专题04 圆的方程及圆的位置关系（14大考点知识串讲+热考题型+专题训练）

专题04圆的方程及圆的位置关系知识点1圆的方程1、圆的标准方程（1）定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。（2）确定圆的基本要素是：圆心和半径（3）圆的方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为（4）几种特殊位置的圆的标准方程条件方程的标准形式圆心在原点圆过原点圆心在轴圆心在轴圆心在轴上且过原点圆心在轴上且过原点圆与轴相切圆与轴相切圆与两坐标轴都相切2、圆的一般方程（1）定义：当时，方程叫做圆的一般方程.其中为圆心，为半径.（2）圆的一般方程的形式特点：=1\*GB3①项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；=2\*GB3②不含项；=3\*GB3③（3）一般方程与标准方程关系：对方程的左边配方，并将常数移项到右边，得，根据圆的标准方程可知：=1\*GB3①当时，方程只有实数解.它表示一个点.=2\*GB3②当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．=3\*GB3③当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆.3、点和圆的位置关系圆的标准方程为，圆心，半径为.设所给点为，则位置关系判断方法几何法代数法点在圆A上或点在圆A内或点在圆A外或4、轨迹与轨迹方程（1）轨迹方程和轨迹的定义已知平面上一动点，点的轨迹方程是指点的坐标满足的关系式。轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形，在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹（集合）.“轨迹”与“轨迹方程”有区别：=1\*GB3①“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小（范围）等特征；=2\*GB3②“轨迹方程”是方程，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围。2、坐标法求轨迹方程的步骤第一步建系：建立适当的平面直角坐标系；第二步设点：用表示轨迹（曲线）上任意一点的的坐标；第三步列式：列出关于的方程；第四步化简：把方程化为最简形式；第五步证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。知识点2直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系判断（1）几何法判断直线与圆的位置关系：直线与圆，圆心到直线的距离=1\*GB3①直线与圆相离无交点；=2\*GB3②直线与圆相切只有一个交点；=3\*GB3③直线与圆相交有两个交点.（2）代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断：=1\*GB3①当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；=2\*GB3②当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；=3\*GB3③当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；2、直线与圆相交时的弦长求法：（1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：（2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；（3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长3、直线与圆相切时的切线问题（1）求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。=1\*GB3①若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；=2\*GB3②若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。（2）求过圆上一点的切线方程法一：先求出切点与圆心的连线斜率，若不存在，则结合图形可直接写出切线方程；若，则结课图形可直接写出切线方程；若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。法二：若不存在，验证是否成立；若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。（3）过圆外一点的圆的切线方程法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程；法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。知识点3圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系判断（1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d位置关系外离外切相交内切内含图示交点个数01210d与，的关系（2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．消元，一元二次方程2、两圆的公切线（1）定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线；（2）两圆的位置关系与公切线的条数的关系位置关系外离外切相交内切内含图示公切线条数4条3条2条1条无公切线（3）两圆公切线方程的确定=1\*GB3①当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；=2\*GB3②当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。3、两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程；（2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程.考点1求圆的标准方程和一般方程【例1】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）圆心为，且经过坐标原点的圆的标准方程为（）A．B．C．D．【变式1-1】（2023秋·吉林长春·高二校考期中）圆心在轴上，并且过点和的圆的标准方程是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2023秋·四川眉山·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．【变式1-3】（2023秋·重庆·高二校考阶段练习）若的三个顶点分别是，，，则的外接圆的标准方程为.【变式1-4】（2023秋·四川遂宁·高二校考阶段练习）分别根据下列条件，求圆的方程：（1）过点，，且圆心在直线上；（2）过、、三点．考点2二元二次方程与圆的关系【例2】（2023秋·浙江·高二校考阶段练习）若，则方程表示的圆的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式2-1】（2023秋·浙江台州·高二校考阶段练习）已知方程表示圆，则的取值范围是．【变式2-2】（2023秋·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）若方程表示圆，则实数的取值范围是.【变式2-3】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二校考阶段练习）若表示圆的一般方程，则实数a的取值范围是．【变式2-4】（2023秋·广西河池·高二校联考阶段练习）（多选）已知方程，则下列说法正确的是（）A．方程表示圆，且圆的半径为1时，B．当时，方程表示圆心为的圆C．当时，方程表示圆且圆的半径为D．当时，方程表示圆心为的圆考点3与圆有关的对称问题【例3】（2023秋·北京丰台·高二统考期中）已知圆关于直线对称，则实数（）A．B．C．D．或【变式3-1】（2023秋·河北保定·高二校考阶段练习）若圆关于直线对称，则此圆的半径为．【变式3-2】（2022·全国·高二专题练习）点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（）A．B．C．3D．9【变式3-3】（2023秋·宁夏银川·高二校考期中）圆：关于直线对称的圆的方程为（）A．B．C．D．【变式3-4】（2023秋·高二课时练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是考点4与圆有关的轨迹问题【例4】（2023·全国·高二专题练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（）A．B．C．D．【变式4-1】（2022秋·内蒙古包头·高二统考期末）已知两点，.若动点M满足，则“”是“动点M的轨迹是圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式4-2】（2023秋·高二课时练习）设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.【变式4-3】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二校考阶段练习）已知的斜边为AB，且.求:（1）外接圆的一般方程;（2）直角边的中点的轨迹方程．【变式4-4】（2022·全国·高二专题练习）已知圆过三个点.（1）求圆的方程；（2）过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.考点5直线与圆的位置关系判断【例5】（2023秋·江苏南通·高二统考阶段练习）直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定【变式5-2】（2023·江苏·高二专题练习）（多选）直线与圆的交点个数不可能为（）A．0B．1C．2D．3【变式5-3】（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）直线与圆的位置关系为.【变式5-4】（2023秋·江西南昌·高二校考阶段练习）（多选）下列直线中，与圆：相切的有（）A．B．C．D．考点6由直线与圆位置关系求参【例6】（2023秋·云南曲靖·高二校考阶段练习）若直线与圆相切，则等于【变式6-1】（2023秋·重庆·高二校联考期中）（多选）若过点的直线l与圆有公共点，则直线l的斜率可为（）A．B．C．D．【变式6-2】（2023秋·天津·高二校考阶段练习）已知直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式6-3】（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高二校联考期中）已知直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式6-4】（2023秋·浙江舟山·高二校考阶段练习）若圆上至少有三个不同的点到直线l：的距离为2，则c的取值范围是（）A．B．C．D．考点7求圆的切线方程【例7】（2023秋·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）过点作圆：的切线，切线的方程为．【变式7-1】（2023·全国·高二专题练习）过点作圆的切线，则切线的方程为.【变式7-2】（2023秋·江苏镇江·高二校考阶段练习）已知圆，自点作圆的切线，则切线的方程．【变式7-3】（2023秋·河北衡水·高二校考期中）在平面直角坐标系中，点，圆.（1）求的取值范围，并求出圆心坐标；（2）若圆的半径为1，过点作圆的切线，求切线的方程.【变式7-4】（2023秋·贵州·高二贵校联考阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过点和．（1）求圆的标准方程；（2）若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求直线的方程．考点8与切线长有关的问题【例8】（2023秋·天津·高二校考阶段练习）已知圆被直线截得的弦长为，若过点作圆的切线，则切线长为.【变式8-1】（2022秋·江苏泰州·高二统考阶段练习）点在圆：上，，，则最小时，.【变式8-2】（2023秋·湖北荆州·高二校考阶段练习）已知动点在直线上，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（）A．1B．C．D．2【变式8-3】（2023秋·广东·高二校联考阶段练习）已知圆，点在直线上，过点作直线与圆相切于点，则的周长的最小值为.【变式8-4】（2023·全国·高二专题练习）过圆：上一点作圆：的两切线，切点分别为，，设两切线的夹角为，当取最小值时，.考点9切点弦及其方程应用【例9】（2022秋·河南许昌·高二校考阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为M，N，则．【变式9-1】（2022秋·广西梧州·高二校考阶段练习）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线被圆截得弦的长度为．【变式9-2】（2023秋·湖南长沙·高二校考阶段练习）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为．【变式9-3】（2023秋·全国·高二专题练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（）A．B．3C．D．2【变式9-4】（2023·江苏·高二专题练习）设点为直线上任意一点，过点作圆的切线，切点分别为，则直线必过定点（）A．B．C．D．考点10求直线与圆的的弦长【例10】（2023秋·云南红河·高二校考阶段练习）直线被圆所截得的弦长为.【变式10-1】（2023·全国·高二专题练习）已知圆：，圆的弦被点平分，则弦所在的直线方程是．【变式10-2】（2023秋·高二课前预习）（多选）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（）A．圆的圆心为B．圆被轴截得的弦长为8C．圆的半径为5D．圆被轴截得的弦长为6【变式10-3】（2023秋·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知动直线与圆.则直线l被圆C所截得的弦长的最小值是（）A．B．C．D．【变式10-4】（2023秋·安徽淮南·高二校考阶段练习）圆，过点作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是（）A．B．C．D．考点11圆与圆的位置关系判断【例11】（2023秋·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）已知圆：与圆：，则圆与圆的位置关系为（）A．相交B．外切C．内切D．内含【变式11-1】（2023秋·全国·高二专题练习）圆与圆的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【变式11-2】（2023秋·高二课时练习）设圆，圆，则圆，的位置（）A．内切B．相交C．外切D．外离【变式11-3】（2023秋·江西九江·高二校考阶段练习）已知圆，圆，其中，那么这两个圆的位罝关系不可能为（）A．外离B．外切C．内含D．内切【变式11-4】（2023秋·江苏连云港·高二校考阶段练习）（多选）下列圆中与圆：相切的是（）A．B．C．D．考点12由圆与圆的位置关系求参【例12】（2023秋·福建三明·高二校考阶段练习）（多选）圆与圆外切，则的值为（）A．B．C．2D．5【变式12-1】（2023秋·山东菏泽·高二校考阶段练习）已知圆，圆，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数.【变式12-2】（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知圆：上总存在两个点到原点的距离均为，则的取值范围是.【变式12-3】（2023秋·湖南·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆上任意一点关于原点的对称点都不在圆上，则的取值范围为．【变式12-4】（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（）A．B．C．D．考点13两圆的公共弦问题【例13】（2023秋·福建龙岩·高二校考阶段练习）圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（）A．B．C．D．【变式13-1】（2023·全国·高二专题练习）圆与圆相交于两点，则等于（）A．B．C．D．【变式13-2】（2023秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）已知圆与圆交于A，B两点，若直线AB的倾斜角为，则．【变式13-3】（2023秋·辽宁大连·高二校考阶段练习）已知圆与圆得公共弦所在直线恒过定点，而且点在直线上，则的最小值是.【变式13-4】（2023秋·福建龙岩·高二校考阶段练习）已知圆，圆的圆心在直线上，且经过，两点.（1）求圆的方程.（2）求经过两圆的交点的圆中面积最小的圆的方程.考点14两圆的公切线问题【例14】（2023·江苏·高二专题练习）圆与圆的公切线的条数为（）A．1B．2C．3D．4【变式14-1】（2023秋·陕西西安·高二校考阶段练习）若圆与圆恰有3条公切线，则（）A．B．C．D．【变式14-2】（2023·全国·高二专题练习）若圆与圆恰有两条公共的切线，则m的取值范围为（）A．B．C．D．【变式14-3】（2023秋·江西宜春·高二校考期末）圆与圆的公切线方程为．【变式14-4】（2023秋·河南南阳·高二校考阶段练习）（多选）圆M：，圆N：，则两圆的一条公切线方程为（）A．B．C．D．1．（2023秋·河北石家庄·高二校考阶段练习）圆心为且过点的圆的标准方程为（）A．B．C．D．2．（2023秋·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）A．B．C．D．3．（2023秋·河北·高二统考阶段练习）已知点在圆C：外，则实数a的取值范围为（）A．B．C．或D．或4．（2022秋·浙江嘉兴·