吉林省松原市乾安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

吉林省松原市乾安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、单项选择题1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y=3x B．y=3x C．y=x2．抛物线y=(A．直线x=1 B．直线x=−1 C．直线x=2 D．直线x=−23．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战．截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A． B．C． D．4．如图，点A，B，C是⊙O上的点，∠AOB=70°，则∠ACB的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．70°5．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45 B．60 C．72 D．1446．如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，在所有的元件和线路都正常的前提下．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是不可能事件的是（）A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关二、填空题7．写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点（0，2），这个二次函数的解析式可以是．8．若点A(3，8)在一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的解析式为9．小军与小王一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出“石头”的概率是．10．已知−1是关于x的一元二次方程x2+kx−3=0的一个根，则11．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为12．如图，⊙O的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为．13．已知二次函数y1=ax①二次函数y1②二次函数y1的图象关于直线x=−1③当x=−2时，二次函数y1④过动点P(m，0)且垂直于x轴的直线与y1，其中正确的是.14．如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(−5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则BC的长度为．三、解答题15．解关于x的方程：x16．孟浩然是唐代著名的山水田园派诗人．《春晓》是他创作的一首名篇，这首古诗共有四句，如图，将这四句古诗分别制成编号为A，B，C，D的4张卡片，卡片除编号和内容外，其余完全相同．将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．现从4张卡片中随机抽取2张，请用列表或画树状图的方法，求出随机抽出2张卡片恰好为相邻两句古诗的概率．17．已知关于x的一元二次方程x2（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值.18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，∠A=30°，CD=23，求⊙O19．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，作射线OP；①在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；②连接并延长BA与⊙A交于点C；③作直线PC；则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（）（填推理依据）．∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（）（填推理依据）．20．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当x=6（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．21．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°．将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C'，旋转角为α，且0°<α<180°，在旋转过程中，点B可以恰好落在22．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使得利润最大？小明同学，为了完成以上问题，小明分析：调整价格包括涨价和降价两种情况．小明先探索了涨价的情况，下面是小明的思路，请你帮助小明完善以下内容：（1）假设每件涨价x元，则所得利润y与x的函数关系式为；其中x的取值范围是；在涨价的情况下，定价元时，利润最大，最大利润是．（2）请你参考小明（1）的思路继续思考，在降价的情况下，求最大利润是多少？（3）在（1）（2）的讨论及现在的销售情况，回答商家如何定价能使利润能达到最大？23．体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A点距离地面的高度为2m，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度4m的B处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）24．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂长AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10.（1）在旋转过程中：①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；②当A，D，M三点在同一直角三角形的顶点时，求AM的长.（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连结D1D2，如图2，此时∠A25．如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，点O是对角线AC的中点，动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动，点Q以2cm/s的速度沿折线BC−CD向终点D匀速运动，连接PO并延长交边CD于点M，连接QO并延长交折线DA−AB于点N，连接PQ，QM，MN，NP，得到四边形PQMN．设点P的运动时间为x(s)(0<x<4)，四边形PQMN的面积为y(cm（1）BP的长为cm，CM的长为cm．（用含x的代数式表示）（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．26．阅读理解：某“数学兴趣小组”根据学习函数的经验，对函数y=−x（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：x…−3−−2−101253…y…−2−m2121−−2…其中m=；（2）在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（3）根据函数图象，回答下列问题：①当−1≤x<1时，则y的取值范围为．②直线y=kx+b经过点(1，2)，若关于x的方程−x

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A：y=3x是正比例函数，所以A不符合题意；

B：y=3x是反比例函数，所以A符合题意；

C：y=x23故答案为：B.

【分析】根据反比例函数的定义进行判断即可得出答案。2．【答案】B【解析】【解答】解：抛物线y=(故答案为：B.

【分析】根据抛物线的对称轴的定义直接进行判断即可。3．【答案】B【解析】【解答】解：A：不是中心对称图形，所以A不符合题意；

B：是中心对称图形，所以B符合题意；

C：不是中心对称图形，所以C不符合题意；

D：不是中心对称图形，所以D不符合题意。故答案为：B.

【分析】中心对称图形的定义进行识别，即可得出答案。4．【答案】B【解析】【解答】∵∠AOB=70°，∴∠ACB=12故答案为：B．【分析】利用同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半即可解决.5．【答案】C【解析】【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．6．【答案】A【解析】【解答】解：A：只闭合1个开关，“小灯泡发光”是不可能事件；

B：只闭合2个开关“小灯泡发光”，是随机事件；

C：只闭合3个开关“小灯泡发光”，是必然事件；D：闭合4个开关“小灯泡发光”是必然事件。

故答案为：A.

【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义分别进行判断即可。7．【答案】y=-x2+2（答案不唯一）【解析】【解答】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，2），∴a＜0，c=2，∴二次函数表达式为：y=-x2+2（答案不唯一）．故答案为：y=-x2+2（答案不唯一）．

【分析】根据二次函数图象及性质与其系数的关系，再结合待定系数法求二次函数表达式即可。8．【答案】y=【解析】【解答】解：设这个反比例函数的解析式为y=kx，

∵点A(3，8)在这个反比例函数的图象上，

∴k=3×8=24，

∴故答案为：y=24x

【分析】根据点A（3，8）在反比例函数的图象上，利用待定系数法发即可得出函数解析式。9．【答案】1【解析】【解答】解：树状图分析如下：机会均等的结果有9种，同时出石头的结果有1种，

所以：两同学同时出“石头”的概率=19.

故答案为：1

【分析】利用树状图分析法，根据概率计算计算公式，即可求得两同学同时出“石头”的概率。10．【答案】-2【解析】【解答】解：把x=-1代入方程x2+kx-3=0得1-k-3=0，解得k=-2．故答案为-2．

【分析】将x=-1代入方程求出k的值即可。11．【答案】x(x−1)【解析】【解答】设有x人参加活动，由题可得x(x−1)2=10，

故答案为：x(x−1)2=10.12．【答案】3【解析】【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，

∴PA=PB，∠OAP=90°，∠APO=12∠APB，

∵∠APB=60°，

∴△APB是等边三角形，∠APO=30°

在Rt△AOP中：tan∠APO=AOAP，

∴AP=133=3，

∴AP=故答案为：33

【分析】首先得出△APB是等边三角形，再根据切线长定理得出∠APO=30°，然后根据锐角三角函数的定义，可求得AP的长度，进而得出△PAB的周长。13．【答案】②④【解析】【解答】解：①由图象知抛物线的开口方向向上，所以函数有最小值，所以A不正确；②由图象知，抛物线的对称轴为直线x=-1，所以②正确；由图象知，当x=-2时，所对应抛物线上的点在x轴下边，所以y1＜0，所以③不正确；④由图象知，y1和y2交点的横坐标分别为-3和-1，所以当点C位于点D上方时，m＜-3或m＞-1，所以④正确。综上可得其中正确的是②④。故答案为：②④.

【分析】数形结合，由函数图象可分别得出四个命题的真假，从而得出答案。14．【答案】10【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且BC=5-(-5)=10，

∴AB=AC=10，∠BAC=60°，

∴BC的长度=60π故答案为：10π

【分析】首先求得BC=5-(-5)=10，再根据等边三角形的性质可得出AB=AC=10，∠BAC=60°，最后根据弧长计算公式求得BC的长度即可。15．【答案】解：（x+2）（x+1）=0．∴x1=-2，x2=-1【解析】【分析】利用十字相乘法解方程即可.16．【答案】解：根据题意列表如下：由列表可知共有12种等可能的情况数，其中抽出两张恰好是相邻两句诗的情况有6种，则P（抽出两张恰好是相邻两句诗）的概率是612【解析】【分析】利用列表法进行分析，可得出机会均等的结果共有12种，其中恰好为相邻两句古诗的结果有6种：(A，B)、(B，A)、(B，C)、(C，A)、(C，D)、(D，C)，然后根据概率计算公式，即可得出答案。17．【答案】（1）证明：∵Δ=(m+3)∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x=(m+3)±∴x1=m+2，∵方程两个根的绝对值相等，∴m+2=±1.∴m=−3或-1.【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算求解即可；

（2）先求出x1=m+2，x218．【答案】解：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=23∴∠AHC=90°，∵∠A=30°，∴AC=2CH=23设⊙O的半径的长为r，则AB=2r，由圆周角定理得：∠ACB=90°，∴BC=1在Rt△ABC中，AC2+B解得r=2或r=−2<0（不符合题意，舍去），即⊙O的半径的长为2．【解析】【分析】首先根据垂径定理得到CH=3，然后根据汉30°锐角的直角三角形的性质得出AC=23，然后连接BC，设⊙O的半径的长为r，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，根据含30°锐角的直角三角形的性质及勾股定理即可得出等式AC2+BC219．【答案】（1）解：补全图形如图所示，则直线PC即为所求；（2）解：证明：∵BC是⊙A的直径，∴∠BPC=90°（圆周角定理），∴OP⊥PC．又∵OP是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线（切线的判定）．故答案为：圆周角定理；切线的判定．【解析】【分析】（1）根据题干中作图步骤作出图形即可；

（2）利用圆周角的性质及切线的判定方法分析求解即可.20．【答案】（1）解：由题意设：y=kx，

把x=6，y=2代入，得k=6×2=12，

∴y关于x的函数解析式为：（2）解：把y=3代入y=12x，得，x=4，

∴小孔到蜡烛的距离为【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；

（2）将y=3代入函数解析式计算求解即可。21．【答案】解：将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A∴CB=CB∵点B'可以恰好落在AB∴点B'是AB∵∠ACB=90°，∴CB∴CB=CB即△CBB∴∠B=60°．∵∠ACB=90°，∴∠A=30°．【解析】【分析】首先根据旋转的性质得出CB=CB'，再根据直角三角形斜边上的中线的性质得出CB'=BB'，进而得出22．【答案】（1）y=−10x2+100x+6000（2）解：设每件降价x元，则每星期售出商品的利润w元，则w=(∵函数的对称轴为x=−100∴当x=2.5（元)时，则w=−20×2.（3）解：∵6250>6125，∴用涨价方式比降价方式获得利润大，当定价为65元时，利润最大．【解析】【解答】(1)y=（60-40+x）×（300-10x)=-10x2+100x+6000，

又300-10x≥0且x＞0，

∴0≤x≤30；

∵-10＜0，

∴当x=-1002×（-10）=5时，函数y的值最大，最大值=4×（-10）×6000-10024×（-10）=6250（元），

此时定价为：60+5=65（元）；

故第1空答案为：y=-10x2+100x+6000；第2空答案为：0≤x≤30；第3空答案为：65；第4空答案为：6250元；

【分析】（1）根据利润=单件利润×销量，可得利润y=-10x2+100x+6000；根据题意得出自变量x的取值范围；利用二次函数的性质，即可求得定价为65元时，利润最大，且最大利润为6250元；

（2）设每件降价x元，则每星期售出商品的利润w元，根据利润=单件利润×销量，即可得出：w=23．【答案】解：以DC所在直线为x轴，过点A作DC的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则有A(0，2)，B(4，4)，如图所示：设函数解析式为：y=a(x−4)2=16a+4，解得：a=−1∴函数解析式为y=−1令y=0，则有0=−18(x−4)2+4所以，该同学把实心球扔出(4+42【解析】【分析】由题可知函数顶点坐标及点A的坐标，利用顶点式求二次函数表达式即可，再将y=0代入计算即可。24．【答案】（1）解：①AM=AD+DM=40，或AM=AD−DM=20.②显然∠MAD不能为直角，当∠AMD为直角时，AM2=AD当∠ADM为直角时，AM2=AD（2）解：连结CD由题意得∠D1A∴∠AD2D又∵∠AD2C=135∴CD∵∠BAC=∠D∴∠BAC−∠CAD即∠BAD又∵AB=AC，AD1=AD∴BD【解析】【分析】（1）①分两种情形分别求解即可．②显然∠MAD不能为直角．当∠AMD为直角时，根据AM2=AD2-DM2，计算即可，当∠ADM=90°时，根据AM2=AD2+DM2，计算即可．（2）连接CD．首先利用勾股定理求出CD1，再利用全等三角形的性质证明BD2=CD1即可．25．【答案】（1）(4−x)；x（2）解：当0<x≤2时，点Q在BC上，由（1）可得△ANP≌△CQM，同理可得△PBQ≌△MDN，∵PB=4−x，QB=2x，MC=x，QC=4−2x，∴y=A=16−(4−x)⋅2x−x(4−2x)=4x当2<x<4时，如图所示，同理可证明△AON≌△COQ，四边形PQMN是平行四边形，∴AN=CQ=2x−CB=2x−4，∴PN=AP−AN=x−(2x−4)=−x+4，∴y=(−x