2024-2025学年高中数学第三章变化率与导数单元质量评估习题含解析北师大版选修1-1

第三章单元质量评估本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)答题表题号123456789101112答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知函数f(x)＝2x2－1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则eq\f(Δy,Δx)等于()A．4 B．4ΔxC．4＋2Δx D．4＋2Δx22．下列结论中不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0B．若y＝eq\f(1,\r(x))，则y′＝－eq\f(1,2)eq\r(x)C．若y＝－eq\r(x)，则y′＝－eq\f(1,2\r(x))D．若y＝3x，则f′(1)＝33．f(x)＝3－x，则f′(0)＝()A．1 B．log3eC．ln3 D．－ln34．若对于随意x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝3，则此函数的解析式为()A．f(x)＝x4－1B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x4＋1D．f(x)＝x4＋25．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9 B．－3C．9 D．56．已知曲线f(x)＝lnx在点(x0，f(x0))处的切线经过点(0，－1)，则x0的值为()A.eq\f(1,e) B．1C．e D．107．抛物线y＝x2＋bx＋c上点(1,2)处的切线与其平行线bx＋y＋c＝0间距离为()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(3\r(2),2) D.eq\r(2)8．曲线y＝e－x－ex的切线的斜率的最大值为()A．2 B．0C．－2 D．－49．下列图像中，有一个是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图像，则f(－1)等于()A．－eq\f(1,3) B.eq\f(1,3)C.eq\f(7,3) D．－eq\f(1,3)或eq\f(7,3)10．已知直线m：x＋2y－3＝0，函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于点P，若l⊥m，则点P的坐标可能是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(3π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，－\f(π,2)))11．已知函数f(x)在R上满意f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率是()A．2 B．1C．3 D．－212．(2024·四川卷)设直线l1，l2分别是函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－lnx，0<x<1，,lnx，x>1))图像上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是()A．(0,1) B．(0,2)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．已知曲线y＝eq\f(1,x)－1上两点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))，B2＋Δx，－eq\f(1,2)＋Δy，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．答案1．Ceq\f(Δy,Δx)＝eq\f(21＋Δx2－1－1,Δx)＝eq\f(4Δx＋2Δx2,Δx)＝4＋2Δx.2．B因为y＝eq\f(1,\r(x))＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))，所以y′＝(xeq\s\up15(－eq\f(1,2)))′＝－eq\f(1,2)xeq\s\up15(－eq\f(3,2))＝－eq\f(1,2x\r(x)).3．D∵f′(x)＝(3－x)′＝3－xln3·(－x)′＝－3－xln3，∴f′(0)＝－30ln3＝－ln3.4．D∵f′(x)＝4x3，∴f(x)＝x4＋k.又f(1)＝3，∴k＝2，∴f(x)＝x4＋2.5．C因为y′＝3x2，切点P(1,12)，所以切线的斜率k＝3×12＝3.故切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9.6．B依题意得，题中的切线方程是y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)．又该切线经过点(0，－1)，于是有－1－lnx0＝eq\f(1,x0)(－x0)，由此得lnx0＝0，x0＝1，选B.7．C由抛物线过点(1,2)，得b＋c＝1，又f′(1)＝2＋b，即2＋b＝－b，∴b＝－1，∴c＝2，故所求切线方程为x－y＋1＝0.∴两平行直线x－y－2＝0和x－y＋1＝0之间的距离为d＝eq\f(|－2－1|,\r(12＋12))＝eq\f(3,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).8．Cy′＝k＝－e－x－ex＝－(e－x＋ex)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ex＋\f(1,ex)))≤－2eq\r(\f(1,ex)·ex)＝－2，当且仅当eq\f(1,ex)＝ex，即x＝0时，等号成立．9．Af′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，由a≠0，知f′(x)的图像为第③个．因此f′(0)＝0，故a＝－1，∴f(－1)＝－eq\f(1,3).10．B因为直线m的斜率为－eq\f(1,2)，l⊥m，所以直线l的斜率为2.因为函数y＝3x＋cosx的图像与直线l相切于点P，设P(a，b)，则b＝3a＋cosa且当x＝a时，y′＝3－sina＝2，所以sina＝1，解得a＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以b＝eq\f(3π,2)＋6kπ(k∈Z)，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋6kπ))(k∈Z)，当k＝0时，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).故选B.11．A由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8两边求导得，f′(x)＝2f′(2－x)×(－1)－2x＋8.令x＝1，得f′(1)＝2f′(1)×(－1)－2＋8⇒f′(1)＝2，∴k＝2.12．A不妨设P1(x1，lnx1)，P2(x2，－lnx2)，由于l1⊥l2，所以eq\f(1,x1)×(－eq\f(1,x2))＝－1，则x1＝eq\f(1,x2).又切线l1：y－lnx1＝eq\f(1,x1)(x－x1)，l2：y＋lnx2＝－eq\f(1,x2)(x－x2)，于是A(0，lnx1－1)，B(0,1＋lnx1)，所以|AB|＝2.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－lnx1＝\f(1,x1)x－x1,y＋lnx2＝－\f(1,x2)x－x2))，解得xP＝eq\f(2,x1＋\f(1,x1)).所以S△PAB＝eq\f(1,2)×2×xP＝eq\f(2,x1＋\f(1,x1))，因为x1>1，所以x1＋eq\f(1,x1)>2，所以S△PAB的取值范围是(0,1)，故选A.13．－eq\f(1,6)解析：Δy＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋Δx)－1))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))＝eq\f(1,2＋Δx)－eq\f(1,2)＝eq\f(2－2＋Δx,22＋Δx)＝eq\f(－Δx,22＋Δx).所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(－Δx,22＋Δx),Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx)，即k＝eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,22＋Δx).所以当Δx＝1时，k＝－eq\f(1,2×2＋1)＝－eq\f(1,6).————————————————————————————14.曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．15．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．16．已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A视察点B，要视线不被曲线C拦住，则实数a的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求下列函数的导数(1)y＝x－2＋x2；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)y＝eq\f(lnx,x2＋1).18．(12分)点P是曲线y＝x3－eq\r(3)x＋eq\f(2,3)上的随意一点，且点P处切线的倾斜角为α，求α的取值范围．答案14．5x＋y＋2＝0解析：∵y′＝－5ex，∴当x＝0时，所求曲线的切线斜率k＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.15．(1,1)解析：曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝y′＝ex|x＝0＝1；由y＝eq\f(1,x)，可得y′＝－eq\f(1,x2)，因为曲线y＝eq\f(1,x)(x>0)在点P处的切线与曲线y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，故－eq\f(1,x\o\al(2,P))＝－1，解得xP＝1，由y＝eq\f(1,x)，得yP＝1，故所求点P的坐标为(1,1)．16．(－∞，10]解析：在曲线C：y＝2x2上取一点D(x0,2xeq\o\al(2,0))(x0>0)，因为y＝2x2，所以y′＝4x，f′(x0)＝4x0.令eq\f(2x\o\al(2,0)＋2,x0)＝4x0，得x0＝1，此时，D(1,2)，kAD＝eq\f(2－－2,1－0)＝4，直线AD的方程为y＝4x－2.要视线不被曲线C拦住，则实数a≤4×3－2＝10，即实数a的取值范围是(－∞，10]．17．解：(1)y′＝(x2)′＋(x－2)′＝2x－2x－3.(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(3)y′＝eq\f(lnx′x2＋1－lnx·x2＋1′,x2＋12)＝eq\f(\f(1,x)·x2＋1－lnx·2x,x2＋12)＝eq\f(x2＋1－2x2·lnx,xx2＋12).18．解：∵k＝tanα＝y′＝3x2－eq\r(3)≥－eq\r(3)，∴tanα≥－eq\r(3).又α∈[0，π)，∴α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，π)).————————————————————————————19.(12分)(2024·新课标全国卷Ⅱ改编)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，求b的值．20．(12分)若函数y＝f(x)在区间(－a，a)(a>0)内为偶函数且可导，试探讨y＝f′(x)在(－a，a)内的奇偶性．答案19．解：设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝eq\f(1,x1)(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)(x－x2)，化简得y＝eq\f(1,x1)x＋lnx1＋1，y＝eq\f(1,x2＋1)x－eq\f(x2,x2＋1)＋ln(x2＋1)，依题意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝\f(1,x2＋1),lnx1＋1＝－\f(x2,x2＋1)＋lnx2＋1))，解得x1＝eq\f(1,2)，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.20．解：∵f′(－x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f－x＋Δx－f－x,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx－Δx－fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(－1)·eq\f(fx－Δx－fx,－Δx)＝－f′(x)，∴f′(x)为奇函数，即y＝f′(x)在(－a，a)内为奇函数．———