2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.1.1命题学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE1-第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.1.1命题[目标]1.了解命题的概念.2.会推断命题的真假.3.能正确理解命题的结构形式，并把命题化为“若p，则q”的形式．[重点]命题的概念的理解及命题的构成形式．[难点]命题概念的理解．学问点一命题的概念及其真假[填一填]一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．[答一答]1．陈述句肯定是命题吗？提示：不肯定，命题虽然是陈述句，但陈述句不肯定是命题，如“瑞雪兆丰年”，这句话表达的是一种可能性，但不具有确定性，所以不是命题．2．疑问句、感叹句、祈使句是命题吗？提示：都不是，因为不能推断真假．3．怎样推断命题的真假？提示：要推断一个命题是假命题，只须要举出一个反例即可，而要推断一个命题是真命题，一般须要经过严格的推理论证．在推断时，要有推理依据，有时应综合各种状况作出正确的推断．学问点二命题的结构形式[填一填]命题的结构形式：“若p，则q”，也可写成“假如p，那么q”的形式，也可写成“只要p，就有q”的形式．通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．[答一答]4．怎样将命题写成“若p，则q”的形式？提示：要把一个表面上不是“若p，则q”形式的命题写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，然后写成“若条件，则结论”的形式，即“若p，则q”的形式．5．“平行四边形的对角线相互平分”的条件和结论分别是什么？提示：条件：一个四边形是平行四边形；结论：四边形的对角线相互平分．1．命题的推断推断一个语句是不是命题，首先视察其句型是否为陈述句，其次看它是否能推断真假．2．推断真假命题的方法首先考虑特例法，依据给定条件举出特例，假如得出与给定结论相反的结果，那么就可证明它是假命题，若条件和结论的因果关系不明显，不简单找到反例，只能依据所学学问进行证明．类型一命题的概念【例1】推断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)三角形的三个内角的和等于360°；(2)a＋b＝4；(3)2024年奥运会的举办城市是巴西的里约热内卢；(4)这是一棵大树；(5)你是高二的学生吗？(6)求证：eq\r(2)是无理数；(7)并非全部的人都喜爱数学；(8)x2＋1>0.【分析】依据命题的定义进行分析推断．【解】(1)这是陈述句，且可以推断真假，因此是命题；(2)由于变量a，b的值不确定，无法推断其真假，因此不是命题；(3)这是陈述句，且可以推断真假，因此是命题；(4)“大树”的标准不确定，无法推断其真假，因此不是命题；(5)这是疑问句，不是命题；(6)这是祈使句，不是命题；(7)可以推断为真，人群中有的人喜爱数学，也存在着不喜爱数学的人，因此是命题；(8)虽然变量x的值不确定，但可以推断其真假，因此是命题．1命题一般是陈述句.但并非全部的陈述句都是命题，凡是在陈述句中含有比方、形容等词的，词义模糊不清的，都不是命题；2一般来说感叹句、疑问句、祈使句等语句都不是命题；3凡是悖论都不是命题；4凡是科学猜想都是命题.下列语句，不是命题的是(B)A．5>12B．x>0C．若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条高线交于一点解析：选项A能推断不成立，选项C，D都能推断成立，但选项B不能推断是否成立．类型二命题的真假推断【例2】已知a、b是两个实数，试推断下列命题的真假．(1)假如a、b是正实数且a2>b2，那么a>b.(2)假如a、b是随意实数且a2>b2，那么a>b.【解】(1)∵a2>b2，∴a2－b2＝(a－b)(a＋b)>0.又∵a>0，b>0，∴a＋b>0.因此，a－b>0，即a>b.所以，命题(1)是真命题．(2)取a＝－2，b＝1，a2>b2，但a<b.所以，命题(2)是假命题．1推断一个命题的真假时，首先要弄清晰命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的学问，经过逻辑推理来判定.2要说明一个命题为真命题，必需由条件及相关学问，通过严格的逻辑推理得到结论；而要证明一个命题为假命题，只需举一个反例即可.给出下列四个命题：①垂直于同始终线的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平行；③若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、l2相互平行；④若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是(D)A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都不正确．类型三命题的结构【例3】指出下列命题中的条件p和结论q，并推断各命题的真假．(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若a>0，b>0，则a＋b<0；(3)面积相等的两个三角形全等．【分析】留意对命题的表述形式进行变更，然后找出其条件和结论．【解】(1)条件p：整数a能被2整除，结论q：a是偶数．这是一个真命题．(2)条件p：a>0，b>0，结论q：a＋b<0.这是一个假命题．(3)命题改写为：若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等．条件p：两个三角形面积相等，结论q：这两个三角形全等．这是一个假命题．1数学中的命题基本上都是“若p，则q”的形式，但也有一些命题，从形式上看，不是“若p，则q”的形式，而将其表述进行适当变更，也可以写成“若p则q”的形式，因此在探讨命题时，不要受其形式的影响.2改写命题时，不能把大前提放在条件中，应写在“若”前面，仍作为命题的大前提.3对一个命题的形式进行改写后，其真假性保持不变.把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)两个相像三角形是全等三角形；(3)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．(2)若两个三角形是相像三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．(3)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．类型四素养提升改写命题时忽视大前提【例4】将命题“当a>0时，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大”写成“若p，则q”的形式．【错解】“若p，则q”的形式：若a>0，则函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．【错因分析】原命题有两个条件：“a>0”和“x增大”，其中“a>0”是大前提，将原命题改写为“若p，则q”的形式时，要把“a>0”置于“若”字的前面，把“x增大”作为条件．【正解】“若p，则q”的形式：当a>0时，若x增大，则函数y＝ax＋b的值也增大．【解后反思】有大前提的命题，改写成“若p，则q”的形式时，要留意其书写格式为“大前提，若p，则q”．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并推断命题的真假．(1)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.解：(1)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，真命题．(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．例如y＝4，x＝3也符合条件.1．推断下列语句哪个是命题(A)A．eq\f(π,2)是无限不循环小数B．3x≤5C．什么是“温室效应”？D．明天给我买本《红对勾》！解析：选项A，“eq\f(π,2)是无限不循环小数”是陈述句，并且它是真的，所以是命题；选项B，因为无法推断“3x≤5”的真假，所以选项B错；选项C是疑问句，选项D是祈使句，故都不是命题．2．下列语句中不是命题的是(C)A．y＝sinx(x∈R)是奇函数B．taneq\f(π,4)＝eq\f(\r(3),3)C．这是一条大河D．x∈R，x2＋2x＋1≥0解析：选项C，“这是一条大河”不是命题，因为“大河”没有界定标准，故不能推断“这是一条大河”的真假．3．命题“函数y＝2x＋1是增函数”的条件是函数为y＝2x＋1，结论是该函数是增函数．4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②二次函数的图象与x轴有公共点；③平行四边形是梯形；④若ac2>bc2，则a>b.其中真命题是①④(写出全部真命题的编号)．解析：对于②，二次函数的图象与x轴不肯定有公共点；对于③，