专题05 椭圆的标准方程及几何性质（12大考点知识串讲+热考题型+专题训练）

专题05椭圆的标准方程及几何性质知识点1椭圆的定义1、椭圆定义：平面内与两个定点的、的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半叫作半焦距。2、椭圆定义的集合语言表示：注意：定义中条件不能少，这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的．否则：①当时，其轨迹为线段；②当时，其轨迹不存在．3、椭圆的焦点三角形椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立AF1+AF（设∠F1A性质1：AF1+A拓展：∆AF1∆ABF1性质2：4c知识点2椭圆标准方程1、椭圆标准方程的推导过程（1）以经过点、的直线为轴，线段的垂直平分为y轴建立直角坐标系，如图1.（2）设点是椭圆上任一点，椭圆的焦距为（＞0）.焦点的坐标分别是，图1又设M与的距离的和等于常数.图1由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|}因为，所以（3）两边平方得，整理得再平方并整理得两边同除以得考虑,应有，故设，就有2、椭圆两种标准方程的对比知识点3椭圆的简单几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围，，对称性关于轴、原点对称轴长长轴长：；短轴长：长轴长：；短轴长：顶点离心率离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁通径通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长通径的大小：知识点4直线与椭圆的位置关系1、点与椭圆的位置关系焦点在x轴上焦点在y轴上点在椭圆内点在椭圆上点在椭圆外2、直线与椭圆的位置关系（1）直线与椭圆的位置关系：联立消去y得一个关于x的一元二次方程．①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．（2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：=1\*GB3①得出直线方程，设交点为，；=2\*GB3②联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；=3\*GB3③写出根与系数的关系；=4\*GB3④将所求问题或题中关系转化为关于，的形式；=5\*GB3⑤代入求解．3、直线与椭圆相交的弦长公式（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．（2）求弦长的方法=1\*GB3①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．=2\*GB3②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：4、解决椭圆中点弦问题的两种方法（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有。证明：设、，则有，上式减下式得，∴，∴，∴。特的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有。考点1椭圆定义的辨析【例1】（2023·江苏·高二专题练习）设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【变式1-1】（2022秋·北京·高二校考阶段练习）设定点，，动点P满足条件，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．双曲线【变式1-2】（2023秋·高二课时练习）已知动点满足（为大于零的常数）﹐则动点的轨迹是（）A．线段B．圆C．椭圆D．直线【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆上的一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（）A．B．C．1D．3【变式1-4】（2023·全国·高二专题练习）（多选）已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（）A．B．3C．6D．8考点2求椭圆的标准方程【例2】（2022春·四川遂宁·高二校考阶段练习）过点，焦点在x轴上且与椭圆有相同的离心率的椭圆方程为（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（）．A．B．C．D．【变式2-2】（2023秋·河南·高三统考阶段练习）已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【变式2-3】（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10；（2）焦点坐标为和，且经过点.【变式2-4】（2023秋·陕西渭南·高二校考阶段练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为，离心率为；（2）x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为.考点3根据椭圆方程求参数【例3】（2023·全国·高二专题练习）方程表示焦点在轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2021秋·高二课时练习）（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（）A．1B．C．2D．3【变式3-2】（2023秋·高二课时练习）已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是．【变式3-3】（2023·全国·高二专题练习）若曲线是焦点在x轴的椭圆，则的取值范围为．【变式3-4】（2023秋·安徽淮南·高二校考阶段练习）对于方程，（1）若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；（2）若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；（3）若该方程表示椭圆，求实数的取值范围.考点4椭圆的焦点三角形应用【例4】（2023·江苏·高二专题练习）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为.【变式4-1】（2023秋·高二课时练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆的一个交点为，若，则的面积为（）A．B．C．4D．【变式4-2】（2023秋·重庆沙坪坝·高二校考阶段练习）已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（）A．B．C．D．【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（）A．B．C．D．【变式4-4】（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左、右焦点，若，则的内切圆半径为考点5椭圆中距离和差的最值【例5】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（）A．B．1C．D．【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（）A．8，11B．8，12C．6，10D．6，11【变式5-2】（2023春·河南焦作·高二校考阶段练习）已知椭圆C：，，为椭圆的左右焦点．若点P是椭圆上的一个动点，点A的坐标为（2，1），则的范围为．【变式5-3】（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为.【变式5-4】（2023春·安徽六安·高二校考开学考试）若点P在椭圆C1：＋y2＝1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，则的最小值为．考点6与椭圆相关的轨迹问题【例6】（2023秋·高二单元测试）是椭圆的两个焦点，A是椭圆上任一点，过任一焦点向的外角平分线作垂线，垂足为P，则P点的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【变式6-1】（2023秋·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为【变式6-2】（2022秋·高二校考课时练习）已知圆与圆，圆与圆均相切，则圆的圆心的轨迹中包含了哪条曲线（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为.【变式6-4】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程.考点7求椭圆离心率的值【例7】（2023秋·江苏盐城·高二校考开学考试）已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【变式7-1】（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）设是椭圆E：的左、右焦点，过点且斜率为的直线交椭圆于点P，若，则椭圆E的离心率为【变式7-2】（2023秋·吉林四平·高二统考期中）如图，A，分别是椭圆的左、右顶点，点在以为直径的圆上（点异于A，两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【变式7-3】（2023·全国·高二专题练习）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（）A．B．C．D．【变式7-4】（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的一个焦点为，点是椭圆上的一个动点，的最小值为，且存在点，使得（点为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点8求椭圆离心率的取值范围【例8】（2023·全国·高二专题练习）椭圆和圆，（为椭圆的半焦距），对任意的恒有四个交点，则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【变式8-1】（2023秋·陕西西安·高二校考阶段练习）已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）A．B．C．D．【变式8-2】（2022秋·河南商丘·高二校考阶段练习）已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，使得由点所作的圆的两条切线的夹角为，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．【变式8-3】（2022秋·江西上饶·高二阶段练习）设､分别是椭圆的左､右焦点，为椭圆上的一点，若的最大值为，则椭圆的离心率的取值范围是【变式8-4】（2023秋·高二单元测试）若椭圆上存在一点M，使得（，分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为.考点9直线与椭圆位置关系判断【例9】（2023秋·高二课时练习）直线与椭圆的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【变式9-1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【变式9-2】（2023·全国·高二专题练习）直线：与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相交【变式9-3】（2022·高二课时练习）已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（）A．相交B．相离C．相切D．不确定【变式9-4】（2023·全国·高二专题练习）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（）A．B．C．D．考点10直线与椭圆相切应用【例10】（2022·高二课时练习）若直线与椭圆相切，则斜率的值是（）A．B．C．±D．±【变式10-1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过点作椭圆的切线，则切线方程为.【变式10-2】（2024·全国·高三专题练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（）A．B．C．D．【变式10-3】（2022·高二课时练习）已知是椭圆：，直线l：，点P是椭圆上一点，则使得点P到直线l的距离为的点P的个数为（）A．0B．1C．2D．3【变式10-4】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为（）A．B．C．D．考点11椭圆的中点弦与点差法【例11】（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）若椭圆的弦被点平分，则所在直线的方程为（）A．B．C．D．【变式11-1】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【变式11-2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为.【变式11-3】（2022秋·浙江嘉兴·高二校考期中）过点的直线与椭圆相交于，两点，若点恰好为线段的中点，则直线的斜率为.【变式11-4】（2023·江苏·高二专题练习）求所有斜率为1的直线被椭圆所截得线段的中点的轨迹．考点12直线与椭圆相交弦长【例12】（2022秋·四川乐山·高二校考期中）过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（）A．B．C．D．【变式12-1】（2023秋·重庆沙坪坝·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过且斜率为的直线交椭圆于，两点，求弦的长.【变式12-2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.（1）求椭圆的方程；（2）若，求的最大值.【变式12-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）已知椭圆C：与椭圆有相同的焦点，过椭圆C的右焦点且垂直于x轴的弦长度为1．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：与椭圆C交于A，B两点，若，求实数m的值．【变式12-4】（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离是．（1）求椭圆的方程；（2）倾斜角为的直线交椭圆于两点，已知，求直线的一般式方程．1．（2023秋·江西·高二校考阶段练习）平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（）A．线段B．圆C．椭圆D．不存在2．（2023秋·河南·高二校考期中）已知椭圆C过点，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（）A．B．C．或D．或3．（2023秋·江西抚州·高二校考阶段练习）已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（）A．24B．20C．16D．124．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．5．（2023秋·湖南株洲·高二校考阶段练习）设实数满足的最小值为（）A．B．C．D．前三个答案都不对6．（2023秋·吉林长春·高二校考阶段练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（）A．B．C．D．7．（2023秋·江苏扬州·高二校考阶段练习）（多选）下列命题错误的是（）A．若定点，满足，动点满足，则动点的轨迹是椭圆B．若定点，满足，动