2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念学案含解析新人教B版必修第二册

PAGE6.1.1向量的概念学习目标1.通过对位移、速度等物理量的分析,了解向量概念产生的实际背景.2.理解向量、相等向量、共线向量、零向量的概念及向量的表示,体会数学抽象的核心素养.3.理解向量的几何意义.自主预习1.(蜘蛛吃蚊子)蜘蛛织了一张边长为20cm的正六边形网,蜘蛛位于正六边形的中心,蚊子恰好被网在了顶点A处,请思索以下3个问题.(1)蜘蛛按怎样的路途行走能吃到蚊子?(2)蜘蛛要想吃到蚊子至少要爬行多少厘米?(3)是不是蜘蛛只要爬行20cm就肯定能吃到蚊子?2.依据我们前面学习集合学问的思路:集合的概念→集合的表示→特别集合→特别关系,读课本本节课内容,然后理一下这节课要讲解的学问点之间的关系.课堂探究探究点一:向量的概念和向量的模1.向量的概念依据自主预习和课本“情境与问题”图片中给出的内容探讨回答以下几个问题:问题1.物理中位移和距离一样吗?有什么区分?问题2.位移是怎么定义的?问题3.你能不能举出一些和位移一样既有大小又有方向的量?问题4.你还能举出一些只有大小没有方向的量吗?问题5.请说出向量的概念.练习:推断下列各量哪些是向量?哪些是标量?浮力、密度、质量、力、速度、位移、温度、加速度、重力、路程、体积、面积、电流强度.2.向量的模请你类比位移,然后给出向量模的定义.探究点二:向量的表示1.向量的几何表示法问题1.思索并表示课本“情境与问题”图片中从A到B和从B到A的位移.问题2.我们学习一个数学概念之后,通常要用图形、符号等表示它,向量也是如此.类比位移,你认为应当怎样表示从点A到点B的向量呢?2.向量的字母表示法问题3.向量还有其他表示方法吗?练习:假设下图每个格子是边长为1cm,请写出下列各向量的模.|AB|=,

|CD|=,

|EF|=,

|GH|=.

探究点三:特别向量1.零向量和单位向量问题1:数量中有“0”“1”,那么向量中有没有类似的量呢?教材例1.找出下图中的单位向量.练习:推断下列命题的真假.(1)零向量是没有方向的;(2)零向量是有方向的;(3)零向量的方向是随意的;(4)零向量是没有长度的;(5)零向量的长度为0.2.相等向量和平行向量问题2:有没有大小和方向比较特别的向量呢?练习:(1)平行向量是否肯定方向相同?()(2)不相等的向量是否肯定不平行?()(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?()(4)与随意向量都平行的向量是什么向量?()(5)若两个向量在同始终线上,则这两个向量肯定是什么向量?()(6)共线向量肯定在同始终线上吗?()尝试与发觉:找出图中的相等向量:教材例4.找出下图中共线的向量,并写出共线向量模之间的关系.核心素养专练1.给出以下5个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是.(填序号)

2.下列各命题中,不正确的命题为()A.两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同B.模为0的向量与任一向量平行C.向量就是有向线段D.|a|=|b|⇒a=b3.如图,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,M,N分别为AB和CD的中点,在以A,B,C,D,M,N为始点和终点的全部向量中,回答下列问题:(1)与向量AD相等的向量有哪些?向量AD的相反向量有哪些?(2)与向量AM相等的向量有哪些?向量AM的相反向量有哪些?(3)在模为2的向量中,相等的向量有几对?参考答案自主预习略课堂探究探究点一:向量的概念和向量的模1.向量的概念问题1.不一样.位移有方向,距离没有方向.问题2.位移表示的是质点的位置改变,由初位置到末位置的有向线段.其大小与路径无关.问题3.力、速度、加速度等.问题4.时间、面积、长度、体积等.问题5.像位移这样既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量).练习:向量:浮力、力、速度、位移、加速度、重力.标量:密度、质量、温度、路程、体积、面积、电流强度.2.向量的模向量的长度表示向量的模.探究点二:向量的表示问题1.AB,BA问题2.向量的字母表示法问题3.向量还可以用带箭头的小写字母来表示,如向量a→,向量b→,向量c→等,印刷时常用加粗的斜体小写字母a,b,练习:463250探究点三:特别向量1.单位向量和零向量问题1:有教材例1.ABaCDb练习:(1)假命题(2)真命题(3)真命题(4)假命题(5)真命题2.相等向量和平行向量问题2:有练习:(1)不肯定(2)不肯定(3)零向量(4)零向量(5)平行向量(6)不肯定尝试与发觉:a=EFAB=CDb=c教材例4.解:a∥c且a=1b∥d且b=1e∥f且e=5核心素养专练1.①③④2.ACD3.(1)相等:MNBC相反:CBNMDA(2)相等:DNMBNC相反:MABMCNND(3)2对学习目标1.理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义.2.驾驭向量的几何表示,会用字母表示向量,用向量表示点的位置.3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义,并会推断向量间共线(平行)、相等的关系.自主预习1.向量的有关概念(1)向量:既有又有的量称为向量(也称为矢量),向量的大小称为向量的(或).

(2)零向量:始点和终点相同的向量,其方向是的.

(3)单位向量:模等于的向量.

(4)平行向量:方向的两个非零向量.两个平行向量也称为两个向量.

(5)相等向量:大小、方向的向量.

2.向量的表示:(1)有向线段:.

(2)向量可以用表示,向量AB的大小,也就是向量AB的,记作.向量也可以用加粗的斜体小写字母a,b,c等来表示,书写时,写为.也可以用有向线段始点和终点的字母表示,如AB等.

(3)的有向线段表示同一向量,或相等的向量.

合作探究:已知|a|>|b|,能说是a>b吗?课堂探究例1.推断下列命题是否正确,并说明理由.(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;(2)若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;(3)对于随意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同,则a=b;(4)由于0方向不确定,故0不与随意向量平行;(5)向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反.例2.已知O为正六边形ABCDEF的中心,在图中所标出的向量中:(1)试找出与向量FE共线的向量;(2)确定与向量FE相等的向量;(3)OA与BC相等吗?若不相等,那么它们有什么关系?例3.在图中的4×5方格纸中有一个向量AB,分别以图中的格点为起点和终点作向量,(1)其中与AB相等的向量有多少个?(2)其中与AB长度相等的共线向量有多少个?合作探究:如图,以1×1方格中的格点为起点和终点的全部向量中,可得到多少种不同的模?有多少种不同的向量?课堂小结:课堂练习如图,四边形ABCD为正方形,△BCE为等腰直角三角形.(1)图中所标出的向量与AB共线的有;

(2)图中所标出的向量与AB相等的有;

(3)图中所标出的向量与AB模相等的有;

(4)图中所标出的向量与EC相等的有.

核心素养专练1.(多选题)下列物理量中,能称为向量的是()A.质量 B.速度 C.位移 D.力2.设O是正方形ABCD的中心,向量AO,OB,CO,OD是()A.平行向量 B.有相同终点的向量C.相等向量 D.模相等的向量3.下列命题中,正确的是()A.|a|=|b|⇒a=bB.|a|>|b|⇒a>bC.a=b⇒a与b共线D.|a|=0⇒a=04.在下列说法中,正确的是()A.两个有公共起点且共线的向量,其终点必相同B.模为0的向量与任一非零向量平行C.向量就是有向线段D.若|a|=|b|,则a=b5.下列各说法中,其中错误的个数为()(1)向量AB的长度与向量BA的长度相等;(2)两个非零向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;(3)两个有公共终点的向量肯定是共线向量;(4)共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;(5)平行向量就是向量所在直线平行A.2个 B.3个 C.4个 D.5个6.给出下列说法:①平行向量肯定相等;②不相等的向量肯定不平行;③共线向量肯定相等;④相等向量肯定共线;⑤长度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量,错误的是.

7.如图,O是正方形ABCD的对角线的交点,四边形OAED,OCFB是正方形,在图中所示的向量中,(1)与AO相等的向量有;

(2)与AO共线的向量有;

(3)与AO模相等的向量有;

(4)向量AO与CO是否相等?答:.

8.O是正六边形ABCDEF的中心,且AO=a,OB=b,AB=c,在以A,B,C,D,E,F,O为端点的向量中:(1)与a相等的向量有;

(2)与b相等的向量有;

(3)与c相等的向量有.

9.下列说法中正确的是(写序号)

①若a与b是平行向量,则a与b方向相同或相反;②若AB与CD共线,则点A,B,C,D共线;③四边形ABCD为平行四边形,则AB=CD;④若a=b,b=c,则a=c;⑤四边形ABCD中,AB=DC且|AB|=|AD|,则四边形ABCD为正方形;⑥a与b方向相同且|a|=|b|与a=b是一样的.参考答案自主预习略课堂探究例1.(1)×向量不能比较大小(2)×模相等,方向不肯定相同(3)√(4)×零向量与随意向量平行(5)√例2.(1)BCOA(2)BC(3)虽然OA∥BC,且|OA|=|BC|,但是它们的方向相反,所以它们是相反向量