第1章 二次函数综合素质评价 练习 浙教版九年级数学上册

第1章二次函数综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各式中，y是x的二次函数的是()A．y＝3xB．y＝x2＋(2－x)xC．y＝(x－1)2D．y＝ax2＋bx＋c2．对于二次函数y＝－(x－1)2＋4的图象，下列说法正确的是()A．开口向上B．对称轴是直线x＝－1C．与y轴的交点坐标是(0，4)D．在x轴上截得的线段长度是43．对于二次函数y＝x2＋bx＋c，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…－101234…y…1052125…该二次函数图象的对称轴是直线()A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝34．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，当y＞0时，x的取值范围是()A．x＜－3B．x＞1C．－3＜x＜1D．x＜－3或x＞15．[2023·杭州模拟]地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示(其中P是该抛物线的顶点)，则下列说法正确的是()A.小球滑行12秒停止B．小球滑行6秒停止C．小球滑行6秒回到起点D．小球滑行12秒回到起点6．将函数y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位，所得图象的函数表达式是()A．y＝3(x－2)2－5B．y＝3(x－2)2＋5C．y＝3(x＋2)2－5D．y＝3(x＋2)2＋57．[2023·金华义乌市模拟]已知二次函数y＝a(x－1)2－a(a≠0)，当－1≤x≤4时，y的最小值为－4，则a的值为()A.eq\f(1,2)或4B．eq\f(4,3)或－eq\f(1,2)C．－eq\f(4,3)或4D．－eq\f(1,2)或48．[2023·杭州期中]已知二次函数y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1<x2，若x1＋x2＝4，当x＝0时，y>0，当x＝3时，y<0，且m<x2<n(m，n为相邻整数)，则m＋n的值是()A.3B．5C．7D．99．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，n)，与y轴的交点在(0，3)，(0，4)之间(包含端点)，则下列结论：①abc>0；②2a＋b＝0；③－eq\f(4,3)≤a≤－1；④a＋b≥am2＋bm(m为任意实数)；⑤方程|ax2＋bx＋c|＝n有四个不相等的实数根．其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个10．如图，在菱形ABCD中，AB＝2cm，∠D＝60°，点P，Q同时从点A出发，点P以1cm/s的速度沿A→C→D的方向运动，点Q以2cm/s的速度沿A→B→C→D的方向运动，当其中一点到达点D时，两点都停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是()二、填空题(每题4分，共24分)11．已知函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝________；当1<x<2时，y随x的增大而______(填“增大”或“减小”)．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的解是________．13．[母题：教材P23作业题T3]已知点(－1，y1)，(－2，y2)，(－4，y3)在二次函数y＝－2x2－8x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________．14．如图，线段AB＝8，点C是AB上一点，点D，E是线段AC的三等分点，分别以AD，DE，EC，CB为边作正方形，则AC＝________时，四个正方形的面积之和最小．15．对于二次函数y＝x2－2mx－3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个交点；②如果当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1；③若图象向左平移3个单位后过原点，则m＝－1；④若x＝4时的函数值与x＝100时的函数值相等，则当x＝104时，函数值为－3.其中说法正确的序号是________．16．[2023·金华义乌市期中]如图①，是一建筑物造型的纵截面，曲线OBA是抛物线的一部分，该抛物线开口向右、对称轴正好是水平线OH，AC，BD是与水平线OH垂直的两根支柱，AC＝4米，BD＝2米，OD＝2米．(1)如图②，为了安全美观，准备拆除支柱AC，BD，在水平线OH上另找一点P作为地面上的支撑点，用固定材料连结PA，PB，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时，点O，P之间的距离是________．(2)如图③，在水平线OH上增添一张2米长的椅子EF(E在F右侧)，用固定材料连结AE，BF，对抛物线造型进行支撑加固，用料最省时，点O，E之间的距离是________．三、解答题(17～19题每题6分，20，21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共66分)17．在直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点A(1，0)和点B(0，－3)．(1)求此二次函数的表达式．(2)设此二次函数图象的顶点为C，写出另一个过点C的二次函数的表达式．18．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.(1)用描点法画出它的图象．(2)该二次函数的顶点坐标是________，点P(2，3)________(填“在”或“不在”)该二次函数的图象上．19．如图，抛物线y1＝－2x2＋2与直线y2＝2x＋2交于A，B两点．(1)求A，B两点的坐标．(2)若y1>y2，请直接写出x的取值范围．20．如图，在足够大的空地上有一段长为25m的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边利用墙，另三边一共用了46m木栏．(1)若所围成的矩形菜园的面积为280m2，求所利用旧墙AD的长．(2)求矩形菜园ABCD面积的最大值．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2m＋1与x轴交于A，B两点．(1)若AB＝2，求m的值．(2)过点P(0，2)作与x轴平行的直线，交抛物线于点M，N.当MN≥2时，求m的取值范围．22．[2023·宁波余姚市模拟]某商店销售一种纪念册，每本进价30元，规定销售单价不低于32元，且获利不高于60%，在销售期间发现每天的销售量y(本)与销售单价x(元)的关系如下表：x(元)32333435y(本)420410400390(1)请你根据表格写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)当销售单价是多少元时，商店每天获利3400元？(3)将这种纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w(元)最大？最大利润是多少元？23．[2022·温州二模]如图，对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－3，0)．(1)求点B的坐标．(2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点．①求抛物线的表达式．②若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标．③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．24．已知点P(2，－3)在抛物线L：y＝a(x－1)2＋k(a，k均为常数，且a≠0)上，L交y轴于点C，连结CP.(1)用含a的式子表示k，并求L的对称轴．(2)当L经过点(4，－7)时，求此时L的表达式及其顶点坐标．(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a<0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内(含边界)恰有5个整点，求a的取值范围．(4)若L上两点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足：对于t≤x1≤t＋1，x2≥3时，均有y1≥y2成立，求出t的取值范围．

答案一、1.C2.D3.C4.D5.B6．B【点拨】按照“左加右减，上加下减”的规律可知y＝3x2的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位得到y＝3(x－2)2＋5的图象．7．D【点拨】二次函数y＝a(x－1)2－a(a≠0)的对称轴为直线x＝1.(1)当a>0时，当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，∴当x＝1时，y取得最小值，∴a(1－1)2－a＝－4，∴a＝4；(2)当a<0时，当－1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4时，y随x的增大而减小，∴当x＝4时，y取得最小值，∴a(4－1)2－a＝－4，∴a＝－eq\f(1,2).综上所述，a的值为－eq\f(1,2)或4.8．C9．B【点拨】抛物线开口向下，∴a<0.∵顶点坐标为(1，n)，∴对称轴为直线x＝1，∴－eq\f(b,2a)＝1，∴b＝－2a>0.∵与y轴的交点在(0，3)，(0，4)之间(包含端点)，∴3≤c≤4，∴abc<0，故①错误；2a＋b＝2a＋(－2a)＝0，故②正确；∵与x轴交于点A(－1，0)，∴a－b＋c＝0，∴a－(－2a)＋c＝0，∴c＝－3a，∴3≤－3a≤4，∴－eq\f(4,3)≤a≤－1，故③正确；∵顶点坐标为(1，n)，∴当x＝1时，函数有最大值n，∴a＋b＋c≥am2＋bm＋c，∴a＋b≥am2＋bm，故④正确；一元二次方程ax2＋bx＋c＝n有两个相等的实数根x1＝x2＝1，ax2＋bx＋c＝－n有两个不相等的实数根，∴方程|ax2＋bx＋c|＝n有三个不相等的实数根．故⑤错误．综上所述，结论正确的是②③④，共3个．10．A【点拨】∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝60°.当0≤x≤1时，如图①，AQ＝2xcm，AP＝xcm，过点P作PE⊥AB于点E，易得PE＝eq\f(\r(3),2)xcm.∴y＝eq\f(1,2)×2x·eq\f(\r(3),2)x＝eq\f(\r(3),2)x2，是开口向上的抛物线的一部分；当1<x≤2时，如图②，CP＝(2－x)cm，CQ＝(4－2x)cm，BQ＝(2x－2)cm，作CM⊥AB于点M，易得CM＝eq\r(3)cm，过点P作PF⊥BC于点F，过点Q作QH⊥AB于点H，易得PF＝eq\f(\r(3),2)(2－x)cm，QH＝eq\f(\r(3),2)(2x－2)＝eq\r(3)(x－1)cm，∴y＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2－eq\f(1,2)×2×eq\r(3)(x－1)－eq\f(1,2)×(4－2x)·eq\f(\r(3),2)(2－x)＝－eq\f(\r(3),2)x2＋eq\r(3)x，是开口向下的抛物线的一部分；当2<x≤3时，如图③，CP＝(x－2)cm，CQ＝(2x－4)cm，∴PQ＝(x－2)cm，过点A作AG⊥CD于点G，易得AG＝eq\r(3)cm，∴y＝eq\f(1,2)×(x－2)·eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)x－eq\r(3)，是一条直线的一部分．综上所述，只有A选项符合要求．二、11.－1；增大12.x1＝1，x2＝313．y3<y1<y214.615．①④【点拨】①∵(－2m)2－4×1×(－3)＝4m2＋12>0，∴它的图象与x轴有两个交点，故①正确；∵当x≤1时，y随x的增大而减小，∴对称轴x＝－eq\f(－2m,2)≥1，解得m≥1，故②错误；∵将它的图象向左平移3个单位后过原点，∴平移前的图象经过点(3，0)，代入函数关系式，得32－2m·3－3＝0，解得m＝1，故③错误；∵当x＝4时的函数值与x＝100时的函数值相等，∴对称轴为直线x＝eq\f(4＋100,2)＝52，∴－eq\f(－2m,2×1)＝52，解得m＝52，∴函数关系式为y＝x2－104x－3，当x＝104时，y＝1042－104×104－3＝－3，故④正确．综上所述，说法正确的是①④.16．(1)4米(2)eq\f(16,3)米三、17.【解】(1)把点A(1，0)和点B(0，－3)的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－3.))∴此二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3.(2)y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，则此二次函数图象的顶点C的坐标为(－1，－4)．另一个过点C的二次函数的表达式为y＝－(x＋1)2－4(答案不唯一)．18．【解】(1)列表：x…－10123…y…03430…描点，画图如图：(2)(1，4)；在19．【解】(1)由题可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－2x2＋2，,y＝2x＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0.))∴A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(0，2)．(2)当y1>y2时，x的取值范围是－1＜x＜0.20．【解】(1)设AB＝xm，则BC＝(46－2x＋2)m.根据题意，得x(46－2x＋2)＝280，解得x1＝10，x2＝14.当x＝10时，46－2x＋2＝28>25，不合题意，舍去；当x＝14时，46－2x＋2＝20<25，∴所利用旧墙AD的长为20m.(2)设AD＝ym，矩形菜园ABCD的面积为Sm2，则S＝eq\f(1,2)y(46－y＋2)＝－eq\f(1,2)(y－24)2＋288.∴当y＝24时，S取得最大值，为288，即矩形菜园ABCD面积的最大值为288m2.21．【解】(1)抛物线y＝mx2－2mx－2m＋1的对称轴为直线x＝－eq\f(－2m,2m)＝1.∵点A，B关于直线x＝1对称，AB＝2，∴抛物线与x轴交于点A(0，0)，B(2，0)．将A(0，0)的坐标代入y＝mx2－2mx－2m＋1中，得－2m＋1＝0，解得m＝eq\f(1,2).(2)∵抛物线y＝mx2－2mx－2m＋1与x轴有两个交点，∴(－2m)2－4m(－2m＋1)>0，解得m>eq\f(1,3)或m<0.①若m>0，则抛物线开口向上．当MN≥2时，有－2m＋1≤2，解得m≥－eq\f(1,2)，∴m>eq\f(1,3)；②若m<0，则抛物线开口向下．当MN≥2时，有－2m＋1≥2，解得m≤－eq\f(1,2)，∴m≤－eq\f(1,2).综上所述，m的取值范围为m>eq\f(1,3)或m≤－eq\f(1,2).22．【解】(1)由表中数据可知，销售单价每上涨一元，每天销售量减少10本，∴y与x之间的函数关系式是一次函数，设y＝kx＋b，把(32，420)和(33，410)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(32k＋b＝420，,33k＋b＝410，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－10，,b＝740，))∵销售单价不低于32元，且获利不高于60%，∴eq\f(x－30,30)≤60%，即x≤48，∴32≤x≤48，∴y＝－10x＋740(32≤x≤48)．(2)由题意，可列方程(x－30)(－10x＋740)＝3400，整理并化简，得x2－104x＋2560＝0，解得x1＝40，x2＝64.∵32≤x≤48，∴当销售单价是40元时，商店每天获利3400元．(3)w＝(x－30)y＝－10x2＋1040x－22200＝－10(x－52)2＋4840，∵a＝－10＜0，∴开口向下，∵对称轴直线为x＝52，∴当32≤x≤48时，w随x的增大而增大，∴当x＝48时，w最大＝－10×(48－52)2＋4840＝4680，∴销售单价定为48元时，商店每天销售纪念册获得的利润w最大，最大利润是4680元．23．【解】(1)∵对称轴为直线x＝－1的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A，B两点，∴A，B两点关于直线x＝－1对称．∵点A的坐标为(－3，0)，∴点B的坐标为(1，0)．(2)①当a＝1时，抛物线的表达式为y＝x2＋bx＋c.又∵对称轴为直线x＝－1，∴－eq\f(b,2)＝－1，解得b＝2，∴y＝x2＋2x＋c.将B(1，0)代入y＝x2＋2x＋c，得1＋2＋c＝0，解得c＝－3，∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3.②由(1)可得OB＝1.∵抛物线的表达式为y＝x2＋2x－3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为(0，－3)，∴OC＝3，设P点坐标为(x，x2＋2x－3)，∵S△POC＝4S△BOC，∴eq\f(1,2)·OC·|x|＝4·eq\f(1,2)·OC·OB，即eq\f(1,2)×3×|x|＝4×eq\f(1,2)×3×1，∴|x|＝4，解得x＝±4，当x＝4时，x2＋2x－3＝16＋8－3＝21，当x＝－4时，x2＋2x－3＝16－8－3＝5，∴点P的坐标为(4，21)或(－4，5)．③QD的最大值为eq\f(9,4)，点Q的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2))).【点拨】设直线AC的表达式为y＝kx＋t(k≠0)，将A(－3，0)，C(0，－3)的坐标分别代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3k＋t＝0，,t＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,t＝－3，))即直线AC的表达式为y＝－x－3，设Q点坐标为(m，－m－3)(－3≤m≤0)，则D点坐标为(m，m2＋2m－3)，QD＝(－m－3)－(m2＋2m－3)＝－m2－3m＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m