广东省深圳市福田区深圳实验学校初中部2021-2022学年八年级下学期3月月考数学试题（解析版）

广东省深圳市福田区深圳实验学校初中部2021-2022学年八年级下学期3月月考数学试题一、单选题1.下列二次根式中，最简二次根式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据最简二次根式的两个条件逐项判定即可．【详解】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；C、被开方数含分母，故C不符合题意；D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的判定条件为：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．2.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的加减法法则逐一计算即可；【详解】解：A、与不是同类二次根式不能合并，原选项不符合题意；B、，原选项不符合题意；C、，符合题意；D、2与不是同类二次根式不能合并，原选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键3.下列各组数：①3、4、5②4、5、6③2.5、6、6.5④8、15、17，其中是勾股数的有()A.4组 B.3组 C.2组 D.1组【答案】C【解析】【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义；∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；∵82+152=172，④符合勾股数的定义，是勾股数的有：①④，共2组，故选：C．4.已知直角的两边长分别为3和4，第三边为（）A.5 B. C.5或 D.无法确定【答案】C【解析】【分析】分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，②3和4都是直角边，根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图：

分为两种情况：①斜边是4有一条直角边是3，由勾股定理得：第三边长是；

②3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是；

即第三边长是5或，

故选：C．【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，解题的关键是掌握在直角三角形中的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．5.式子有意义，则实数a的取值范围是（）A.a≥-1 B.a≠2 C.a≥-1且a≠2 D.a＞2【答案】C【解析】【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可.【详解】解：由题意得，解得，a≥-1且a≠2，故答案为：C.【点睛】本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握.6.若是整数，则正整数n的最小值是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】先将45写成平方数乘以非平方数的形式，再根据二次根式的基本性质即可确定出n的最小整数值．【详解】解：．由是整数，得，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的基本性质，利用二次根式的基本性质是解题关键．7.如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A.4 B.6 C.16 D.55【答案】C【解析】【分析】运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．【详解】解：如图：a，b，c都是正方形，，，，，在和中，，，，在中，由勾股定理得，．故选：C．【点睛】此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强，解题的关键是灵活运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解．8.已知a≠0且a＜b，化简二次根式的正确结果是（）A.a B.﹣a C.a D.﹣a【答案】D【解析】【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的符号，然后再根据来确定、各自的符号，再去根式化简．【详解】解：由题意：，即，，，，所以原式，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是根据已知条件确定出、的符号，以确保二次根式的双重非负性．9.如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（）A.9 B.13 C.14 D.25【答案】B【解析】【分析】画出该圆柱的侧面展开图，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，然后根据勾股定理求出AB即可求出结论．【详解】解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，AB恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，即长为24÷2=12，宽为5，∴AB==13，即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．故选：B．【点睛】此题考查的是勾股定理与最短路径问题，解题的关键是掌握勾股定理和两点之间线段最短．10.有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形(如图1),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了4个正方形(如图2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”.在“生长”了2017次后形成的图形中所有正方形的面积和是()A.2015 B.2016 C.2017 D.2018【答案】D【解析】【详解】解：设直角三角形三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得：a2+b2=c2，即正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1．推而广之，“生长”了2017次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2018×1=2018．故选D．【点睛】此题考查了正方形的性质，以及勾股定理，其中能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．二、填空题11.比较大小（填“>”、“<”或“=”）_______.【答案】<【解析】【分析】根据二次根式的加减，可化简二次根式，根据被开方数越大，算术平方根越大，可得答案．详解】＝，＜，＜.故答案＜．【点睛】本题考查了实数比较大小，先化简，再比较大小．12.已知最简二次根式与的被开方数相同，则a=_________________．【答案】3【解析】【分析】根据最简二次根式的定义以及同类二次根式的性质，列方程求解．【详解】由题意可知与是同类二次根式，∴3b=ab，解得a=3.故答案为3.【点睛】本题考查的知识点是最简二次根式，解题的关键是熟练的掌握最简二次根式.13.我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，其它运算符号的意义不变，计算：(△)－(2△3)＝__________.【答案】－＋4【解析】【分析】根据题意，先比较出＞，2＜3，再代入相应的运算法则进行计算，再根据二次根式的混合运算进行化简.【详解】∵当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b，＞，2＜3，∴(△)－(2△3)＝＋－(2－3)＝－＋4.【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意进行运算化简，再利用二次根式的运算法则进行计算.14.如图，在6×6正方形网格（每个小正方形的边长为1cm）中，网格线的交点称为格点，△ABC的顶点都在格点处，则AC边上的高的长度为_____cm．【答案】【解析】【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的长度，然后利用等面积法求得AC边上的高的长度.【详解】解：如图，在Rt△ABC中，AB＝4cm，BC＝4cm，由勾股定理知，AC＝．设AC边上的高的长度为hcm，则AB•BC＝AC•h，∴（cm）．故答案是：．【点睛】考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．15.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为_______．【答案】【解析】【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可求解．【详解】解：如图：

由图可知：，∵数轴上点A所表示的数为a，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图是解此题的关键．16.图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME~7)的会徽,会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图乙中的直角三角形继续作下去,那么OA1,OA2,…,OA25这些线段中有___条线段的长度为正整数.

【答案】5【解析】【分析】找到OAn=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，，，…，【详解】解：根据题意，找到OAn=的规律，所以OA1到OA25的值分别为，，，，…，，故正整数为=1，=2，=3，=4，=5．故答案为5【点睛】本题主要考查勾股定理，解本题的关键在于利用勾股定理求得直角三角形的边长，发现OAn=的规律.17.如图，等腰直角中，，D为的中点，，若P为上一个动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】根据中点的含义先求解作点C关于AB对称点，则，连接，交AB于P，连接，此时的值最小，由对称性可知于是得到再证明，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：为的中点，作点C关于AB对称点，交于，则，连接，交AB于P，连接．此时的值最小．由对称性可知∴∴，点C关于AB对称点，∴AB垂直平分，∴根据勾股定理可得故答案为：．【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使PC+PD的值最小是解题的关键．三、解答题18.计算：+（π﹣3）0﹣（﹣）﹣2+|2﹣3|【答案】【解析】【分析】原式分别化简然后再进行加减运算即可得到结果．【详解】解：+（π﹣3）0﹣（﹣）﹣2+|2﹣3|==【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及二次加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．19.已知实数a、b在数轴上对应点如图所示，化简.【答案】-3a【解析】【详解】【分析】根据数轴可知a<b<0，从而可知a+b＜0，，再结合二次根式的性质、绝对值的性质进行化简计算即可．【详解】由数轴可知：，，，，原式

.【点睛】本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性.20.《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，若小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】这辆小汽车超速了．【解析】【分析】求出BC距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．【详解】解：根据题意：∠ACB=90°由勾股定理可得：BC=米40米=0.04千米，2秒=小时；0.04÷=72千米/时>70千米/时；所以超速了．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握构造直角三角形，确定直角边，斜边即可．21.已知△ABC中，AB=AC，（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析（2）5（3）CD2=BD2+4AH2，理由见解析【解析】【分析】(1)根据∠DAE=∠BAC，求出∠DAC=∠BAE，再利用“SAS”证明△DAC和△EAB全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；(2)连接BE，根据CD垂直平分AE，得到AD=DE，结合条件∠DAE=60°，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，证明△ADE是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得BE=CD，全等三角形对应角相等可得∠BED=∠CDA=30°，然后求出∠BED=90°，在Rt△BED中，再利用勾股定理列式，计算即可求出BD的长度；(3)过B作BF⊥BD，且BF=AE，连接DF，先证明四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB=EF，设∠AEF=x，∠ADE=y根据平行四边形的邻角互补，得∠BAE=180°-x，根据等边三角形三边相等，得到∠EAD=AED=y，根据周角等于360°求出∠CAD的度数，从而得到∠CAD=∠FED，然后利用“SAS”证明△ACD和△FED全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DF，在Rt△BDF中，利用勾股定理结合条件BF=AE=2AH，列式即可得到答案．【小问1详解】如图1∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+∠CAE，即∠DAC=∠BAE，在△ACD与∆ABE中，∴△ACD≌△ABE(SAS)，∴CD=BE；【小问2详解】连接BE，∵CD垂直平分AE∴AD=DE，∵∠DAE=60°∴△ADE是等边三角形．∴DE=AD=3∴∠CDA=∠ADE=°=30°，由(1)得△ACD≌△ABE，∴BE=CD=4，∵∠BEA=∠CDA=30°，∵∠BED=∠AED+∠BEA=60°+30°=90°∴BE⊥DE．在Rt△BED中，BD=∴BD=5；【小问3详解】(3)CD2=BD2+4AH2，理由如下：如图，过B作BF=AE，且BF⊥BD连接DF，EF则四边形ABFE是平行四边形，∴AB=AC=EF，∴BD垂直平分AE，∴AD=DE设∠AEF=x，∠AED=y，则∠FED=x+y，∠BAE=180°-x，∠EAD=∠AED=y，∠BAC=2∠ADB=180°-2y，∠CAD=360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD=360°-(180°-2y)-(180°-x)-y=x+y∴∠FED=∠CAD，在△ACD和△EFD中，∴△ACD≌△EFD(SAS)，∴CD=FD，在Rt△BDF中，根据勾股定理：BD2+BF2=DF2∵BF=AE=2AH，∴CD2=BD2+4AH2【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等，熟悉掌握全等三角形的判定定理以及勾股定理解直角三角形是解题的关键．22.观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：例1：====．例2：=﹣，=﹣，=﹣利用以上结论解答以下问题：（1）=（2）应用上面的结论，求下列式子的值．+++…+（3）拓展提高，求下列式子的值．+++…+【答案】（1）﹣；（2）9；（3）【解析】【分析】(1)、利用平方差公式将分母进行有理化，得出化简结果；(2)、首先将各式进行分母有理数，然后进行加减法计算得出答案；(3)、将各式利用平方差公式进行分母有理数，然后进行加减法计算得出答案【详解】解：（1）；（2）++…+，=++…+，=﹣1+，=9；（3）+++…+=++…+，=（﹣1+++…+），=（﹣1+）=23.阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．从而得数学等式：，化简证得勾股定理：．（1）【初步运用】如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）【初步运用】现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为；（3）【初步运用】如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．（4）【初步运用】如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝．（5）【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程（知识补充：如图6，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k）．【答案】（1）5：9（2）28（3）24（4）（5），见解析【解析】【分析】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可；（3）可设AC＝x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可；（5）根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．【小问1详解】∵，b＝2a，∴c＝a，∴小正方形面积：大正方形面积＝(a)2：(3a)2＝5：9，故答案为：5：9；【小问2详解】根据题意可求，∵空白部分的面积为=小正方形的面积-两个三角形的面积，∴空白部分的面积为=52-2××4×6＝28．故答案为：28；【小问3详解】根据题意可知AB+AC=24÷4＝6，OB=OC=3．设AC＝x，则OA＝3+x，AB＝6-x．在中，，即，解得x＝1，∴OA=4，∴该风车状图案的面积=；【小问4详解】将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y．∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，且S1+S2+S3＝40，∴S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40，∴x+4y＝，∴S2＝x+4y＝．故答案为：；【小问5详解】结论：．由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：，∴∴．【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．24.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D，E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△