6.3+二项式定理+讲义-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育第六章计数原理第六章计数原理6.36.3二项式定理知识解读知识解读知识点一：二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋Ceq\o\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)．这个公式为二项式定理．展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．二项式系数：各项的系数Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2，…，n})叫二项式系数．知识点二：二项展开式的通项(a＋b)n展开式的第k＋1项叫二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.知识点三：二项式系数的性质对称性在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增减性与最大值增减性：当k<eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐增大的；当k>eq\f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值各二项式系数的和(1)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n；(2)Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1小小思考小小思考a＋b)n的展开式的二项式系数和系数相同吗解：不一定．(a＋b)n的展开式的通项是Ceq\o\al(k,n)an－kbk，其二项式系数是Ceq\o\al(k,n)(k∈{0,1,2,3，…，n})，不一定是系数．题型探究题型探究例1．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（1）求项数；（2）求展开式中的二项式系数最大的项；（3）求展开式中所有系数的绝对值的和．【答案】（1）；（2）；（3）．【详解】（1）二项式展开式的通项为，因为前三项系数的绝对值成等差数列，所以，化简得，解得，（，舍去）．（2）由（1）知，二项式的展开项共9项，故二项式系数最大的项为第项，即（3）展开式中所有系数的绝对值的和为，例2．在的展开式中（1）求二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项是第几项?【答案】（1）；（2）第6项和第7项.【详解】展开式的通项公式为（1）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故.(2)设第项系数的绝对值最大，则，即，整理得，于是或.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.例3．已知二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096．（1）求（）的展开式中的常数项的值；（2）在的展开式中，求项的系数的值．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）因为二项式（）的二项展开式中所有项的二项式系数之和为4096，所以，可得，即的展开式的通项是：（），令得：，∴常数项是；（2）由（1）知，即，展开式中项的系数分别为：所以的展开式中项的系数为：．例4．（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？(最后结果需用数字作答)（2）把件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有几种？(最后结果需用数字作答)（3）四个不同的小球放入编号为，，，的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？(最后结果需用数字作答)（4）已知的展开式的二项式系数和比的展开式系数和大.求的展开式中求二项式系数最大的项.【答案】（1）216；（2）36；（3）144（4）-8064【详解】（1）按照最左端分两类，第一类排甲，其余的5人全排列，共有种，第二类，排乙，最右端不排甲有种，其余4人全排列，有种，共有种，由分类计数原理得共有120+96=216种.（2）分步完成，第一步将A，B捆在一起当作一个元素与除C的两个元素一起全排列，共有种，第二步将C插入已经排好的排列中，让A，C步相邻，有种，由分步计数原理得：共有种.（3）四个不同的小球放入编号为，，，的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，有种不同的方法.（4）的展开式的二项式系数和为，令得的展开式系数和，所以，解得，所以，的展开式共有11项，其中二项式系数最大的项是第六项，即.例5．已知，求【答案】16【详解】令，得；令，得，故.课后小练课后小练1.已知(x+1（1）求证：前三项系数成等差数列；（2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项）.2.已知二项式(2x-ax)n（1）求n的值；（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值.3.我们称n(n∈N*)元有序实数组(x1,x2,⋯,xn)为n维向量，|x1|+|x2|+⋯+|xn|为该向量的范数，已知n维向量a=(x1（1）求A2和B2（2）求A2020的值；（3）当n为奇数时，证明：Bn4.在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为47，③各项系数之和为414，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k设二项式(x+3x3)n，若其展开式中，

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，是否存在整数注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.5.在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”．问题：已知二项式(1+3x)n（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求(1+3x)n(1-x)56.在(x+24x（1）求n的值及展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中的有理项.7.已知(1+2x)n（1）若展开式中奇数项的二项式系数和为128，求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）若展开式前三项的二项式系数和等于37，求展开式中系数最大的项．8.二项式(3x-（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中各项的系数和；（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.

答案解析部分1.【答案】（1）解：T3∵14C所以前三项分别为T1=C80(T3所以前三项系数分别为1，4，7，∵2×4=1+7∴前三项系数成等差数列.

（2）解：Tr+1=∴r=0,4,8，展开式中x所以展开式中所有有理项为：T1=C80(x)8【解析】（1）先根据二项展开式通项公式得第三项的系数，再解方程得n=8，最后根据二项展开式通项公式写出前三项系数，根据等差中项性质即可判断；（2）先根据二项展开式通项公式得x的指数，再根据x的指数为整数确定对应项，即得结果【答案】（1）解：由题知，二项式系数和Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n=256即为展开式中第5项，∴C84⋅24【解析】根据二项式系数和列方程，解方程求得n的值.（2）根据二项式系数最大项为70，结合二项式展开式的通项公式列方程，解方程求得a的值.3.【答案】（1）解：范数为奇数的二元有序实数对有：(1,0)，(-1,0)，(0,1)，(0,-1)，它们的范数依次为1，1，1，1，∴A2=4，B2=4.

（2）解：当n为偶数时，在向量a要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，∴可按照含0个数为1,3,⋅⋅⋅,n-a的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或-1，共有Cn1⋅2n-1个，每个a的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或-1，共有Cn3⋅2n-3个，每个a的n个坐标中含n-1个0，其余坐标为1或共有Cnn-1⋅2个，每个∴An∵(2+1)(2-1)n①-②2得：An∴A2020=32020-12.

（3）解：当n要使得范数为奇数，则0的个数一定是偶数，∴可按照含0个数为0,2,4,⋅⋅⋅,n-a的n个坐标中含0个0，其余坐标为1或-1，共有Cn0⋅2n个，每个a的n个坐标中含2个0，其余坐标为1或-1，共有Cn2⋅2n-2个，每个a的n个坐标中含n-1个0，其余坐标为1或共有Cnn-1⋅2个，每个∴An∵(2+1)n(2-1)n=两式相加除以2得：An=而Bn=∵(n-∴B=n=2n=2n【解析】（1）列出范数为奇数的二元有序实数对，分别求其范数，则A2和B2可求；

（2）当n为偶数时，在向量a=(x1,x2,⋯,xn)的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，然后分含0个数为：1，3，…，n-1进行讨论，分别求得范数及范数的和，再由二项式定理及组合数公式化简即可．

（3）当n为奇数时，在a=(x1,x2,⋯x4.【答案】解：若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，即Cn7最大，由二项式系数的性质可得，n=14若选填条件③，即各项系数之和为414，则4n=414二项式(x+3x3由21-7k=0，得即存在整数k=3，使得Tk若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为47则2n-1=4二项式(x+3x3由22-7k=0，得即不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项【解析】由二项式系数的性质，可得选填条件①③时，n=14，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得k值，即可得到存在整数k=3，使得Tk是展开式中的常数项；

选填条件②时，n=15，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得k值，可知不存在整数k，使得Tk是展开式中的常数项．【答案】（1）解：若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64，则4n2n=2n若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为22，则Cn0+Cn1当n=6时，展开式共7项，二项式系数最大的项为T4=C63·(3x)含x2项的系数为C【解析】（1）在下面两个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，若选填条件①，即展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64，再利用二项式系数的性质结合二项式定理求展开式中的通项公式的方法，进而求出n的值；若选填条件②，即展开式中前三项的二项式系数之和为22，再利用二项式定理求出展开式中的通项公式，进而结合组合数公式，进而求出n的值，再利用n的值求出展开式的项数，进而找出展开式中二项式系数最大的项。

（2）利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出含x26.【答案】（1）解：依题意得：Cn0+2Cn1+4Cn∴n=-6或∵n∴n=6∴展开式中二项式系数最大的项为第四项，即T4（2）解：展开式的通项公式为：Tr+1=展开式的通项公式为：Tk+1=C当k=0时，3-3k4=3当k=1时，3-3当k=2时，3-3当k=3时，3-3当k=4时，3-3k4=0当k=5时，3-3当k=6时，3-3∴展开式中的有理项为x3和240【解析】(1)根据前3项系数和，建立方程求出n结合二项式系数的性质进行求解即可.

(2)求出展开式的通项公式，结合x的次数进行求解即可.7.【答案】（1）解：由展开式中奇数项的二项式系数和为Cn可得n=8所以展开式中二项式系数最大的项第五项，其系数为C84×24=1120

（2化为n2+n-72=0，解得n=8设展开式中系数最大的项为第k+1则{C8所以展开式中系数最大的项为第6或第7项，即T6【解析】由奇数项的二项式系数和为128求得n=8（2）由展开式前三项的二项式系数和等于37求得n=8，利用展开式中系数最大的