浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省台金七校联盟2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“至少有一个实数，使得”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】根据存在命题的否定可知，至少有一个实数，使得的否定是，.故选：D.2.学校开运动会，设是参加100米跑的同学}，是参加200米跑的同学}，是参加400米跑的同学}．学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛．请你用集合的运算说明这项规定（）A. B.C. D.【答案】D【解析】学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，故没有同学参加三项比赛，即.故选：D.3.设，且，则下列运算中正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】对于选项A：，故A错误；对于选项B：，故B错误；对于选项C：例如，则，故C错误；对于选项D：，故D正确.故选：D.4.如图，①②③④中不属于函数，，的一个是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】根据函数与关于对称，可知①④正确，函数为单调递增函数，故③正确，所以②不是已知函数图象.故选：B.5.对于集合，和全集，“”是“”的什么条件（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】韦恩图所示：由推出，反之由推出，所以“”是“”的充要条件.故选：A.6.图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象.由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢建议，如图（2）（3）所示，这两种建议是（）A.（2）：降低成本，票价不变；（3）：成本不变，提高票价.B.（2）：提高成本，票价不变；（3）：成本不变，降低票价.C.（2）：成本不变，提高票价；（3）：提高成本，票价不变.D.（2）：降低成本，提高票价；（3）：降低成本，票价不变.【答案】A【解析】（2）直线向上平移，当乘客量为0时，差额绝对值变小，又收入为0，说明降低成本，两直线平行，说明票价不变；（3）：当乘客量为0时，差额未变，又收入为0，说明成本没变，直线的倾斜角变大，说明相同的乘客量时收入变大，即票价提高了.故选：A.7.已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，（为自然对数的底数，），则在区间上的最小值为（）A.2 B.3 C. D.【答案】B【解析】由题意可得：，可得，因为在上单调递减，可得在上单调递减，所以在区间上的最小值为.故选：B.8.若集合时，，均有恒成立，则的最大值为（）A.1 B.4 C.16 D.64【答案】B【解析】要使不等式恒成立，则恒成立，当取得最大值，时，取得最大值，即恒成立，因为函数和都是增函数，所以函数是增函数，当时，，所以的最大值为4.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】对于选项A：例如，则，，即，故A错误；对于选项B：因为，，则，可得，所以，故B正确；对于选项C：例如，则，，即，故C错误；对于选项D：因为，且，则，可得，即，故D正确.故选：BD.10.波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德国著名的数学家.他在数学分析、微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何，并给后来的广义相对论提供了数学基础.他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是（）A. B.，，C.的值域为 D.为偶函数【答案】ABD【解析】通过题目信息可知对于有理数和无理数具有不同的取值，且当为无理数时，：对于A选项，代入验证易知其正确；对于B选项，不妨设，根据的性质可得的最小值为，当时，，当时，，当时，若和中有无理数，则，若和均为有理数，不妨设，其中，，，均为正整数，则，，若与互质，则，若与有大于的公约数，则，综上可得，B选项正确；对于C选项，计算可知的函数值只能是有理数，C选项错误；对于D选项，的定义域为，，，对于任意的，当为无理数时，和均为无理数，，当为有理数时，可令，其中和是互质的正整数且，则，，综上可知对于任意的都有，是偶函数，D正确.故选：ABD.11.若函数，当时，的最大值为，最小值为；则下列说法正确的是（）A.的值与无关 B.的值与无关C.函数，至少有一个零点 D.函数，至多有三个零点【答案】ACD【解析】对于选项AB：假设，，则，显然，可知的值与无关，与有关，故A正确，B错误；对于选项CD：令，可得，构建，则，可知为奇函数，若，在单调递增，其图象如图所示：可知y=gx与恒有1个交点，即恒有1个零点；若，在单调递减，在上单调递增，其图象如图所示：可知y=gx与可能有1、2或3个交点，即可能有1、2或3个零点；综上所述：函数，x∈R至少有一个零点，至多有三个零点，故CD正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，，若，则实数的值为__________.【答案】【解析】由，知是的子集，所以或或.由集合中元素的互异性，知，所以，故，.从而，而，故.经验证满足条件.13.已知，若，，则的最小值为__________.【答案】【解析】因为，若，，可知，则，可得，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.14.若函数，（，且）在区间上单调递增，则的取值范围是_________.【答案】【解析】可看作由函数与函数复合而成，当时，因为为增函数，所以在上单调递增即可，由对勾函数的单调性，只需，解得，当时，因为为减函数，所以在上单调递减即可，由对勾函数的单调性，只需，解得，综上，的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，，.（1）求，；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.解：（1）由已知得，，，，.（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，若，即时，，符合题意；若，即时，，所以，所以；若，即时，，所以，所以，综上，.16.设奇函数，（为自然对数的底数，）.（1）求的定义域和；（2），求函数的值域.解：（1）因为，令，可得，可知的定义域为；因为是奇函数，则，解得，可得，则，即，可知是奇函数.综上所述：（2）由（1）可知，令，则，因为在上单调递减，当时，；当时，；可知，即，且在定义域内为增函数，则，所以的值域为.17.设函数.（1）若，求证：在0，2内存在零点；（2）若不等式的解集是，且时，恒成立，求的取值范围.解：（1）由，即，，，，当时，，由零点存在性定理知在0，2上存在零点；当时，则，是零点，此时存在零点；综上在0，2内存在零点（2）依题意得，且，是方程的两根，由韦达定理得，，，所以，依题意，得在上恒成立，因为，，所以只需，令，，令，则，在上单调递增，所以时，，，.18.函数满足：对任意实数，，有成立；函数，，，且当时，gx>0.（1）求并证明函数为奇函数；（2）证明：函数在0，+（3）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，令，则，得f1=0；令，则，得；证明：，令，依题意得，即f-x=-f所以是奇函数.（2）由得，即，，，，则，则，可得，即，所以函数在0，+∞上单调递增（3）因为，，且函数为奇函数，则，可知是偶函数，且，因为，可得，因为是偶函数，且，可得，又因为函数在0，+∞上单调递增，可得因为，则，可知，当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立；综上所述：.可得，解得，且，所以的取值范围为.19.已知函数的定义域为，若最多存在个实数，，，，，使得，，则称函数为“级函数”.（1）函数①，②是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由；（2）若函数，求值；（3）若函数，求，的取值范围.（用表示）解：（1）①函数为偶函数，图象关于轴对称，且在上递增，在0，+∞上递减，所以为“级函数”，且；②在上递减，且此时；在0，+∞