°，即∠BOE＋∠COE＝120°，而∠DOE＝120°，即∠BOE＋∠BOD＝120°，∴∠BOD＝∠COE，且BO＝CO，∠OBD＝∠OCE，∴△BOD≌△COE（ASA），∴BD＝CE，OD＝OE，所以①正确；∴BD＋BE＝CE＋BE＝BC＝2，所以②正确；∴S△BOD＝S△COE，∴四边形ODBE的面积＝＝，所以③正确；作OH⊥DE于H，如图，则DH＝EH，∵∠DOE＝120°，∴∠ODE＝∠OEH＝30°，∴OH＝OE，HE＝OH＝OE，∴DE＝OE，∵BD＝CE，∴△BDE的周长＝BD＋BE＋DE＝CE＋BE＋DE＝BC＋DE＝2＋DE＝2＋OE，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE＝，∴△BDE周长的最小值＝2＋1＝3，∴④正确．故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，垂心的意义，垂线段最短，熟练掌握等边三角形的性质，垂线段最短是解题的关键．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11.分解因式：____．【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行分解．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是先提取公因式，再利用公式进行分解．注意：因式分解要彻底．12.如图，一次函数与一次函数图象交于点（，n），则关于x的不等式的解集为________.【答案】【解析】【分析】直接根据一次函数与一元一次不等式的联系求解即可．【详解】解：不等式表示的是一次函数图象位于一次函数图象的下方则由图象可得：，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的联系，掌握理解一次函数与一元一次不等式的联系是解题关键．13.如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为10，则的周长为__________．【答案】14【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可得，从而可得答案．【详解】解：是的垂直平分线．，的周长故答案为：【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．14.若关于的不等式组有解，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】先分别解出两个不等式得x<3，，再根据不等式组有解可得，解这个不等式即可．【详解】解：由不等式①得x<3，由不等式②得，因为不等式组有解所以，解得m<4，故答案为：m<4．【点睛】本题考查利用一元一次不等式组有解求字母参数的取值范围，解题关键是列出关于字母参数的不等式．15.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ，则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为________．【答案】【解析】【分析】将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到Rt△EBD，则此时E，C，B三点在同一直线上，得出Q的运动轨迹为线段ED，当CQ⊥ED时，CQ的长度最小，由直角三角形的性质及三角形中位线定理可得出答案．【详解】解：将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到Rt△EBD，则此时E，C，B三点在同一直线上，∵∠ABC=60°，∠PBQ=60°，∴∠ABP=∠EBQ，随着P点运动，总有AB=EB，PB=QB，∴总有△APB≌△EQB（SAS），即E，Q，D三点在同一直线上，∴Q的运动轨迹为线段ED，∴当CQ⊥ED时，CQ的长度最小，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，∴BC=BD=3，EC=3，即C为EB的中点，∵CQ⊥ED，∠D=90°，∴CQ∥BD，CQ为△EBD的中位线，∴CQ=BD=，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，共55分）16.把下面各式分解因式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）（m-4n）（m+4n）【解析】【分析】（1）提取公因式即可得到答案；（2）利用平方差公式分解因式即可．【小问1详解】解：原式=；【小问2详解】解：原式=（m-4n）（m+4n）；【点睛】此题主要考查了提取公因式法、公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．17.解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．再求它的所有的非负整数．【答案】0，1，2【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来，写出符合条件的x的非负整数解即可．【详解】解：，由①得，x＞-2，由②得，，故此不等式组的解集为：，在数轴上表示为：，它的所有的非负整数解为：0，1，2．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，.（1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出点的坐标；（2）将（1）中所得先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，画出，并写出点的坐标；（3）若可以看作绕某点旋转得来，直接写出旋转中心的坐标.【答案】（1）如图见解析；；（2）如图见解析；；（3）.【解析】【分析】（1）分别将OA、OB、OC绕O点逆时针旋转90°，得到A1、B1、C1,然后连接，最后直接读出C1坐标即可.（2）分别将A1、B1、C1向左平移4个单位，再向上平移2个单位，得到A2、B2、C2,,然后连接，最后直接读出C2坐标即可.（3）连接AA2,BB2然后分别作它们垂直平分线，垂直平分线的交点即为旋转中心，写出坐标即可.【详解】解：（1）图如下：；（2）图如下：.（3）如图：点E为旋转中心，坐标为..【点睛】本题主要考查了旋转变换，寻找旋转后对应点和确定旋转中心是解答本题的难点.19.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F（1）求证：AD＝CE；（2）求∠DFC的度数．【答案】（1）见解析；（2）60°【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD＝CE，（2）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC＝∠FAC＋∠ACF＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC．又∵BD＝AE∴△ABD≌△CAE（SAS）∴AD＝CE（2）解：由（1）得△ABD≌△CAE∴∠ACE＝∠BAD．∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°．【点睛】本题利用了等边三角形的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理及三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．20.某商场计划从厂家购进甲、乙两种不同型号的电视机，已知进价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元．(1)若商场同时购进这两种不同型号的电视机50台，金额不超过76000元，商场有几种进货方案，并写出具体的进货方案．(2)在(1)的条件下，若商场销售一台甲、乙型号的电视机的销售价分别为1650元、2300元，以上进货方案中，哪种进货方案获利最多？最多为多少元？【答案】（1）有2种进货方案：方案一：是购进甲种型号的电视机49台，乙种型号的电视机1台；方案二：是甲种型号的电视机50台，乙种型号的电视机0台；（2）方案一的利润大，最多为7550元．【解析】【分析】（1）设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机y台．数量关系为：两种不同型号的电视机50台，金额不超过76000元；（2）根据利润=数量×（售价-进价），列出式子进行计算，即可得到答案.【详解】解：（1）设购进甲种型号的电视机x台，则乙种型号的电视机（50-x）台．则1500x+2100（50-x）≤76000，解得：x≥48．则50≥x≥48．∵x是整数，∴x=49或x=50．故有2种进货方案：方案一：是购进甲种型号的电视机49台，乙种型号的电视机1台；方案二：是甲种型号的电视机50台，乙种型号的电视机0台；（2）方案一的利润为：49×（1650-1500）+（2300-2100）=7550（元）方案二的利润为：50×（1650-1500）=7500（元）．∵7550＞7500∴方案一的利润大，最多为7550元．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．21.通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．【答案】解：（1）SAS；△AFE．（2）∠B+∠D=180°．（3）BD2+EC2=DE2．理由见解析【解析】【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF=FG，即可得出答案；

（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF=FG，∠C=∠ABF=45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．【详解】解：（1）思路梳理

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，

∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，

即∠EAF=∠FAG，

在△EAF和△GAF中，，∴△AFG≌△AEF（SAS）．∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；

故答案为：SAS；△AFG；（2）类比引申

∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：

∵AB=AD，

∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：

∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，

在△AFE和△AFG中，∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF，

∴EF=BE+DF，

故答案为：∠B+∠ADC=180°；

（3）联想拓展

猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：

把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：

则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，

∴∠FAB=∠CAE．BF=CE