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文档简介

福建省东山二中2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系;用均匀投点实现统计模拟和抽样,以获得问题的近似解,故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为的正方形模型内均匀投点,落入阴影部分的概率为,则圆周率()A. B.C. D.2.有一圆柱状有盖铁皮桶(铁皮厚度忽略不计),底面直径为cm,高度为cm,现往里面装直径为cm的球,在能盖住盖子的情况下,最多能装()(附:)A.个 B.个 C.个 D.个3.设集合,,若集合中有且仅有2个元素,则实数的取值范围为A. B.C. D.4.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A. B. C. D.5.在中,点为中点,过点的直线与,所在直线分别交于点,,若,,则的最小值为()A. B.2 C.3 D.6.已知向量,,则向量在向量上的投影是()A. B. C. D.7.将一块边长为的正方形薄铁皮按如图(1)所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,将该容器按如图(2)放置,若其正视图为等腰直角三角形,且该容器的容积为,则的值为()A.6 B.8 C.10 D.128.运行如图所示的程序框图,若输出的的值为99,则判断框中可以填()A. B. C. D.9.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去三个不同社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.其中甲必须去社区,乙不去社区,则不同的安排方法种数为()A.8 B.7 C.6 D.510.已知函数,若关于的方程恰好有3个不相等的实数根,则实数的取值范围为()A. B. C. D.11.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布,从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布,则,.)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%12.的展开式中,项的系数为()A.-23 B.17 C.20 D.63二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.各项均为正数的等比数列中,为其前项和,若,且,则公比的值为_____.14.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是_____15.已知,,且,则的最小值是______.16.已知圆,直线与圆交于两点,,若,则弦的长度的最大值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆:和抛物线:,为坐标原点.(1)已知直线和圆相切,与抛物线交于两点,且满足,求直线的方程;(2)过抛物线上一点作两直线和圆相切,且分别交抛物线于两点,若直线的斜率为,求点的坐标.18.(12分)试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中M,N.19.(12分)新型冠状病毒肺炎疫情发生以来,电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩,某公司设计了一套产品促销方案,并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后,对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个,对比上一年度的销售情况,分别统计了它们的年销售总额,并按年销售总额增长的百分点分成5组:,分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.(1)请你根据题中信息填充下面的列联表,并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”;采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100(2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价(单位:元)和日销量(单位:件)的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表,表中的:①根据上表数据计算的值;②已知该公司成本为10元/件,促销费用平均5元/件,根据所求出的回归模型,分析售价定为多少时日利润可以达到最大.附①:附②:对应一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.20.(12分)已知,.(1)求函数的单调递增区间;(2)的三个内角、、所对边分别为、、,若且,求面积的取值范围.21.(12分)已知数列,其前项和为,若对于任意,,且,都有.(1)求证:数列是等差数列(2)若数列满足,且等差数列的公差为,存在正整数,使得,求的最小值.22.(10分)已知,点分别为椭圆的左、右顶点,直线交于另一点为等腰直角三角形,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于两点,总使得为锐角,求直线斜率的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

计算出黑色部分的面积与总面积的比,即可得解.【详解】由,∴.故选:A【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算,属于基础题.2、C【解析】

计算球心连线形成的正四面体相对棱的距离为cm,得到最上层球面上的点距离桶底最远为cm,得到不等式,计算得到答案.【详解】由题意,若要装更多的球,需要让球和铁皮桶侧面相切,且相邻四个球两两相切,这样,相邻的四个球的球心连线构成棱长为cm的正面体,易求正四面体相对棱的距离为cm,每装两个球称为“一层”,这样装层球,则最上层球面上的点距离桶底最远为cm,若想要盖上盖子,则需要满足,解得,所以最多可以装层球,即最多可以装个球.故选:【点睛】本题考查了圆柱和球的综合问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.3、B【解析】

由题意知且,结合数轴即可求得的取值范围.【详解】由题意知,,则,故,又,则,所以,所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算,以及借助数轴解决有关问题,其中确定中的元素是解题的关键,属于基础题.4、D【解析】

利用等差数列通项公式推导出λ,由d∈[1,2],能求出实数λ取最大值.【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是减函数,∴d=1时,实数λ取最大值为λ.故选D.【点睛】本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5、B【解析】

由,,三点共线,可得,转化,利用均值不等式,即得解.【详解】因为点为中点,所以,又因为,,所以.因为,,三点共线,所以,所以,当且仅当即时等号成立,所以的最小值为1.故选:B【点睛】本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.6、A【解析】

先利用向量坐标运算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.7、D【解析】

推导出,且,,,设中点为,则平面,由此能表示出该容器的体积,从而求出参数的值.【详解】解:如图(4),为该四棱锥的正视图,由图(3)可知,,且,由为等腰直角三角形可知,,设中点为,则平面,∴,∴,解得.故选:D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用,属于中档题.8、C【解析】

模拟执行程序框图,即可容易求得结果.【详解】运行该程序:第一次,,;第二次,,;第三次,,,…;第九十八次,,;第九十九次,,,此时要输出的值为99.此时.故选:C.【点睛】本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及化归转化思想,涉及判断条件的选择,属基础题.9、B【解析】根据题意满足条件的安排为:A(甲,乙)B(丙)C(丁);A(甲,乙)B(丁)C(丙);A(甲,丙)B(丁)C(乙);A(甲,丁)B(丙)C(乙);A(甲)B(丙,丁)C(乙);A(甲)B(丁)C(乙,丙);A(甲)B(丙)C(丁,乙);共7种,选B.10、D【解析】

讨论,,三种情况,求导得到单调区间,画出函数图像,根据图像得到答案.【详解】当时,,故,函数在上单调递增,在上单调递减,且;当时,;当时,,,函数单调递减;如图所示画出函数图像,则,故.故选:.【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题,意在考查学生的计算能力和应用能力.11、B【解析】试题分析:由题意故选B.考点:正态分布12、B【解析】

根据二项式展开式的通项公式,结合乘法分配律,求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出,则出,该项为:;②出,则出,该项为:;③出,则出,该项为:;综上所述:合并后的项的系数为17.故选:B【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识,考查理解能力,计算能力,分类讨论和应用意识.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

将已知由前n项和定义整理为,再由等比数列性质求得公比,最后由数列各项均为正数,舍根得解.【详解】因为即又等比数列各项均为正数,故故答案为:【点睛】本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比,属于基础题.14、20+45,8【解析】试题分析:由题意得,该几何体为三棱柱,故其表面积S=2×1体积V=12×4×2×2=8,故填:20+4考点:1.三视图;2.空间几何体的表面积与体积.15、1【解析】

先将前两项利用基本不等式去掉,,再处理只含的算式即可.【详解】解:,因为,所以,所以,当且仅当,,时等号成立,故答案为:1.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,但是由于有3个变量,导致该题不易找到思路,属于中档题.16、【解析】

取的中点为M,由可得,可得M在上,当最小时,弦的长才最大.【详解】设为的中点,,即,即,,.设,则,得.所以,.故答案为:【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查学生的逻辑推理、数形结合的思想,是一道有一定难度的题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)或.【解析】试题分析:直线与圆相切只需圆心到直线的距离等于圆的半径,直线与曲线相交于两点,且满足,只需数量积为0,要联立方程组设而不求,利用坐标关系及根与系数关系解题,这是解析几何常用解题方法,第二步利用直线的斜率找出坐标满足的要求,再利用两直线与圆相切,求出点的坐标.试题解析:(1)解:设,,,由和圆相切,得.∴.由消去,并整理得,∴,.由,得,即.∴.∴,∴,∴.∴.∴或(舍).当时,,故直线的方程为.(2)设,,,则.∴.设,由直线和圆相切,得,即.设,同理可得:.故是方程的两根,故.由得,故.同理,则,即.∴,解或.当时,;当时,.故或.18、y=2sin2x.【解析】

计算MN,计算得到函数表达式.【详解】∵M,N,∴MN,∴在矩阵MN变换下,→∴曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.【点睛】本题考查了矩阵变换,意在考查学生的计算能力.19、(1)列联表见解析,有把握;(2)①;②元时【解析】

(1)直接由题意列出列联表,通过计算,可判断精英店与采用促销活动是否有关.(2)①代入表中数据,结合公式求出;②由①中所得的线性回归方程,若售价为,单价利润为,日销售量为,进而可求出日利润,结合导数可求最值.【详解】解:(1)由题意知,采用促销中精英店的数量为,采用促销中非精英店的数量为;没有采用促销中精英店的数量为,没有采用促销中非精英店的数量为,列联表为采用促销没有采用促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100因为有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.(2)①由公式可得:所以回归方程为②若售价为,单件利润为,日销售为,故日利润,解得.当时,单调递增;当时,单调递减.故当售价元时,日利润达到最大为元.【点睛】本题考查了独立性检验,考查了线性回归方程的求法,考查了函数最值的求解.在求函数的最值时,常用的方法有:函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.20、(1);(2).【解析】

(1)利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为,然后解不等式,可求得函数的单调递增区间;(2)由求得,利用余弦定理结合基本不等式求出的取值范围,再结合三角形的面积公式可求得面积的取值范围.【详解】(1),解不等式,解得.因此,函数的单调递增区间为;(2)由题意,则,,,,解得.由余弦定理得,又,,

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