第12讲 方差-【暑假自学课】新九年级数学暑假课（苏科版）

第12讲方差【学习目标】了解方差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征．体会用样本方差估计总体方差的思想，掌握分析数据的思想和方法．【基础知识】一．方差（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．二．计算器-标准差与方差由于不同的计算器，其操作不完全相同，可以根据计算器的说明书进行操作．以如图的计算器为例说明：首先，按2ndf键，再按on/c（清零）键，即进入统计状态，右上角有stat显示．接着，进入数据输入存储状态，输入一个数据后按M+键，即对数据进行储存，可显示1，表示输入了第一个数据，依次再输入，显示2，为第二个数据．数据输入完成后，就可进行计算，按2ndf，再按RM，即显示为平均值，其他同此．先按2ndf键再按其他键，表示选择的是该键上方的功能．【考点剖析】一．方差（共9小题）1．（2022•贵阳模拟）七年级某班甲、乙、丙、丁四位同学准备选一人参加学校“跳绳”比赛．经过三轮测试，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是s甲2＝65，s乙2＝56.5，s丙2＝53，s丁2＝50.5，你认为派哪一个同学去参赛更合适（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022春•北仑区期中）用如下算式计算方差：S2[（x1﹣2）2+（x2﹣2）2+（x3﹣2）2+…+（xn﹣2）2]，上述算式中的“2”是这组数据的（）A．最小值 B．平均数 C．中位数 D．众数3．（2022春•温州期中）现有甲、乙两支排球队，每支球队队员身高的平均数均为1.82米，方差分别为S3.7，S4.2，则身高较整齐的球队是队．4．（2022春•朝阳区校级期中）下表记录了甲、乙、丙、丁四名射箭选手10次测试成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（分）9.29.59.59.2方差3.63.67.48.1要选择一名成绩好且发挥稳定的选手参加射箭比赛，应该选择（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2022春•诸暨市期中）已知数据x1，x2，x3的平均数是5，方差是2．则数据2x1﹣3；2x2﹣3；2x3﹣3的平均数是，方差是．6．（2022春•嘉兴期中）一组数据1，2，a，3的平均数是3，则这组数据的方差是．7．（2022春•龙港市期中）某研究员随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株杂交水稻苗测试高度，经测量、计算平均数和方差的结果为12cm，12cm，S3.2cm2，S8.6cm2，则杂交水稻长势比较整齐的是试验田．（填“甲”或“乙”）8．（2022•宁波模拟）某射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参加射击比赛，在队内选拔赛中，每人射击10次，四人成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环2）如表所示：甲乙丙丁平均数8.58.28.58.2方差1.72.321.8根据表中数据选择其中一人参加比赛，最合适的人选是．9．（2022•建邺区一模）2021年7月24日，杨倩获得了东京奥运会的首枚金牌，这也激发了人们对射击运动的热情．李雷和林涛去射击场馆体验了一次射击，两人成绩如下：李雷10次射击成绩统计表命中环数命中次数5环26环17环38环39环1（1）完成下列表格：平均数（单位：环）中位数（单位：环）方差（单位：环2）李雷77林涛75（2）李雷和林涛很谦虚，都认为对方的成绩更好．请你分别为两人写一条理由．二．计算器-标准差与方差（共2小题）10．先简化数据，再用科学计算器分别计算下列各组数据的方差：（1）8241，8250，8248，8253，8245；（2）12341，12340，12349，12349，12344．11．用科学计算器分别计算下面各组数据的平均数和方差：甲组12345乙组100200300400500（1）比较这两组数据，它们的对应关系是什么？它们的平均数和方差各有什么关系？（2）如果用科学计算器计算0.01，0.02，0.03，0.04，0.05的平均数和方差，你能根据（1）的结论，用简化数据的方法计算吗？请你试一试．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2022春•鼓楼区校级期中）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差的数值如下表：选手甲乙丙丁平均数9.29.39.59.1方差0.0350.0150.0250.027则这四人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁2．（2022•皇姑区一模）某数学兴趣小组为了了解本班同学一周课外阅读的时间，随机调查了5名同学，并将所得数据整理如表：学生编号12345一周课外阅读时间（小时）754□8表中有一个数字被污染后而模糊不清（该处用□表示），但曾计算得该组数据的平均数为6，则这组数据的方差和中位数分别为（）A．1.5，4 B．2，4 C．2，6 D．6，63．（2022•海陵区一模）小丽同学住在学校附近，某周星期一至星期五早晨步行到校所花时间（单位：分钟）分别为11，10，11，9，x，已知这组数据的平均数为10，则其方差为（）A． B． C． D．4．（2022•椒江区二模）对甲、乙、丙、丁四名选手进行射击测试，每人射击10次，平均成绩均为9.5环，方差如表所示：则四名选手中成绩最稳定的是（）选手甲乙丙丁方差1.340.162.560.21A．甲 B．乙 C．丙 D．丁5．（2022•盐池县二模）甲、乙两人5次数学考试成绩如表：则以下判断中正确的是（）甲8486858387乙8485868585A．， B．， C．， D．，二．填空题（共7小题）6．（2022•乌海一模）某超市销售五种饮料，单价分别为（单位：元）3，3，x，5，7．若这组数据的平均数是2x，则这组数据的方差为．7．（2022•遵义模拟）若数据2，1，a，3，0的平均数是2，则这组数据的方差是．8．（2022•兴宁区校级模拟）2022年冬奥会将在北京市和张家口市联合举行，北京成为奥运史上第一个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的城市．为了激发同学们对冬奥会的热情，某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙、丙三组进行训练，经过5次测试，若甲、乙、丙三组的平均成绩相同，且方差，，则应选择组参加全市中学生冰球联谊赛．9．（2022•李沧区一模）某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是．（填写序号即可）成绩/分919293949596979899100人数123577101210．（2022•东城区校级模拟）有甲、乙两组数据，如表所示：甲、乙两组数据的方差分别为，，则．（填“＞”，“＜”或“＝”）甲1012131416乙121213141411．（2022•铜仁市一模）甲、乙二人五次数学考试成绩如下：甲：135，134，132，138，136；乙：134，135，135，135，136．则甲、乙两人成绩比较稳定的是．12．（2022春•金华期中）在样本方差的计算公式，数字10表示，数字20表示．三．解答题（共5小题）13．（2022•如东县一模）在一次体操比赛中，6个裁判员对某一运动员的打分数据（动作完成分）如下：9.6ㅤㅤ8.8ㅤㅤ8.8ㅤㅤ8.9ㅤㅤ8.6ㅤㅤ8.7对打分数据有以下两种处理方式：方式一：不去掉任何数据，用6个原始数据进行统计；平均分中位数方差8.9a0.107方式二：去掉一个最高分和一个最低分，用剩余的4个数据进行统计；平均分中位数方差b8.8c（1）a＝，b＝，c＝；（2）你认为把哪种方式统计出的平均分作为该运动员的最终得分更合理？写出你的判定并说明理由．14．（2022•宛城区一模）北京冬奥会的开幕式惊艳了世界，在这背后离不开志愿者们的默默奉献，这些志愿者很多来自高校，在志愿者招募之时，甲、乙两所大学就积极组织了志愿者选拔活动，对报名的志愿者进行现场测试，现从两所大学参加测试的志愿者中分别随机抽取了20名志愿者的测试成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，满分100分，共分成五组：A．x＜80，B．80≤x＜85，C．85≤x＜90，D．90≤x＜95，E．95≤x≤100），下面给出了部分信息：a．甲校20名志愿者的成绩在D组的数据是：90，91，91，92．b．乙校20名志愿者的成绩成绩是：82，89，80，85，88，89，87，96，96，99，96，92，91，93，96，97，98，92，94，100．c．d．两校抽取的志愿者成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表所示：学校平均数中位数众数方差甲92a9536.6乙9292.5b31.4根据以上信息，解答下列问题：（1）由上表填空：a＝，b＝，α＝°．（2）你认为哪个学校的志愿者测试成绩较好，请说明理由（写出一条即可）．（3）若甲校有200名志愿者，乙校有300名志愿者参加了此次侧试，估计此次参加测试的志愿者中，成绩在90分以上的志愿者有多少？15．（2022春•如皋市期中）八年级某老师对一、二两班学生进行了一次“安全知识竞赛”，并将成绩进行了统计，绘制了如图图表（满分10分，学生得分均为整数）．（1）补充完成下列的成绩统计分析表：班级平均分中位数众数方差一班7.162.69二班6.985.89（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上!”观察表可知，小亮是班学生（填“一”或“二”）；（3）甲同学依据平均分推断，一班学生安全知识水平更好些．乙同学不同意甲的推断，请给出两条支持乙同学观点的理由．16．（2022春•朝阳区校级月考）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：注“●”表示患者，“▲”表示非患者．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这40名被调查者中，①指标y低于0.4的有人；②将20名患者的指标x的平均数记作，方差记作s12，20名非患者的指标x的平均数记作，方差记作s22，则，s12s22（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0.3的大约有人；（3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的有人．17．（2022春•拱墅区期中）八年级举