2024年高考数学必刷试卷及答案

2024年高考必刷数学试卷及答案

（满分：150分时间：120分钟）

懑号一二三四总分

分被

A.1.702立方米B.1.780立方米

第一部分（选择题共58分）

C.1.730立方米D.1.822立方米

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给

5.英国著名数学家布鲁克•泰勒（TaylorBrook）以微积分学中将函数展

出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰初级

L已知集合川-{"汕7叫，8-"川"-2八（）间・小则AcB的子集个数为

数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如

•）.其中加=lx2x3xx„.根据该展开式可知，与2-圣力-奈+的值最接近的

A.2B.3C.4D.I

是（）

2.已知北，为正实数，且一，n,则把沪的最小值为（）

A.“nB.MH24.0-C.CUK24.O,D.CW65.4-

A.24B.25C.6+472D.672-3

6.蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如

3已知定义在R上的函数“M满足：闻=/•）+/5）,且*＞。时，及）＜0,

图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香画法如下:在水平直线上

则关于।的不等式的解集为（）

取长度为I的线段打，作一个等边三角形力”，然后以点3为圆心，八8

A.[-2.0]B.[0.2J

为半径逆时针画圆弧交线段e的延长线于点/）（第一段网孤），再以

C.（-».-2）Li[a*x）D.sqqz同

点C为圆心，。。为半径逆时针画圆弧交线段£的延长线于点£再以

4为努力推进“绿美校园”建设，营造更加优美的校园环境，某校准备开

点4为圆心，桢为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊杳”

展校园绿化活动.已知栽种某绿色植物的花盆可近似看成圆台，圆台

恰好有15段圆弧时，''蚊香''的长度为（）

西底面直径分别为18厘米，9厘米，母线长约为7.5厘米.现有2（X）0

个该种花盆,假定每一个花盆装满营养十.造间共需要营养十约为（）

〔参考数据：Q3J4）

毁行

A.44nB.WC.加D.她从全校抽取夕人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取2人.

7.已知向量，6满足14…方与0垂直,则|d-“的最小值为（）第二部分（非选择题共92分）

A.JiB.4C.1D.3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.球O的半径与圆锥M的底面半径相等，且它们的表面积也相等，

8.甲箱中有2个白球和4个黑球.乙箱中有4个白球和2个黑球.先从

则圆锥M的侧面盘开图的碉心角大小为,球O的体积与网锥M

甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以八，4分别表示由甲箱中取出的是

的体积的比值为.

白球和黑球：再从乙箱中随机取出一球，以6表示从乙箱中取出的是

13.在工业生产中轴承的直径服从A*aoco2»,购买者要求田径为a。"，

白球，则下列结论错误的是（）

A.A,4互斥B.C.户（M=；D,汽8）=/不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率控制在MS%之内，则，至少

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给为；（若八N仇力，则&X-“〈切卜0.然15）

出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得14.某羽毛球超市朝售4种品牌（品牌A,B,C,D）的羽毛球，该超

部分分，有选错的得0分.

市品牌A,»,C,〃的羽毛球的个数的比例为432:3,品牌A,B,C,

9.设4为更数，下列命题中正确的是（）

。的羽毛球的优品率分别为0.8,0.9,0.7,0.6.若甲不买这4个品牌

A.一4=工♦石B.若居A-。，则4与4口至少有—个是0

中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽毛球中随机选取I个

C.若Z/+Z"。，贝l]4-Z?-0D.

购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8,则可推测他不买的

10.在女中，若八=画”eN）,则（）

羽毛球的品牌为（填入入，«,。中的1个）.

A.对任意的》»±2,都有

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明'证明过

B.对任意的"22,都布丁«14<“所8程或演算步骤.

C.存在明使-mriaS成立15.（13分）己即函数/3=:-网11：椀+乎圻1»2的x.g。）的最小正周期为

D.存在%使usA>”unB成立.（I）求a的值，并写出“6的对称轴方程：

II.关于下列命题中，说法正确的是（）⑵在yWC中角AB.C的对边分别是“反,满足伽-c）cg求函数/⑷

A.已知若E（X）=30,D（X）=2O,则户毛的取值范用.

B.数据%72,75,85,64,92,76,78,86,79的3%分位数为%16（15分）如图，在三棱锥人-««>中，平面ABC上半血枇HBC=BD=R\,

C.已知SN（ftl）,若唳川”，则&-l840）=g-pNOM=NCBD=120,点P在线段AC」：，点。在线段上.

D.某校三个年级，高一有硒人，高二有的人.现用分层抽样的方法

&冬”8（共18荻）皎学试强茹4页《共IX页）

①求证：直线。过定点；

②求㈤8与,也）面积之和的最小值.

参考答案与试题解析

⑴求证：AD1BC：第一部分（选择题共58分）

⑵若八八平面W，Q,求器的值：一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给

⑶在（2）的条件下，求平面即与平面”所成角的余弦值.出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

17.（15分）设函数/（力Enx-«?-x,R（x）=/T-kr+a（e为自然对数的底1.C

数）【分析】根据有线与圆的位置关系求出集合的元素个数，再求解

-1）若函数/⑶存两个极值点，求。的取值范围：子集个数即可.

-2）设函数Mx"（x）・r（x）,其中AM为m）的导函数，求证:小）的极【详解】集合A表示直线m上点的集合，集合“表示圆（x-2"（y+3f=9

小值不大于I.上点的集合.

电《17分）已知首项为正数的等差数列k）的公差为2,前w项和为工，国（x-2）：+（y+3f=9的圆心坐标为（A3）,半径为3,

满足品・$•$.点RT）到直线*-尸1的距离为芳上-2五43,

⑴求数列出｝的通项公式;

所以直线*7=1与圆（x-2y+（y+3y・9相交,

Q）令&.=祀网汨三L,求数列间的前"项和Z.

所以MB共有2个元素，所以AcB的子集个数为2:4.

19.（17分）设抛物线〈5・2点人s,过焦点F的直线与抛物线c交于点

故答案为：4.

小.%）,网f方）.当直线AB垂直于X轴时,M-2.

2.B

（分析】把匕誓2变为:一，然后利用基本不等式中常数代换技巧求解

最值即可.

【详解】因为K,y为正实数，且门）一，所以

.”♦6尸3."6尸3口♦力4"力」」

个^xy

⑴求抛物线。的标准方程.

?/（"「）-13+苧等13.2栏.25

⑵已知点内⑼，直线心，即分别与抛物级c交丁点c,/>.

【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一单调性判断AC.

分析选项，即可得答案.【详解】在MBC中，当A=3B时，”=3,取34，则A-：,tan4-l,

【详露】因为每次只取一球，故A,'%是互斥的事件，故A正确，tanB-un为Jiunff-3(2-7Jl,则unA>3tim",B错，D对：

34l*V3

由题意得叩U=g,P(4)=：，*8闺=：,P(4A)q，

O<A<x0</iff<n

/>网-P(A8HN4B)・衿+树吟,故B,D均正确；显然。<8<x,即Ov8Vl.,则0<&<亳，

0<C<x0<K-8-nB<x

因为故C错误.

令/■(■O-siam-fninq,04xv-5—22,/*(x)-/ia»nr-n<x»j-J!(c<»nr-ccK.Y)<09

二、多项选择题：本题共3小题，每小踵6分，共18分.在每小题给ft*I

出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得因此函数在,上单调递减，则/3"(。>・。，即由的C5B,从而

取分分，有选错的得。分.

sinA<nsiaS,A对，C错.

9.ABD

故选：AD

【分析】根据第数运弟对选项进行分析，从而确定正确选项.

11.BCD

【详解】设4■。♦此马--小，。也c.dwR,

【分析】根据二项分布期望和方差公式可构造方程求得〃=；，知A错

则4♦♦c"♦</)i-a-3♦《豆♦豆，A选项正确.

误：将数据按照从小到大顺序排序后，根据百分位数的估计方法直接

若4Z?右曰)(<*+&)="《M-At/+(《S+Ac)i=O,

求解知B正确：由正态分布曲线的对称性可求得C正确：根据分层抽

则仁♦：，贝5=0或「“-。，所以Z与Z,中至少有一个是0,B选项

样原则可计算得到高二应抽取学生数，由此可得高三数据，知D正确.

正确.【详解】对于A，rxB(“)，二微口冷｝4,ep$解得：Y，

若z"z"o,则可能4T/「，，C选项错误.

A错误：

4Z：二(0千叫伍♦⑹二,

对于B,将数据从小到大排序为口，72,75，16,78,79,85,86,91,

|ZZj=+<(”『*(仅f

■如但…)-石E777-D选项正确.

10x4班T5,二4够分位数为第5个数，即78,B1E确：

抽选：ABD

10.AD

正确：

【分析】根据给定条件，举例说明判断BD；构造函数，借助导数探讨

对于D,抽样比为言W，・•高二应抽取湖哈F人，则高三应抽取P(|X-10.1)-1-(19545-0.0455,

57-20-18-19人，D正确.则要使拒绝的概组控制在455%之内，则，至少为0L

故选，BCD.故答案为，

14.0

第二部分（非选择题共92分）【分析】先确定不是品牌叫再利用全概率公式分别计算不买人C。品

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.牌的概率即可求解.

12.争12006

【详解】因为他买到的羽毛球为优品的概率大于0.8,110.8,0.9,0.7,

【分析】发球O的半径及圆锥M的底面半径均为R圆锥M的母线长

0.6中只有。.9>俗，所以他不买的羽毛球品牌一定不是品牌九

为1,再根据球与阀锥的表面枳公式求得，=加，即可得圆锥仞的侧面展

若他不买品牌A的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为

开图的圆心角大小：根据勾股定理求得八-2无R,再结合球与圆锥的体

。'*号寸叱W7+06*j47r*0.E

积公式分析体积比即可

若他不买品牌C的羽毛球,则他买到的羽毛球为优品的概率为

【详解】设球。的半径及圆锥M的底面半径均为R网锥M的母线及

为/,则1所以/=3",圆锥M的侧面展开图的圆心角大小为

若他不买品牌。的羽毛球，则他买到的羽毛球为优品的概率为

手考：球。的体积为竽，圆锥M的高G=户>=2回,圆锥,W的体

a8xJ^72+a9x47572+07x47372-V'0'81•

积为1上2折?.孚，所以球O的体积与圆锥财的体积的比值为5.

故答案为：D

故答案为：手,再

四、解答题：本还共5小题，共77分.解答应写出文字说明'证明过

13。咻程或演算步骤.

15.（|）<»-^.Ar-y*2fcr.*cZ

【分析】依题意得“=3。/=0.0025,则“005,由P{X-3.qv<M）-0.9M5,得

（2）（P）

网X-3.0|20.l）=1-0.9545=0.0455,即可求解.

【详解】若X、N（“d）,则PQX-H<2b）・O.9M5）

【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数〃所54"看，，再根据

因为工业生产中轴承的直径服从吊3.MOO25）.

周期求出川的值.利用整体法即可求解对称轴.

所以“=3.0,4=0.0025,则<T=0L05,

（2）把已知的等式变形并利用正弦定理可得38-，故6彳，故

由修途-3牛01卜0.9545,

&冬流《»11£（*18页）取今试通办12页（共13页）

/W…,咱…哼，根据正弦函数的定义域和值域求出f⑷的取值范系的转化即可结合三角形的边角关系求解.

困.(3)建立空间直角坐标系，利用法向量的夹隹即可求解.

【详解】(I)/("-；-dn：zv.1【详解】＜1)证明，过“乍1I直线”于d连接M.

-^»in2»»iI,由题知RA-BD.BO-BO.NABO=NDBO-60,

"得1ASOmJ>BO.NDOB・Z•八。8-90,H|JBC1/X?,

故”工)=**嚏又腕工心心门如〜^。⑼二平面“已一改.平面A3,,

令;W.fcUcZ,解得X・1+2XMGZ,又AOu平面AOO,

板对称轴方程为：x=*%*eZ

12)由(%-c)5nb二方•0»€?得«24mA-”nGocKe-sm/l«MC,

.*.2tin4<tMB-MIIHMMC♦ixe«。式”C-*in(H♦G■蜻。人.

»in4*0,.COK8;:，8e(0.x)j8・；・

..♦W八。•一八•一,..--

2ft3G262

水〃比.《＞＜2平面4«、.人0工平面MD,

以。为原点，以。8的长度为单位长度，以费发品的方向分别为，轴，y轴，

:的正

15.(1)证明见解析

方向建立空间直角坐标系。-6,如图,则则.30•48(OJ.O),C(O30).

(嘀邛

AC1平面BPQ...ACBP.AC2.BQ,

⑶孚出-*.a为AC中点，由题知旅■(技TO),前=阳3.-/)

设《＜?=AC+4CD-(0.20)+«J1-&0)=(02-340),

【分析】(1)根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直,二配取=3(2-乂)=a.・/=；,

进而可求证，二吟(¥。4・㈣.苧，

-2)建立空间门角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂自.•关

又在“《?中，BC-ai^XZABC-120,

所以I研f哈•乎.因为/(X)=W/T有两个极值点，

即方程lnK-2c«-0在<。")有两个不同的解，

方法二：平面BPQ，AC1耽AC_LB(?.设/M=flC=2,由4BC=I2O知，8PT.

即、•3与小”学的图象的交点有两个.

,平面Aflf1平面BC”，平面ABCc平面整"=玳：八。X8CAOu平面ASC,

由当，€<(!")时，m(x)>G,MO单调递增:

.•MO1平面BCD,又HQu平面WTV.AOIAQ,又ACl_8Q,“cAO-A,

当*cyy)时、"*■»)单调递减，m加有极大值"

底?J■平面AKHQLBC,

又因为"€©n时,心)£0：xc(L*»)时,0Vme»)/,

BC・Z/fiC<?-M>".»(?-2x苧・竽“••晟・夸

当0<2引时，即5时有两个解，所以“(七)

(3)由(2)知，平面P&Q的一个法向量为北，(2)由函数力=/'-Ex-a1*-lXx>°)

设平面皿的•个法向星：为AB=(O.一母刀8=(-氐1.0),可得他幻”，则3……T>。，所以*⑴在3.E单调递增.

则匕：啜“二令「3则"时，若"0时，伍II。

|/|•DB=73J+>>=0.

当“31时，在61)上单调递减：

+ACn2。召

00M

J-际-汨r?・当au«1・2)时，"3」。,阳4在。,_L单调递增：

•平面由与平面他所成角的余弦值为冬所以3在X・l处取得极小值MM/Tnl.l

若a>0,令x=l,则l-l-avO：

令"73+”“，则—，，-嬴不--岛币>。

17.(I)T弓):(2)证明见解析.所以在*“IMa+D+D,"3=0有唯一解：

【分析】(D求得人少13口，根据询=/3”-*有两个极值点,转若令”=7^，则六・LvO，

化为,=%与心).手的图象的交点有两个，利用导数求得函数矶”的单调令x=l,则所以在匕/；，鱼*)=。有唯一解：

性与极值，即可求解.所以他©-。在@田)有唯一解心,

(2)根据题意得到MA，"'Mxrt*-IXj>0),求得标i----a,得到当xe也幻时，虫)<。，依)在0U)单调递减：

**)>，、最>J,进而求得“*>的单调性与极d，再分“>。和”<。两种情况，当时，吐>>0,"3在(公田)隼调递增：

结合函数的单调性和极值的运算，即可求解.所以Ma)=L3a伉叫=仁-引J"Tn.i„+l-',

【详解】(1)由题意,函数/⑺n-ad-x,可得=

JMsfi<*i8页)ift16页(«>««)

令，则的蔺=上小二_21,（ii）利用面枳分割法求出两个三角形面枳表达式，然后利用二次函数

*X-

求最值即可.

由=可得*=1,

【洋角纥<1）由题意.当百戏仙垂直于，轴时,，./,代入抛物战方

当*e«Ul时，/“）>（!,在@D单调递增：