第21章 二次函数与反比例函数-最值 专项练习 沪科版数学九年级上册

专项练习：沪科版数学九年级上学期二次函数与反比例函数最值一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）当时，二次函数的最小值为，则a的值为(

)A.2 B. C.2或 D.2或在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是(

)A.y的最小值为1

B.图象顶点坐标为，对称轴为直线

C.当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小

D.它的图象可以由的图象先向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度得到如图，点，都在双曲线上，点P，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABQP周长的最小值为(

)

A. B. C. D.函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中以下结论正确的是(

)

①；

②函数在和处的函数值相等；

③函数的图象与的函数图象总有两个不同交点；

④函数在内既有最大值又有最小值．A.①③ B.①②③ C.①④ D.②③④下列关于二次函数的说法正确的是(

)A.该二次函数的图象的开口方向向下 B.该二次函数的图象的顶点坐标是

C.当时，y随x的增大而增大 D.当时，y有最小值3已知二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，且当0≤x≤m时，函数

的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是(

)A.-1≤m≤0 B.2≤m<72 C.2≤m≤4 关于函数，下列说法：①函数的最小值为②函数图象的对称轴为直线③当x≥0时，y随x的增大而增大;④当x≤0时，y随x的增大而减小.其中正确的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个已知二次函数，当时，它的最大值与最小值分别是(

)A.1， B.3， C.3，1 D.1，如图，二次函数的图象经过点、点、点，若点是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数的最小值为；

②若，则；

③若，则；

④一元二次方程的两个根为和

其中正确结论的个数是(

)

A.1B.2 C.3D.4如图，二次函数的图象过点，，，且点是抛物线上任意一点，则下列结论中正确的有(

)

①；

②函数的最小值为；

③若，则；

④一元二次方程的两个根为1和A.l个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共4小题，共20分）已知，当时，函数的最小值是，则_______.老师给出一个二次函数，甲、乙、丙、丁四名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图象不经过第三、四象限；乙：当时，y随x的增大而减小；丙：函数有最小值；丁：当时，已知这四位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式_____.平面直角坐标系xOy中，若点P在曲线上，连接OP，则OP的最小值为____.把抛物线向右平移1个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线对应函数的最小值是__________.三、解答题（本大题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题8分某公司分别在A，B两城生产同一种产品，共100件．A城生产产品的总成本万元与产品数量件之间具有函数关系当时，；当时，城生产产品的每件成本为70万元．求a，b的值．当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值．用含有m的式子表示

本小题8分

设函数，

当时，函数的最大值是a，函数的最小值是，求a和k的值;

设，且，当时，当时，圆圆说：“p一定大于”你认为圆圆的说法正确吗?为什么?

本小题8分

如图，一元二次方程的二根，是抛物线与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点

求此二次函数的解析式；

写出不等式的解集；

设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；

在x轴上有一动点M，当取得最小值时，求M点的坐标．

本小题8分

已知二次函数

求二次函数图象的顶点坐标；

当时，函数的最大值和最小值分别为多少？

当时，函数的最大值为m，最小值为n，若，求t的值.

本小题10分根据条件，求下列各题中m的取值或取值范围.函数有最小值;函数，当时，y随着x的增大而增大;与的图象形状相同;函数的图象是开口向下的抛物线.本小题10分如图，抛物线的顶点A是直线OD上一个动点，该抛物线与直线OD的另一个交点为C，与y轴的交点为B，点D的坐标是求点B的纵坐标的最小值，并写出此时点A的坐标.在的条件下，若该抛物线与x轴的两个交点分别为E和F，请直接写出线段EF的长度.

本小题12分

已知反比例函数图象经过第二、四象限．

判断点在第几象限；

若点，是反比例函数图象上的两点，试比较a，b，c的大小关系；

设反比例函数，已知，且满足当时，函数的最小值是；当时，函数的最大值是n，求x为何值时，

本小题12分已知点在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值求这个二次函数的表达式;如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，求的值.

本小题14分

综合与探究

如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，直线l经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转得到线段MD，连接CD、设点M运动的时间为，请解答下列问题：

求点A的坐标与直线l的表达式；

①请直接写出点D的坐标用含t的式子表示，并求点D落在直线l上时t的值；

②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值．

【答案与解析】1.A

2.C

3.B

4.C

5.D

6.C

7.B

8.B

9.B

10.C

11.5

12.解：函数图象不经过第三、四象限，

，，

当时，，

抛物线的顶点坐标为，

当a取1时，对应的抛物线解析式为

故答案为

13.6

14.

15.解：依题意，得

解得

，；

由得：，

设A，B两城生产这批产品的总成本为w，

则

，

，

，

由二次函数的性质可知，当时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时

答：A城生产20件，B城生产80件；

设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，

则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件，

由题意得：，

解得，

，

整理得：，

根据一次函数的性质分以下两种情况：

①当，时，P随n的增大而减小，

则时，P取最小值，最小值为；

②当，时，P随n的增大而增大，

则时，P取最小值，最小值为

答：时，A，B两城总运费的和为万元；当时，A，B两城总运费的和为万元．

16.解：，，

随x的增大而减小，随x的增大而增大，

当时，的最大值为①当时，的最小值为②，由①②得，圆圆的说法不正确.理由：设，且，则，，当时，，当时，，，圆圆的说法不正确.

17.解：一元二次方程的二根，为：

，

抛物线与x轴的两个交点的坐标为，

设二次函数的解析式为，

抛物线过点

，解得

二次函数的解析式为

根据图象可知：

不等式的解集为：或

由

抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为

设直线AC解析式为，

将，，代入解得：

，，

直线AC解析式为

将代入，得

作点A关于x轴的对称点，

连接，与x轴交于点M即为所求的点．

设直线的解析式为，

将，代入解得：

，

直线的解析式为

令，则

18.解：，

顶点坐标为；

顶点坐标为，

当时，，

当时，y随着x的增大而增大，

当时，，

当时，y随着x的增大而减小，

当时，

当时，函数的最大值为4，最小值为0；

当时，对t进行分类讨论，

①当时，即，y随着x的增大而增大，

当时，，

当时，，

，

，解得不合题意，舍去，

②当时，顶点的横坐标在取值范围内，

，

当时，在时，，

，

，解得，不合题意，舍去；

当时，在时，，

，

，解得，不合题意，舍去，

③当时，y随着x的增大而减小，

当时，，

当时，，

，

，解得不合题意，舍去，

综上所述，或

19.解：函数有最小值，

，

当时，函数的y随着x的增大而增大，

，

与的图象形状相同，

，

或

函数的图象是开口向下的抛物线，

且，

20.解：设直线OD的解析式是，把代入，得，解得

直线OD的解析式为，

顶点A在直线上，可设点A的坐标为，

，

点B的坐标为，

，

当时，点B的纵坐标的最小值是，

此时点A的坐标是；

由知A的坐标是，点B的坐标为，

将A、B坐标代入得，，解得，

抛物线，

当时，，解得，

21.解：反比例函数图象经过第二、四象限，

，

，

点在第四象限；

反比例函数图象经过第二、四象限，

在每一象限内随x的增大而增大，

又点，在反比例函数上，

，解得，

，b，c的大小关系为：；

，

反比例函数位于第一、三象限，在每一象限内随x的增大而减小，

又，当时，函数的最小值是；当时，函数的最大值是n，

当时，；当时，，

，

解得：不合题意，舍去或，

，

，，

，

22.解：对于，当时，y有最小值2，

点为抛物线的顶点，

设抛物线的解析式为，

把代入得，，，抛物线的表达式为，即

点，都在抛物线上，点C、D关于直线对称，，

23.解：当时，，

解得，，

点A在点B的左侧，

，，

当时，，即，

设直线l的表达式为，

将B，C两点坐标代入得，，

解得，，

则直线l的表达式为；

①如图1，当点M在AO上运动时，过点D作轴于N，

由题意可知，，，，

则，，

，

在与中，

，

≌，

，，

；

同理，如图2，当点M在OB上运动时，

点D的坐标为：

将D点坐标代入直线BC的解析式得，，

，即点D落在直线l上时，；

②是等腰直角三角形，

，

线段CM最小时，线段CD长度的最小，

在AB上运动，

当时，CM最短，CD最短，即，

根据勾股定理得，CD的最小值为

【解析】1.【分析】

本题考查二次函数的性质及最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键.

将二次函数化成顶点式，再求最值，根据最小值为解答即可.

【解答】

解：

抛物线开口向上，对称轴为直线

当时，若时，y随x的增大而增大，

当时，y有最小值，

，

，不合题意，舍去．

当时，，y有最小值

，

，

当时，若，y随x的增大而减小．

当时，y有最小值

不合题意，舍去．

综上：2.【分析】

本题考查二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，属于基础题．

根据题目中的函数解析式结合二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．

【解答】

解：二次函数，，

该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，当时，y有最小值1，当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小；

故选项A、B的说法正确，C的说法错误；

根据平移的规律，的图象向右平移2个单位长度得到，再向上平移1个单位长度得到；故选项D的说法正确，

故选：3.解：点，都在双曲线上，

，

，，

，，

如图，作A点关于x轴的对称点，B点关于y轴的对称点，连接CD，分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形ABPQ的周长最小，

，，

四边形ABQP周长，

，，

四边形ABQP周长最小值为，

故选：

先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于x轴的对称点D，B点关于y轴的对称点C，根据对称的性质得到C点坐标为，D点坐标为，CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短得此时四边形ABQP的周长最小，然后利用两点间的距离公式求解可得．

本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、熟练运用两点之间线段最短解决有关几何图形周长最短的问题是解题的关键．4.解：依照题意，画出图形如下：

函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中

，，对称轴为，

，

，故①正确，

对称轴为，

与的函数值是相等的，故②错误；

顶点为，

抛物线解析式为；，

联立方程组可得：，

可得，

，

无法判断是否大于0，

无法判断函数的图象与的函数图象的交点个数，故③错误；

当时，

当时，y有最大值为n，当时，y有最小值为，故④正确，

故选：

根据待定系数法，方程根与系数的关系等知识和数形结合能力仔细分析即可解．

本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键．5.解：二次函数，

该函数的图象开口向上，对称轴是y轴，它的顶点坐标为，

当时，函数有最小值3，当时，y随x的增大而增大，

故选项A、B、C错误，选项D正确.6.解：令，即，

二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，

，

解得，

，

该函数图象顶点坐标为，与y轴交点为，

该函数图象也经过点

函数图象在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小，当时，函数的最小值为，最大值为1，

，

故选：

根据二次函数的图象与直线有且只有一个公共点，可以得到c的值，然后即可得到函数的解析式，再根据二次函数的性质和题意，即可得到m的取值范围．

本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数的关系，解答本题的关键是求出c的值，利用二次函数的性质解答．7.解：，

该函数图象的开口向上，函数有最小值，为1，故①正确;

函数图象的对称轴为直线，故②错误;

当时，y随x的增大而增大，故③正确;

当时，y随x的增大而减小，故④错误.

综上，正确的有2个.8.【分析】

本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．

首先求得抛物线的对称轴为，抛物线开口向下，然后得到在顶点处取得最大值，在距对称轴最远处取得最小值．

【解答】

解：，

抛物线的对称轴，

，

抛物线开口向下，

，

时，y的值最大，最大值为3；

当时，y有最小值

故选9.解：抛物线解析式为，

即，

当时，二次函数有最小值，所以①正确；

当时，，

当，则，所以②错误；

点关于直线的对称点为，

当，则或，所以③错误；

，，

方程化为，

整理得，解得，，所以④正确．

故选：

利用交点式写出抛物线解析式为，配成顶点式得，则可对①进行判断；计算时，，则根据二次函数的性质可对②进行判断；利用对称性和二次函数的性质可对③进行判断；由于，，则方程化为，然后解方程可对④进行判断．

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10.解：抛物线经过，

抛物线对称轴为直线，

，即，①正确．

抛物线与x轴交点为，

，

将代入得，

抛物线顶点坐标为，

抛物线开口向上，

函数最小值为，②正确．

，

点C关于抛物线对称轴对称点坐标为，

，

或，③错误．

，

，，

，

方程的两个根为1和④正确．

故选：

由抛物线经过A，B可得抛物线对称轴及抛物线的交点式，从而可得b与a的关系，从而判断①，将代入函数交点式可判断②，求出点C关于抛物线对称轴的对称点可判断③，由抛物线的交点式可得c与a的关系，再根据b与a的关系可将方程化为只含参数a的方程，从而判断④．

本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数交点式与一般式的转换．11.【分析】本题主要考查二次函数的增减性求最值，解题关键在于确定函数图象的对称轴.

【解答】

解：抛物线的对称轴为直线

，，

抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，

当，函数取最小值为时，

把代入，得

故答案为12.本题主要考查了二次函数的图像与性质，掌握基本性质是解题的关键

根据二次函数的性质得到，，再利用当时，可判断抛物线的顶点坐标为，然后a取一个正数可得到一个满足条件的二次函数解析式.13.解：设点

点P在曲线上，

，

，

，且，

，

最小值为

设点，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，根据，且，可求OP的最小值．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，灵活运用是本题的关键．14.【分析】

本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式，即可得．

【解答】

解：抛物线，则它的顶点坐标为，

点向右平移1个单位，再向下平移3个单位所得对应点的坐标为，

所以所得抛物线的解析式为，

所得抛物线对应函数的最小值是

故答案为15.本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质有关知识.

再利用待定系数法即可求出a，b的值；

先根据的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案；

设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为件，从B城运往C地的产品数量为件，从B城运往D地的产品数量为件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．16.略17.本题考查了二次函数的综合知识，解决本题的关键是综合运用二次函数相关知识．

先求出一元二次方程的两个根，即可知与x轴的两个交点的坐标，进而即可求出二次函数的解析式；

根据图象即可解答；

根据B、C两点的坐标可求出二次函数的顶点坐标及对称轴，根据A、C两点