2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.1.2第1课时指数函数的性质与图像学案含解析新人教B版必修第二册

PAGE7-4.1.2指数函数的性质与图像NNN第1课时指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．驾驭指数函数的性质与图像．3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备学问·探新知学问点指数函数函数__y＝ax__称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思索：(1)为什么指数函数的底数a＞0，且a≠1?(2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①假如a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有探讨的必要；当x≤0时，ax无意义．②假如a＜0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，该函数无意义．③假如a＝1，则y＝1x是一个常量，没有探讨的价值．为了避开上述各种状况，所以规定a＞0，且a≠1．(2)①a＞0，且a≠1，②ax的系数为1；③自变量x的系数为1．指数函数的图像和性质学问点0＜a＜1a＞1图像定义域实数集R值域__(0，＋∞)__性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思索：(1)对于指数函数y＝2x，y＝3x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，…，为什么肯定过点(0,1)?(2)对于指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)，在下表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞0？x＜0？0＜a＜1x＞0？x＜0？提示：(1)当x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图像肯定过点(0,1)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞0y＞1x＜00＜y＜10＜a＜1x＞00＜y＜1x＜0y＞1关键实力·攻重难题型探究题型指数函数的概念┃┃典例剖析__■典例1(1)函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为__2__．(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则f(－π)＝__eq\f(1,e)__．[分析](1)依据指数函数解析式的特征列方程求解．(2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(－π)．[解析](1)由题意得a2－3a＋3＝1，即(a－2)(a－1)＝0，解得a＝2或a＝1(舍)．(2)设指数函数为y＝ax(a＞0且a≠1)，则e＝aπ，所以f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝eq\f(1,e)．规律方法：1.推断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a＞0，且a≠1；②ax的系数为1；③自变量x的系数为1． (2)有些函数须要对解析式变形后推断，如y＝eq\f(1,3x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f(x)＝ax(a＞0且a≠1)．(2)利用已知条件求底数A．(3)写出指数函数的解析式．┃┃对点训练__■1．(1)函数f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则f(1)＝(D)A．8 B．eq\f(3,2)C．4 D．2(2)指数函数y＝f(x)的图像经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)·f(2)＝__64__．[解析](1)因为f(x)＝(2a－3)ax为指数函数，所以2a－3＝1，解得a＝2，所以f(1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y＝ax(a＞0且a≠1)，因为函数的图像经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，所以eq\f(1,4)＝a－2，所以a＝2，所以指数函数的解析式为y＝2x，所以f(4)·f(2)＝24×22＝26＝64．题型指数函数的图像问题┃┃典例剖析__■典例2(1)函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图像可能是(D)(2)要得到函数y＝23－x的图像，只需将函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像(A)A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位C．向右平移8个单位 D．向左平移8个单位[分析](1)要留意对a进行探讨，分0＜a＜1和a＞1两种状况探讨推断．(2)先对解析式变形，再进行推断．[解析](1)函数y＝x＋a单调递增．由题意知a＞0且a≠1．当0＜a＜1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于0且小于1；当a＞1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D．(2)因为y＝23－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图像向右平移3个单位得到y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－3，即y＝23－x的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特别点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称状况，单调性确定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x与y的值，即为函数图像所过的定点．┃┃对点训练__■2．(1)图中曲线C1，C2，C3，C4分别是指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像，则a，b，c，d与1之间的大小关系是(D)A．a＜b＜1＜c＜dB．a＜b＜1＜d＜cC．b＜a＜1＜c＜dD．b＜a＜1＜d＜c(2)若函数y＝ax＋m－1(a＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则(B)A．a＞1 B．a＞1，且m＜0C．0＜a＜1，且m＞0 D．0＜a＜1[解析](1)过点(1,0)作直线x＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d＜c，b＜a＜1，故b＜a＜1＜d＜C．(2)y＝ax(a＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y＝ax＋m－1的图像经过第一、三、四象限，必需将y＝ax向下移动．当0＜a＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或其次、三、四象限，故只有当a＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必需向下平移超过一个单位，故m－1＜－1，所以m＜0，故选B．题型指数函数的定义域、值域问题┃┃典例剖析__■典例3(1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值域为(1，＋∞)，则实数a的取值范围是(D)A．(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2)) B．(－1,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)(2)函数y＝5eq\r(2x－1)的定义域为__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))__．[分析](1)依据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应当大于1可得．(2)依据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析](1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则底数a2－1＞1，a2＞2，所以|a|＞eq\r(2)，所以实数a的取值范围是(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)要使函数y＝5eq\r(2x－1)有意义，则2x－1≥0，所以x≥eq\f(1,2).所以函数y＝5eq\r(2x－1)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))．规律方法：函数y＝af(x)定义域、值域的求法(1)定义域：形如y＝af(x)形式的函数的定义域是使得f(x)有意义的x的取值集合．(2)值域：①换元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定义域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域．提示：(1)通过建立不等关系求定义域时，要留意解集为各不等关系解集的交集．(2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要留意分类探讨．┃┃对点训练__■3．(1)已知集合A＝{x|y＝2eq\s\up7(\f(1,x-4))}，B＝{0,2,4}，A∩B＝____________；(2)求函数y＝3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))的定义域和值域．[解析](1)要使y＝2eq\s\up7(\f(1,x-4))有意义需x－4≠0，则x≠4，即A＝{x|x≠4，x∈R}，所以A∩B＝{0,2}．(2)要使函数y＝3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))有意义，只需2x－4＞0，解得x＞2；令t＝eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))，则t＞0，由于函数y＝3t在t∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y＝3eq\s\up4(\f(1,eq\r(2x-4)))的定义域为{x|x＞2}，值域为{y|y＞1}．误区警示：此题易忽视2x－4≠0，而误认为2x－4≥0从而造成错误．易错警示┃┃典例剖析__■典例4若函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．[错解]∵函数f(x)＝ax－1(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a0－1＝2,a2－1＝0))，∴a＝eq\r(3)．故实数a的值为eq\r(3)．