广东省深圳市龙岗区布吉中学2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）

第1页（共1页）2021-2022学年广东省深圳市龙岗区布吉中学八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每题3分，共30分）1．（3分）若a＞b，则下列各式中一定成立的是（）A．a+2＜b+2 B．a﹣2＜b﹣2 C．＞ D．﹣2a＞﹣2b【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解答】解：（A）a+2＞b+2，故A错误；（B）a﹣2＞b﹣2，故B错误；（D）﹣2a＜﹣2b，故D错误；故选：C．【点评】本题考查不等式的性质，解题的关键是正确理解不等式的性质，本题属于基础题型．2．（3分）下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（）A．x2﹣x﹣2＝x（x﹣1）﹣2 B．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 D．x﹣1＝x（1﹣）【分析】根据因式分解的意义求解即可．【解答】解：A、没把多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意；B、把多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；C、是整式的乘法，故C不符合题意；D、没把多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了因式分解的意义，把多项式转化成几个整式积的形式．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．（3分）若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（）A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．【解答】解：解法一：设所求正多边形边数为n，则120°n＝（n﹣2）•180°，解得n＝6，∴这个正多边形是正六边形．解法二：∵正多边形的每个内角都等于120°，∴正多边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°，又∵多边形的外角和为360°，∴这个正多边形边数＝360°÷60°＝6．故选：A．【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）．5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：1＜x≤2．在数轴上表示为：故选：C．【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（3分）下列命题正确的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定进行判断即可．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，原命题是假命题；C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，原命题是假命题；D、对角线互相平分且相等且互相垂直的四边形是正方形，原命题是假命题；故选：A．【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定，难度较小．7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝15，AD平分∠BAC，点E为AC的中点，连接DE，若△CDE的周长为24，则BC的长为（）A．18 B．14 C．12 D．6【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵点E为AC的中点，∴DE＝CE＝AC＝．∵△CDE的周长为24，∴CD＝9，∴BC＝2CD＝18．故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．8．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为19，则▱ABCD的两条对角线的和是（）A．13 B．25 C．26 D．38【分析】首先由平行四边形的性质可求出CD的长，由条件△OCD的周长为19，即可求出OD+OC的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，∵△OCD的周长为19，∴OD+OC＝19﹣6＝13，∵BD＝2DO，AC＝2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD+AC＝2（DO+OC）＝26，故选：C．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．熟记平行四边形的性质，由三角形的周长求出OD+OC是解决问题的关键．9．（3分）如图是一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象，则不等式kx+b＜x+a的解集是（）A．x＞0 B．x＜0 C．x＞3 D．x＜3【分析】不等式kx+b＜x+a的解集：是一次函数y1＝kx+b落在y2＝x+a的图象下方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．【解答】解：如图所示，一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的交点横坐标是3，则不等式kx+b＜x+a的解集是x＞3．故选：C．【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．10．（3分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③S△AOB＝S四边形DEOF；④AO＝OE中，错误的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据正方形的性质可得∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，然后求出AF＝DE，再利用“边角边”证明△ABF和△DAE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得∠ABF＝∠DAE，然后证明∠ABF+∠BAO＝90°，再得到∠AOB＝90°，从而得出AE⊥BF，判断②正确；假设AO＝OE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AB＝BE，再根据直角三角形斜边大于直角边可得BE＞BC，即BE＞AB，从而判断③错误；根据全等三角形的面积相等可得S△ABF＝S△ADE，然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确．【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠AFB＝∠DEA，AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO＝OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故④错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，故③正确；综上所述，正确的有①②③．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ABF和△DAE全等是解题的关键，也是本题的突破口．二．填空题（每题3分，共15分）11．（3分）分解因式：x3﹣4x＝x（x+2）（x﹣2）．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，＝x（x2﹣4），＝x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．12．（3分）化简：＝a+1．【分析】直接把分子相加减即可．【解答】解：原式＝＝a+1．故答案为：a+1．【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．13．（3分）如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于2．【分析】作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP＝30°，根据直角三角形的性质得到PE＝PC＝2，根据角平分线的性质解答；【解答】解：作PE⊥OA于E，∵CP∥OB，∴∠OPC＝∠POD，∵P是∠AOB平分线上一点，∴∠POA＝∠POD＝15°，∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°，∴PE＝PC＝2，∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．14．（3分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝108°，则∠BAC的度数是24°．【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝108°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∴∠BAC＝24°，故答案为：24°．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AP的长为．【分析】连接CF，证明△CDE≌△CFE（SSS），得出∠CDE＝∠CFE＝90°，证出∠CFP＝180°，设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，由勾股定理可求出答案．【解答】解：连接CF，由折叠可得，∠PFE＝∠A＝90°，AE＝FE＝DE，∵线段DF被CE垂直平分，∴DE＝EF，CD＝CF，∵CE＝CE，∴△CDE≌△CFE（SSS），∴∠CDE＝∠CFE＝90°，∴∠CFP＝180°，即点P，F，C在一条直线上，设AP＝FP＝x，则BP＝4﹣x，CP＝x+4，在Rt△BCP中，BP2+BC2＝PC2，即（4﹣x）2+62＝（x+4）2，解得x＝，即AP＝．故答案为：．【点评】本题考查了折叠问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三．解答题（共55分）16．（6分）解方程：﹣＝8．【分析】首先把分式方程，去分母后化为整式方程，即可求得x的值，再代入方程的分母进行检验即可．【解答】解：去分母得：x﹣8+1＝8（x﹣7），整理得：7x＝49，解得：x＝7，经检验：x＝7为增根，原方程无解．【点评】本题主要考查解分式方程，解分式方程的基本思想是转化为整式方程，解方程时一定要注意检验．17．（6分）解不等式组．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：由①得：x≤﹣5，由②得：x≤﹣3，则不等式组的解集为x≤﹣5．【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．18．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，并从3，2，1，这四个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．【分析】先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法计算，最后根据分式有意义的条件选择合适的x值代入求值．【解答】解：原式＝＝＝x+2．∵x﹣2≠0，x2﹣4≠0，x﹣3≠0，∴x≠±2，3．∴x＝1．当x＝1时，原式＝1+2＝3．【点评】本题考查分式的化简求值，解题关键是熟知分式混合运算的计算法则．19．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的△A1B1C1．（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2．（3）直接写出点A2、C2的坐标．【分析】（1）将三个顶点分别沿x轴方向向左平移6个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；（2）将点B、C分别绕着点A顺时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可；（3）结合图形可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．（3）由图知，A2（1，1）、C2（1，﹣3）．【点评】本题主要考查作图—平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性质．20．（8分）如图．在平行四边形ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF＝AB．连接FD，交BC于点E（1）说明：△DCE≌△FBE；（2）若DF平分∠ADC．且EC＝6cm，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）由平行四边形的对边平行且相等，即可得AB＝DC，AB∥DC，继而可求得∠CDE＝∠F，又由BF＝AB，即可利用AAS判定△DCE≌△FBE；（2）由（1）得BE＝EC，即可求得BC的长，又由平行四边形的对边相等，求得AD的长，再由平行线的性质和角平分线的定义证出DC＝EC，即可得出四边形ABCD的周长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC，AD＝BC，∴∠CDE＝∠F，又∵BF＝AB，∴DC＝FB，在△DCE和△FBE中，，∴△DCE≌△FBE（AAS）；（2）解：∵△DCE≌△FBE，∴EB＝EC，∵EC＝6cm，∴BC＝2EB＝12cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝12cm，∴AD＝12cm，∵AD∥BC，DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CED，∠ADE＝∠CDE，∴∠CED＝∠CDE，∴DC＝EC＝6cm，∴四边形ABCD的周长＝2（AD+BC）＝2（12+6）＝36（cm）．【点评】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．21．（9分）某商店购进冰墩墩、雪容融两种商品．已知每件冰墩墩的进价比每件雪容融的进价贵10元．用350元购买冰墩墩的件数恰好与用300元购买雪容融的件数相同．（1）求冰墩墩、雪容融每件的进价分别是多少元？（2）计划购买这两种商品共50件，且投入的经费不超过3200元，那么最多可购买多少件冰墩墩？（3）在（2）的条件下，若冰墩墩的售价为每件80元，雪容融的售价为每件65元，则这50件商品全部售出后获得的最大利润是多少？【分析】（1）设冰墩墩每件的进价是x元，则雪容融每件的进价是（x﹣10）元，可得：＝，解方程并检验可得冰墩墩每件的进价是70元，则雪容融每件的进价是60元；（2）设购买m件冰墩墩，根据投入的经费不超过3200元，有70m+60（50﹣m）≤3200，即可解得最多可购买20件冰墩墩；（3）设全部售出后获得的利润是w元，w＝（80﹣70）m+（65﹣60）（50﹣m）＝5m+250，由一次函数性质可得这50件商品全部售出后获得的最大利润是350元．【解答】解：（1）设冰墩墩每件的进价是x元，则雪容融每件的进价是（x﹣10）元，根据题意得：＝，解得x＝70，经检验，x＝70是原方程的解，也符合题意，∴x﹣10＝60，∴冰墩墩每件的进价是70元，雪容融每件的进价是60元；（2）设购买m件冰墩墩，则购买（50﹣m）件雪容融，∵投入的经费不超过3200元，∴70m+60（50﹣m）≤3200，解得m≤20，∴最多可购买20件冰墩墩；（3）设全部售出后获得的利润是w元，∴w＝（80﹣70）m+（65﹣60）（50﹣m）＝5m+250，∵5＞0，∴w随m的增大而增大，∴m＝20时，w取最大值，最大值为5×20+250＝350（元），答：这50件商品全部售出后获得的最大利润是350元．【点评】本题考查分式方程，一元一次不等式及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程，不等式和函数关系式．22．（10分）感知：如图①