2025届高中数学二轮复习 微专题9　导数与函数的零点（课件）

板块一函数与导数微专题9导数与函数的零点高考定位导数与函数的零点问题是高考的热点题型和常见题型：(1)判断、证明或讨论函数零点的个数；(2)已知零点存在情况求参数范围；(3)函数零点性质的研究.【

难点突破

】高考真题(2024·渭南质检改编)已知函数f(x)＝ex－4sinx，其中e为自然对数的底数，证明：f(x)在[0，＋∞)上有两个零点.样题1设g(x)＝f′(x)＝ex－4cosx，则g′(x)＝ex＋4sinx.显然当x∈[0，π]时，g′(x)>0，当x∈[π，＋∞)时，g′(x)>eπ－4>0，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，

则当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增.已知函数f(x)＝elnx＋bx2e1－x.若f(x)的导函数f′(x)恰有两个零点，求b的取值范围.样题2直线y＝b与曲线y＝g(x)的图象分别有两个交点，即函数f′(x)恰有两个零点.

样题3当x>1时，n′(x)<0，n(x)单调递减；当0<x<1时，n′(x)>0，n(x)单调递增，故当x＝1时，函数n(x)有最大值n(1)＝0，因此有n(x)＝lnx－x＋1≤0⇒lnx≤x－1.设j(x)＝2lnx－xlnx－1，则j(x)≤2(x－1)－xlnx－1＝2x－xlnx－3.设k(x)＝2x－xlnx－3，则在区间(1，e)上，k′(x)＝1－lnx>0，k(x)单调递增，k(x)<k(e)＝e－3<0，故j(x)≤k(x)<e－3<0，即h′(x)<0，h(x)单调递减，所以在区间(1，e)上，h(x)的值域为(e2－e，＋∞)，所以实数a的取值范围是(e2－e，＋∞).1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质；

第三步：结合图象求解.2.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.规律方法训练(2)试讨论关于x的方程f(x)＝kx(k>0)的根的个数，并说明理由.当x∈(0，1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，∴hmax(x)＝h(1)＝0.当lnk>0，即k>1时，方程无解；当lnk＝0，即k＝1时，方程有1个解；当lnk<0，即0<k<1时，方程有2个解.【精准强化练】1.已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.(1)讨论f(x)的单调性；

f(x)＝x3－kx＋k2，f′(x)＝3x2－k，当k≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；当k＞0时，令f′(x)＞0，

(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围.2.已知函数f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数.令f(x)＝0，得ex＝a(x－2)，当a＝0时，ex＝a(x－2)无解，∴f(x)无零点.3.(2024·淄博模拟)已知函数f(x)＝ex－sinx－1.(1)讨论函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；函数f(x)＝ex－sinx－1，当x>0时，f′(x)＝ex－cosx>1－cosx>0，所以f(x)在(0，＋∞)上的单调递增.(2)证明函数f(x)在区间(－π，0]上有且仅