不等式易考点考向知识点总结分析,不等式高考真题及答案解析

考点24不等关系与一元二次不等式

1.不等关系

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.

2.一元二次不等式

（1）会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

（2）通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.

（3）会解■元二次不等式，对给定的■元二次不等式，会设计求解的程序框图.

知识整合,

________/

一、不等关系

1.不等式的概念

（1）现实世界与日常生活中，与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本

数量关系.

（2）用数学符号“>”“<”“2”“〈”连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含

有这些不等号的式子，叫做不等式.

2.两个实数大小的比较

（1）作差法：设a,beR,则,a<boa-b<0.

（2）作商法：设。>0,b>Q,贝a<b<^—<1.

bb

3.不等式的性质

（1）实数的大小顺序与运算性质的关系

®a>b^>a-b>0-,

②a=boa-b=。；

®a<b<^a-b<0.

（2）不等式的性质

①对称性：a>bob<a；（双向性）

②传递性：a>b,6>cna>c；（单向性）

③可加性：a>b<^>a+c>b~\-c；（双向性）

@a>b,c>d^>a-¥c>b+d\（单向性）

⑤可乘性：〃>Z?,c>O=〃c>Z?c；（单向性）a>b,c<O^ac<bc；（单向性）

@a>b>0,c>d>Onac>bd；（单向性）

⑦乘方法贝|J：Q>Z?>O=>Q〃N,〃21）;（单向性）

⑧开方法则：a>b>0=>y/a>y/b（nGN,论2）.（单向性）

注意：（1）应用传递性时，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无

法传递.

（2）可乘性中，要特别注意“乘数"的符号.

4.必记结论

（1）a>b,ab>Q=^—<—.

ab

♦、11

ab

（2b

（3）a>b>Qfl<c<d=>—>一.

cd

/、-111

（4）0<QVX<Z?a<x<Z?<On—<一<—.

bxa

hb+mhh—m

（5）若a>b>0,m>0,贝12V3—心0）；

aa+maa—m

aa+maa—m

—>-----；—<-----（/?-m>0）.

bb+mbb—m

二、一元二次不等式及其解法

1.一元二次不等式的概念

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式,

有下列三种形式：

（1）一般式：y-ax2+bx+c{a0）；

b—

（2）顶点式：y—u^xH---了H-------------（〃w0）；

2a4a

（3）两根式：y=〃（九一王）（九一々Xiw°）•

2.三个“二次”之间的关系

判别式4=廿—4acA>0A=0A<0

ll

44

y=ax2+bx+c(a>0)的图象4L

一元二次方程有两相异实根有两相等实根

b没有实数根

2的根

ax+bx+c=0(〃>0)xx,x2(%!<x2)w-五

一元二次不等式

{x|尤W一，}

（一双七）!^々#00）R

6zx2-\-bx+c>0（o>0）的解集2a

一元二次不等式

（和彳2）00

ax2+bx+c<0（。>0）的解集

3.一元二次不等式的解法

由一元二次不等式与相应的方程、函数之间的关系可知，求一元二次不等式的解集的步骤

如下：

（1）变形：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式，即

ax2+bx+c>0（«〉0）或ax2+bx+c<0（a>0）；

（2）计算：求出相应的一元二次方程（以2+法+。=0（。〉0））的根，有三种情况：

/=0,/<0,/>0；

（3）画图：画出对应二次函数的图象的草图；

（4）求解：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.

可用程序框图表示一元二次不等式的求解过程，如图.

4.一元二次不等式恒成立问题

(1)+法+。>0(〃W0)恒成立的充要条件是：〃>0且62-4〃。<0(九£11).

(2)a/+法+。20(。wo)恒成立的充要条件是：a>0且b2-4ac<0(九£R).

(3)a/+法+。<0(〃wo)恒成立的充要条件是：〃<0且/?2-4〃c<0(x£R).

(4)〃/+法+0工。^。0)恒成立的充要条件是：〃<。且"-4〃c<0(%£R).

(5)ax1+Z?x+c>0恒成立的充要条件是：a=b=O且c>0或a>0且

b2-4ac<0(xeR).

(6)ox?+以+。V。恒成立的充要条件是：a=h=o且c<0或〃<0且

b1-4ac<0(%GR).

工^点考向,

考向一比较大小

比较大小的常用方法：

(1)作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论.

注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的

形式或者多个因式的积的形式.

(2)作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论.

注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.

(3)介值比较法：

①介值比较法的理论根据是：若a>6,6>c,贝1Ja>c,其中6是a与c的中介值.

②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出■个比较合适的中介值.

(4)利用单调性比较大小.

(5)函数法，即把要比较的数值通过构造函数转化为该函数的函数值，然后利用函数的单

调性将其进一步转化为自变量的大小问题来解决.

典例引领

典例1若a=2/+1,b=x2+2x,c=—x—3,试比较a,b,c的大小.

【解析】Va=2x2+1,b=%2+2%,c=—%—3,

'.a—b=(2/+1)—(%2+2x)=x2—2%+1=(%—l)2>0,即a>b,

b-c=(/+2%)—(—x—3)=x2+3x+3=(x+|)2+^>0,即b>c,

综上可得：a>b>c.

典例2已知则d,log/,log/的大小关系是

a

bb

A.logxb<a<logbaB.<\ogha<a

aa

C.log/vlog/D.〃"<logB<log/

aa

【答案】A

【解析】因为所以0<a&<a°=1,logba>logftZ?=1,

又工>1,所以log@<log]1=0.

a77

综上，得log@<a"<log/.

故选A.

【名师点睛】在用介值法比较时，中介值一般是通过放缩变形，得到一个中间的参照式(或

数)，其放缩的手段可能是基本不等式、三角函数的有界性等.

变式拓展

1.已知a,O,ceR,给出下列条件：①②工<,；③丝2>秘2,则使得成

ab

立的充分而不必要条件的是

A.①B.②

C.③D.①②③

考向二求范围的问题

求范围的问题需用到不等式的性质，熟记不等式性质中的条件与结论是基础，灵活运用是关

键.

在使用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的前提条件，特别是不等式两端同时乘以或

同时除以一个数、两个不等式相乘、一个不等式两端同时求〃次方时，一定要注意其成立的

前提条件，如果忽视前提条件就可能出现错误.

求范围的一般思路是：

(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；

(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；

(3)结合不等式的传递性进行求解；

(4)要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.

典例引领

九2r4

典例3设实数羽y满足1〈孙2<2,2<—<3,则4的取值范围是

yy

【答案】[2,27]

2、3

X

/2、3

X，\VX

【解析】因为一Z-=-----7，8<<27,1〈（孙2）"<4,

y(盯B

所以9。%=[2,27].

y'41

典例4若二次函数y=/(尤)的图象过原点，且1</(—1)<2,3</(1)<4,求八一2)的取

值范围.

【解析】方法一：：二次函数y=Kx)的图象过原点，.•.可设/(》)=奴2+法(。/0).

f〃l)=a+6

易知1「<，•〃

、乙

则/(-2)=4。_26=3/(-1)+/(1).

Vl</(-l)<2,3<f(l)<4,/.6</(-2)<10.

方法二：由题意设/(x)=ar?+Zzx(aW0),则犬1)=。+6,八一l)=a-b.

令加(〃+。)+〃(。一/?)=八-2)=4〃-2。，

•m+n=4•fm=l

m—n——2\n=3

・・・夫—2)=(〃+b)+30—6)=犬1)+3人一1).

VI</(-1)<2,3</(l)<4,.-.6</(-2)<10.

【名师点睛】同向不等式只能相加，不能相减.

变式拓展

2.己知—l<x+y<l,\<x-y<3,则8匕[3]的取值范围是

A.["]B.1,28

C.[22]D.1,27

考向三一元二次不等式的解法

1.解不含参数的一元二次不等式的方法：

(1)若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为几个代数式的乘积形式，则可

以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集.

(2)若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式,不论取何值，完全平方式始终大于

或等于零，不等式的解集易得.

(3)若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法,即判别式法.

2.在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重

不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：

(1)关于不等式类型的讨论：若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以

确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定

解集的形式；

(2)关于不等式对应的方程的根的讨论：两根(/>0),一根(/=0),无根(/<0)；

(3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：%>々,石=々,石<%.

典例引领

典例5解下列不等式：

⑴-X2-2X+3>0-

(2)4X2+4X+1<0.

【解析】(1)不等式两边同乘以一I,原不等式可化为式+2x—3<0,

即(左一1)(尤+3)<0,则一

故不等式一%2—2尤+3N0的解集是{x|—34尤<1}.

(2)4X2+4X+1<0,即(2X+1)2<0,则x=—g.

故不等式4X2+4X+1<0的解集为{x|x=--}.

典例6已知函数/(%)=ax2—(2a+1)%+2.

(1)当。=2时，解关于%的不等式/(%)40；

(2)若a>0,解关于%的不等式/(%)<0.

【解析】(1)当。=2时，/(%)40n2x2-5%+2<0,

可得(2万一1)。一2)<0,

<2,

f(x)<0的解集为假,21.

(2)不等式/(%)<0可化为a/—(2a+1)%+2<0,a>0,

即a(%-：)(%-2)<0,a>0,

①当0<aV工时，->2,

2a

解得

a

②当Q=工时，工=2,

2a

解得％=2.

③当a>工时，-<2,

2a

解得!<x<2.

a

综上，当0<a<?时，不等式的解集为｛X[2<X<L；

2a

当。=手寸，不等式的解集为｛%|%=2｝；

11

当时，不等式的解集为｛x|—K九42｝.

2a

变式拓展

3.已知关于x的不等式一l2+a%+b>o.

(1)若该不等式的解集为(T,2),求。，6的值；

(2)若b=a+l,求此不等式的解集.

考向四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间关系的应用

一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要

注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.

(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，

要注意解集的形式与二次项系数的联系.

(2)若一元二次不等式的解集为R或。，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次

函数图象与X轴的交点情况确定对应一元二次方程的判别式的符号，进而求出参数的取值范

H.

典例引领

典例7已知函数/(%)=-3x2+a(6—a)%+c.

(1)当。=19时,解关于a的不等式/(I)>0；

(2)若关于x的不等式/(%)>0的解集是(T,4),求实数的值.

【解析】(1)当c=19时,/(%)=—3M+。(6—a)%+19,

所以/(I)=-3+(1(6—ci)+19=-a?+6a+16,

f(1)>0,即a?—6a—16<0,

解得一2Va<8.

(2)依题意:T,4是方程-3/+a(6-a)x+c=0的解,

a[6-a^§

3-

由根与系数的关系可得《，解得仁

|=-4

典例8已知关于X的不等式2%+3左<0.

(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-1},求k的值；

(2)若不等式的解集为0,求实数k的取值范围.

【解析】(1)由不等式kx~—2.x+3k<0的解集为{尤［x<—3或无>—1},可知k<0,—3和

-1是一元二次方程Ax?—2%+3左=0的两根,

’(-3)X(-1)=3

所以《,、，、2,解得k=——.

(-3)+(-1)=工2

IK

(2)由题意知不等式A%2_2x+3左<0的解集为0,

若k=0,则不等式为—2x<0,此时久>0,不合题意;

左>0^3

若k大0,则<，解得左2义

4=4—4左x3左<03

综上，实数k的取值范围为［上,+8）.

3

变式拓展

4.已知二次函数/（%）=丘2一（］一左）％+h

（1）若关于x的不等式/（力＜0的解集为R,求实数人的取值范围;

（2）若关于x的方程/（"=%有两个不等正实根，求实数左的取值范围.

考向五一元二次不等式的应用

对于分式不等式和高次不等式，它们都可以转化为一元二次不等式或利用一元二次不等式的

思想求解.

1.分式不等式的解法

若/（X）与g（x）是关于X的多项式，则不等式上区〉0（或＜0,或2。，或W0）称为分式不等

g（x）

式.解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）求解.即

〃(x)>°或]

"1g(九)>0[g(x)<0

或/(%)<0

/⑴〉。/、n/(x>g(x)<0；

一g(x)<0[g(x)>0

/(x)-g(x)>03

,、；n/(x)-g(x)>0或/>(%)=();

符。T[g(x)w0

/(%)­?(x)<0,,

，、：n/(x).g(x)<0W(x)=0.

[g(x)w0

对于形如也〉。（或＜。）的分式不等式,其中0,求解的方法是先把不等式的右边化为0,

g（x）

再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解.

2.高次不等式的解法

不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式.解高次不等式常用的方法有两种:

（1）将高次不等式/（x）>0（<0）中的多项式/（x）分解成若干个不可约因式的乘积，根据

实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式（组）.于是原不等式的解集就是各

不等式（组）解集的并集.

（2）穿针引线法：

①将不等式化为标准形式，一端为0,另一端为一次因式（因式中x的系数为正）或二次不可

约因式的乘积；

②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；

③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿

而不过（奇过偶不过）；

④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集.

典例引领

典例9不等式—2x（x—3）（3x+l）>0的解集为.

【答案】]-8,[U（0,3）

【解析】不等式—2x（x—3）（3x+l）>0可转化为x（久一3）（3久+1）<0,

且方程3）（3x+l）=0的根为石=0,x2=3,X3=—g,

则由穿针引线法可得原不等式的解集为1-8,1U（O,3）.

典例10解关于x的不等式:士4<0（«eR）.

x-a

【解析】原不等式等价于：（%—〃）。一。2）<0,其对应方程的两根为X1=〃，X2=a2.

2

x2-x1=a-a=a（a-1）,分情况讨论如下：

①若战0或a>l,即。2>a,则所求不等式的解集为｛x[a<%<〃｝.

②若a=0或a=l,原不等式可化为x2<0或0—1）2<0.

此时，所求不等式的解集为％£0.

③若0<"1,即a2s则所求不等式的解集为｛xI/<x<a｝.

综上所述：当。<0或a>l时，原不等式的解集为｛x|a<%</｝；

当。=0或〃=1时，原不等式的解集为0；

当0<a<l时，原不等式的解集为{x|〃<x<a}.

变式拓展

Ozyy_

5.已知函数/(%)=-------(a,bGR).

x—1

&,+<»],求/(x)<0的解集;

(1)若关于％的不等式2依—〃>0的解集为

(2)若a=g,解不等式/(x)>0的解集.

考向六含参不等式恒成立问题的求解策略

解决含参不等式恒成立问题的关键是转化与化归思想的运用，从解题策略的角度看，一般而

言，针对不等式的表现形式，有如下四种策略：

(1)变换主元，转化为一次函数问题.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.参

数和未知数是相互牵制、相互依赖的关系，有时候变换主元，可以起到事半功倍的效果.

(2)联系不等式、函数、方程，转化为方程根的分布问题.

(3)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间

上全部在x轴上方，恒小于。就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在无轴下方.常

转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.即

①若/(%)在定义域内存在最大值m,则/(x)<a(或于(x)<a)恒成立=a〉机(或

a>m)\

②若/(x)在定义域内存在最小值加，则/(%)>“(或/(%)之“)恒成立=。<加(或

a<m);

③若/(幻在其定义域内不存在最值，只需找到了(幻在定义域内的最大上界(或最小下界)加,

即f(x)在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况

下的加，只是等号均可以取到.

(4)转化为两个函数图象之间的关系，数形结合求参数.在不等式恒成立问题的处理中，

若能画出不等式两边相应的函数图象，恒成立的代数问题立即变得直观化，等价的数量关系

式随之获得，数形结合可使求解过程简单、快捷.

典例引领

典例11已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且不等式f(x)<2x的解集为(1,3),对任意的

xER都有/(久)>2恒成立.

⑴求y(x)的解析式;

(2)若不等式k/(2X)-2X+1<0在xG[1,2]上有解，求实数k的取值范围.

【解析】(1)=a/+力％+。<2%的解集为(1,3),

方程ax?-(2-b)x+c=0的两个根是1和3.

2-bA

----------二4

。

则、a,解得『5=2-4

c=3a

.a

又：/(%)>2在久eR上恒成立，/.ax2+(2-4a)x+3a-2>0在久GR上恒成立,

则/=(2—4a/-4a(3a-2)<0,即(a-l)2<0,

又•••(a-1)220,.♦.(a—1)2=0,

得a=1,

故/'(x)—x2—2x+3.

(2)由题意知k/(2x)-2x+l<0,即k(22x-2-2x+3)<2X-1,

2X-1

,：22x-2•2,+3=0—1)2+2>0,：.k<

22—22+3

设t=2，一则左,

r+2

又：M<—尸，当且仅当t=-BPt=/时取得最大值乎,

2

t+2t+22V2t4

t

r「■一

:.k。,即实数k的取值范围为—oo,2.

44

典例12已知函数/(%)=初/-mx-1.

(1)若对于x£R,/(x)<0恒成立，求实数机的取值范围；

(2)若对于工£[1,3],#元)<5-加恒成立，求实数机的取值范围.

【解析】⑴因为/(力=如；2_“_1<0对xSR恒成立，则

①加=0时,/(x)=T<0恒成立；

m<0

②19，解得-4<加<0.

m+4m<0

故实数m的取值范围为(T,0].

(2)/(x)<5-〃z,即m(^x2-x+1)<6.

因为必一%+1>0,所以m<——^——对于尤G[l,引恒成立.

X—X+1

记g(_r)=—^~-=------5-----,xe[1,3],易知g(x)m=8⑶=。,所以机<会

—x+1(x—%+377

24

即实数机的取值范围为(-8,自).

7

变式拓展

6.若函数/(x)=Jfcc2—6—+(左+8)的定义域为R,求实数人的取值范围.

、亨点冲为充

1.已知集合人={刈(尸l)(x—4)W0},B=[x\—<0},则AA3=

x—2

A.{x|l<x<2}B.{x|l<x<2}

C.{x|2<x<4}D,{x|2<x<4}

2.下列命题正确的是

A.若a>b，则一<丁B.若a>b，则a2>b2

ab

C.若a>b,c<d,则a-c>Z?-dD.若a>b,c>d,则

3.x>2是12—2%>0的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.设7〃=1080.30.6,九=310820.6,贝！|

A.m-n>m+n>nmB.m—n>mn>m+n

C.m+n>m—n>mnD.nm>m—n>m+n

5.已知实数x,y满足—4<x—y<—1,-l<4x-y<5,则9x—y的取值范围是

A.[-7,26]B.[-1,20]

C.[4,15]D.[1,15]

x

6.三个正整数%,九z满足条件:y>z,z>—,若z=5,则丁的最大值是

3

A.12B.13

C.14D.15

7.若不等式依2+21+0<0的解集是oo,—,则不等式CX2+2X+Q<0的

解集是

111「1厂

L23jL32J

C.[-2,3]D.[-3,2]

8.关于元的不等式(/—1)尤2—3—1)%—1<0的解集为R,则。的取值范围为

33

A.——<a<lB.——<a<l

55

3、3

C.-二<〃<1或〃=―1D.—-<62^1

9.设。力是关于x的一元二次方程2如+加+6=。的两个实根，贝g(a—iy+3—Ip

的最小值是

49

A.-----B.18

4

C.8D.-6

10.设正数a,b满足b—a<2,若关于X的不等式(/―4卜2+4历;—〃<o的解集中的

整数解恰有4个，则。的取值范围是

A.(2,3)B.(3,4)

C.(2,4)D.(4,5)

11.不等式—2f—x+620的解集是.

12.设P=e=V7-A7?=V6-V2,则的大小顺序是.

13.不等式f—履+1>。对任意实数x都成立，则实数左的取值范围是.

14.若集合4=｛刈犬—(a+2)x+2—a<0,xeZ｝中有且只有一个元素，则正实数。的

取值范围是.

15.已知函数/(x)=必一[a+L]x+l(xeR).

(1)当时，求不等式/(x)<0的解集；

2

(2)若关于x的不等式/。)<。有且仅有一个整数解，求口义黎4的取值范围.

1,

16.己知函数/(%)=—x'+(m-2)x(zneR).

U)若关于x的不等式/(x)<4的解集为(—2,4),求机的值;

(2)若对任意工日0,4]"(期+2..0恒成立,求加的取值范围.

3■通高考

1.（2019年高考全国III卷文数）已知集合4={—1,0,1,2},3={》|炉<1},则=

A.{-1,0,1}B.{0,1}

C.{-1,1}D.{0,1,2}

2.（2019年高考全国I卷文数）已知a=log2（）.2/=2°-2,C=0.2°3,则

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

3.（2019年高考天津卷文数）设xeR,则“0<x<5”是“I%Tl<1”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2019年高考浙江卷）若。>0,。>0,则“a+794”是“"W4”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2018年高考天津卷文数）设尤eR,则“％3>8”是小1>2”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2017年高考天津卷文数）设xeR,则“2-尤NO”是“|太一1国1”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.（2017年高考山东卷文数）已知命题p：*eR,f―X+G0；命题4：若/</厕

下列命题为真命题的是

A.pzqB.p八r

c.r>/\qD.-p八f

8.（2017年高考上海卷）不等式三土>1的解集为.

9.（2018年高考北京文数）能说明“若a>b,则工<L'为假命题的一组a,b的值依次为

ab

10.（2019年高考江苏）函数）,=、/7+6丫一丫2的定义域是▲.

嶷参考答案,

变式拓展

4^------------

1.【答案】c

【解析】对于①，由/〉/,得|。|>|勿，不一定有。>6成立，不符合题意；

对于②，当a=-1力=1时，有1<工，但。>6不成立，所以不符合题意；

ab

对于③，由a。？>bc2，知<#0,所以有“>6成立，当。>6成立时，不一定有ac?>bc2，

因为c可以为0,符合题意.

本题选择C选项.

【名师点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，充分条件和必要条件的判定等知识，

意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2.【答案】C

［解析］令3x_y=s（x+y）=（s+f）x+（s_f）y,

1<x-y<3,2<2（x-y）<6,①

又-l<x+y<l,②

...①+②得l<3x—y<7.

则8'v-.故选C.

【名师点睛】本题主要考查不等式的性质以及指数函数的性质，意在考查综合运用所学

知识解答问题的能力，属于中档题.求解时，利用待定系数法求得

3x—y=(x+y)+2(x—y),由一l<x+y<l,l<x—y<3,结合=23^y,

从而可得结果.

2—4=a

3.【解析】(1)根据题意得I./八,

2x(-4)=-/?7

解得a——2,b=8.

(2)当二Q+1时，-+ax+Z?>0—ux—(Q+1)VO,即

［九一+(九+1)vO.

当4+1二—1,即Q=—2时，原不等式的解集为0；

当a+l<—1,即a<—2时，原不等式的解集为(a+LT)；

当a+l>—1,即a>—2时，原不等式的解集为(―La+1).

【名师点睛】本题考查一元二次不等式解集与对应一元二次方程根的关系以及解一元二

次不等式，考查基本应用求解能力.属基本题.

(1)根据不等式解集与对应一元二次方程根的关系列方程，解得。，6的值；

(2)先代入化简不等式，再根据对应一元二次方程根的大小分类讨论不等式解集.

4.【解析】(1)/(%)<0,即麻？一。一左)1+左<0,

优<0k<0

由二次函数知识得<。

1A(l-k)2-4k2<0

解得上<—1.

(2)/(x)=x,即辰2—(1一左)x+左=x,即正2一(2—左)x+Z=0,

A>0A>0

%〉

由二次方程有两个不等正实根知，<00<%1+x2>0,

x2>0x{x2>0

（左一2）2—4左2>0

匕。

由根与系数间关系得，《,解得Q<k<一.

k3

1>0

5.【解析】(1)..•不等式2依—b>0的解集为;,+s,

a>Q,a=b>0,

<0=〃（2%<oo。（2%—1）（%—1）vo,

x-l

•../(X)<0的解集为[；,1).

1x—h

(2)a=—时，不等式/(x)>0o/(x)=^^>0o(x—b)(x—l)>0,

2x—1

1。当A>1时，不等式的解集为(TQ,1)U优,+8)；

2。当5=1时，不等式的解集为｛x|x71｝；

3。当"1时，不等式的解集为(T3)U。,”).

【名师点睛】本题考查不等式的求解应用，属于基础题.

(1)/(x)<00"2x]I<0=a(2u_l)(x_l)<0,然后求解即可.

1Y—A

(2)a=—时，不等式/(x)>0o/(x)=^^>0o(x—Z7)(x—l)>0,然后分类

2x—1

讨论即可.

6.【解析】V/(%)的定义域为R,

二.不等式kx2-6kx+k+8>0的解集为R.

①%=0时，8>0恒成立，满足题意；

1>0

②存。时，则1365—4成+8)K。'解得°<总

综上得，实数人的取值范围为[0,1].

考点冲关

--------

1.【答案】D

【解析】依题意A=[L4],5=(2,5],故4口6=(2,4].故选D.

2.【答案】C

【解析】A.若a>b,则,<,，取a=l力=-1不成立；

ab

B.若a>b,则标>〃，取。=02=—1不成立；

C.若a>b,c<d,则a-c>Z?-d,正确；

D.若。>6,c>d,则ac>bd,取a=l,b=-l,c=l,d=-2不成立.

故选C.

【名师点睛】本题考查了不等式的性质，找出反例是解题的关键.

3.【答案】A

【解析】由％2一2%>0解得：尤<0或x>2,•.,{x|x>2}*{x|x<0时>2},

因此，》>2是必—2%>。的充分不必要条件，故选A.

【名师点睛】本题考查充分必要条件的判断，先解不等式好-2%>0得出解集，根据集

合之间的包含关系得出两条件的充分必要性.一般利用集合的包含关系来判断两条件的

充分必要性：

(1)B,则“xeA”是“xwB”的充分不必要条件;

(2)AYB,则“xeA”是“xeB”的必要不充分条件；

(3)A=B,贝『'xeA”是“xeB”的充要条件.

4.【答案】A

【解析】m=log030.6>log03l=0,«=^log20.6<^log2l=0,mn<0,

|j+7?

—+-=log0.3+log4=logl,2<log0.6=l,即-----<1,^m+n>mn.

mn06060606mn

又(根一〃)—(zn+〃)=—2〃>0,所以相一〃>加+〃.

故m—n>m+n>Hm,所以选A.

【名师点睛】本题考查利用作差法、作商法比较大小，考查对数的化简与计算，考查分

析计算，化简求值的能力，属中档题.求解时，先判断机，〃的正负，即可得7篦〃<0;计

算L+L=log06L2<l,化简可得利+〃>77"2,再通过作差法比较〃-力，"2+72的大

mn

小，即可得结果.

5.【答案】B

n-m

x=-----,

3g5

［解析］令相=%一',几=4九，则2=9%_y=_〃——m,

n-4m33

7=3

“，5520-,8840

,/-4<—<——m<——,又：-1<〃V5,:.——<—n<——,

333333

85

因此-1V2=9x—y=§根K20,故本题选B.

【名师点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同

向可加性是解题的关键.令加=x—y,〃=4x-y,得到关于x,y的二元一次方程组，解

这个方程组，求出9x-y关于加，"的式子，利用不等式的性质，结合加，”的取值范围，

最后求出9x-y的取值范围.

6.【答案】B

Y

【解析】由不等式的性质结合题意有：x>y,y>5,5>§,即

x>y,y>5,x<15...y<x<15,

由于苍y,z都是正整数，故》的最大值是13.

故选B.

【名师点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，不等式的传递性等知识，意在考查

学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合不等式的性质和不等式的传递性即可确定y

的最大值.

7.【答案】D

【解析】因为不等式依2+2%+C<0的解集是1一co,一；)u|g,+8),

a<0

211,a二—12

所以《—-,解得<

a32c-2

c11

—=——x—

、a32

所以不等式cx2+2x+a<0可化为27+2%—1240,即三+彳-640,解得—3WxW2.

故选D.

【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，熟记三个二次之间的关系即可，属

于基础题型.先由题意求出dc,再代入不等式32+2%+。<0求解，即可得出结果.

8.【答案】D

【解析】当6—1=0时，a=±l,若a=l,则原不等式可化为—1<0,显然恒成立;

若a=—1,则原不等式可化为2x—1<0不恒成立，所以a=—1舍去；

当6—1/0时，因为(〃—1卜2—(a-l)x—1<0的解集为R,

a'—1<03

所以只需4,、2/\>解得—二<。<1；

A=(a-1)+4(a2-l)<05

3

综上，。的取值范围为：—

故选D.

【名师点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题，需要用分类讨论的思想来处

理,属于常考题型.分情况讨论,当/_i=o时，求出满足条件的。的值;当〃一1/o时，

求出满足条件的。的取值范围，即可得出结果.

9.【答案】C

【解析】因为。,6是关于工的一元二次方程了2—23+m+6=0的两个实根，

a+b=2m

所以由根与系数的关系得｛,,JELA=4(m2—m—6)>0,

ab=m+o

所以y=(a—I)?+0—I)2=(