广东省深圳市坪山区坪山中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）

坪山区坪山中学2021－2020学年第一学期九年级第一次月考数学试卷一．选择题（每题3分，共30分）1.若，则（）A.3 B.－3 C. D.81【答案】C【解析】【分析】利用平方根定义开方即可求出解．【详解】解：∵x2=9，∴x=故选：C．【点睛】本题考查了平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．2.若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解此一元一次方程即可得到m的值．【详解】解：把x=2代入方程x2-mx+8=0得4-2m+8=0，解得m=6．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．3.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，则下列不能判断四边形ABCD是矩形的是（）A.B.C，，D.，，【答案】D【解析】【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、∵∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵OA=OB=OC=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵∠B+∠C=180°，∴∠A+∠D=180°，∵∠A=∠C，∴∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠AOB=∠BOC，∠AOB+∠BOC=180°，∴∠AOB=∠BOC=90°，∴AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定是解题的关键．4.用配方法解方程时，原方程应变形为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用配方法解出方程即可．【详解】解：＋2x＝5＋2x＋1＝5＋1，故选：A．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．5.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A.80（1+x）2=100 B.100（1﹣x）2=80 C.80（1+2x）=100 D.80（1+x2）=100【答案】A【解析】【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即：80（1+x）2=100，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．6.菱形具有而矩形不一定具有的性质是()A.内角和等于360° B.对角相等 C.对边平行且相等 D.对角线互相垂直【答案】D【解析】【分析】根据菱形的性质及矩形的性质，结合各选项进行判断即可得出答案．【详解】∵菱形与矩形都是平行四边形，A，B，C是平行四边形的性质，

∴二者都具有，故此三个选项都不正确，

由于菱形的对角线互相垂直且平分每一组对角，而矩形的对角线则相等，

故选D．7.如图，在中，DE平分，，，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC，根据平行线性质求出∠ADE＝∠DEC，根据角平分线定义求出∠ADE＝∠CDE，推出∠CDE＝∠DEC，推出CE＝DC，求出CD即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DEC，∴CE＝DC，∵BC＝8，BE＝3，∴CD＝CE＝8−3＝5，故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出CD的长，注意：平行四边形的对边平行且相等，难度适中．8.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【详解】解：∵a=1，b=-2，c=k-1，∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(k-1)=8-4k，∵方程x2-2x+k-1=0有两个不相等的实数根，∴8-4k＞0，解得k＜2，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．9.如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，F在BC边上，且，连接EF，则BF的长为（）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，首先证明△AFE≌△AGE，进而得到EF＝FG，问题即可解决．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图：∴∠BAF＝∠DAG，AB=AG∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF＋∠DAE＝∠DAG＋∠DAE=45°，∴∠EAF＝∠EAG，∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠EDG＝180°，点E、D、G共线，在△AFE和△AGE中，AG＝AF，∠FAE＝∠EAG，AE＝AE，∴△AFE≌△AGE（SAS），∴EF＝EG，即：EF＝EG＝ED＋DG，∵E为CD的中点，边长为6的正方形ABCD，∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，∴设BF＝x，则CF＝6−x，EF＝3＋x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2＋CF2，∴（3＋x）2＝32＋（6−x）2，解得：x＝2，即BF＝2，故选：A．【点睛】本题考查了正方形性质、全等三角形的判定及其性质的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．10.如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】B【解析】【分析】根据正方形的性质得，，然后利用ASA证明即可判断①正确，根据全等三角形的性质得AP=AM，从而得出是等腰直角三角形，则，同理可得，即可得，根据正方形的性质得是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质和正方形的对角线相等即可得，即可判断②错误；判断四边形PEDF是矩形，根据矩形的性质得PF=OE，再根据勾股定理即可得，故可判断③正确，即可得．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴，,∵，，∴，，在和中，∴（ASA），故①正确，∴AP=AM，∴是等腰直角三角形，∴，在和中，∴（ASA），∴BP=BN，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵四边形ABCD是正方形，∴，，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，故②错误；∵，，，∴，∴四边形PEOF是矩形，∴PF=OE，在中，根据勾股定理得，，∴，故③正确，综上，正确的结论由①③，故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．二．填空题（每题3分，共15分）11.已知m是关于x的方程的一个根，则＝______．【答案】6【解析】【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根，∴，∴，∴=6，故答案为6．12.如图，在菱形ABCD中，，，则菱形ABCD的面积是_________．【答案】18【解析】【分析】根据菱形的对角线平分对角求出∠ABC＝60°，过点A作AE⊥BC于E，可得∠BAE＝30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BE，再利用勾股定理得到AE＝3，然后利用菱形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点A作AE⊥BC于E，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，∴∠ABC＝60°，BC=AB=6，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝90°－60°＝30°，∴BE＝AB＝3，在Rt△ABE中，AE＝，∴菱形ABCD的面积是6×3＝18，故答案为：18．【点睛】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，作辅助线求出菱形的高是解题的关键．13.如图，某小区有一块长为36m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为______m．【答案】2【解析】【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为600m2，列出一元二次方程求解即可．【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，（36-3x）（24-2x）=600，化简整理得，（12-x）2=100．解得x1=2，x2=22（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度是2m．故答案为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为600m2得出等式是解题关键．14.如图，在中，，，，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．当____s时，的面积为16cm2【答案】1或4##4或1【解析】【分析】若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式列出方程，解方程即可求解．【详解】解：若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，依题意得：（20-4t）×2t=16，整理得：t2-5t+4=0，解得：，答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为16cm2．故答案为：1或4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.如图，四边形ABCD为矩形，，，点E是AD所在直线的一个动点，点F是对角线BD上的动点，且，则的最小值是_______．【答案】【解析】【分析】延长至使得，连接，证明，进而可得，从而可得的最小值为的长，勾股定理求解即可．【详解】如图，延长至使得，连接，四边形是矩形，，，在与中，，，在中，，，，在中，，，的最小值是．故答案：．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，添加辅助线是解题的关键．三．解答题（共55分）16.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将常数项移到等号的右边，进而根据直接开平方解一元二次方程即可；（2）根据配方法解一元二次方程即可．【详解】（1）；解得；（2）．解得．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程是解题的关键．17.解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）用公式法解方程；（2）分解因式得出（x-3）（x-3+2）=0，推出x-3=0，x-1=0，求出方程的解即可．【详解】解：（1）3x2+8x−3=0，∵，，，∴100，∴，∴；（2）(x−3)2=2(3−x)，∴(x−3)2+2(x−3)=0，∴(x−3)(x−3+2)=0，∴x−3=0，x−1=0，∴．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18.校园前门花园上有一面墙，长度为12m，地铁施工，需要隔离部分矩形地块，用长为26m的篱笆和这面墙围成80m²的矩形，如图所示，求围成矩形的长，宽分别为多少？【答案】长为10米，宽为8米.【解析】【分析】设ABx，则BC为（26-2x），然后建立方程，即可计算得到答案.【详解】解：设AB为x，则BC为（26-2x），则，整理得：，解得：，当x=5时，BC=>12，不符合题意，舍去；当x=8时，BC=26-28=10<12，∴AB=8，BC=10；即矩形的长为10m，宽为8m.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.【解析】【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件；（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可．【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200，整理，得x2-30x+200=0，解得：x1=10，x2=20．∵要求每件盈利不少于25元，∴x2=20应舍去，∴x=10．答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．20.如图，已知中，，CE是的中线，连接CE，分别过点A，C作CE和AB的平行线相交于点D．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若，，求菱形AECD的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据题意由可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得进而可得四边形是菱形；（2）连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据勾股定理求得，根据菱形的面积公式即可求得．【详解】（1），四边形是平行四边形，，CE是的中线，，四边形是菱形；（2）如图，连接，，，，在中，，四边形是菱形，，，，四边形是平行四边形，，菱形的面积．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，掌握菱形的性质与判定是解题的关键．21.阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．∵x为实数，∴△＝＝﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．【答案】【解析】【分析】根据材料内容，可将原函数转换为，继而根据△≥0，即可得出y的最小值．【详解】解：将原函数转化成x的一元二次方程，得，∵x为实数，∴，∴，因此y的最小值为．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，正确理解材料中的解题方法和思路是解题的关键．22.综合与实践：如图1，已知△ABC，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点．（1）观察猜想在图1中，线段PM与QM的数量关系是；（2）探究证明当∠BAC=60°，把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，判断△PMQ的形状，并说明理由；（3）拓展延伸当∠BAC=90°，AB=AC=5，AD=AE=2，再连接BE，再取BE的中点N，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，①请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由；②请直接写出四边形PMQN面积的最大值．【答案】（1）PM=MQ，理由见解析；（2）△PQM是等腰三角形，理由见解析；（3）①四边形PMQN是正方形，理由见解析；②正方形PMQN的面积的最大值为．【解析】【分析】（1）首先证明BD=CE，再利用三角形中位线定理解决问题即可；（2）结论：△PQM是等腰三角形．连接EC，BD．利用全等三角形的性质证明BD=EC，再利用三角形的中位线定理解决问题即可；（3）①结论：四边形PMQN是正方形．连接BD，EC，延长CE交BD于点H，交AB于点O．证明△DAB≌△EAC（SAS），推出BD=CE，∠