2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE5-第六章6.26.2.3请同学们仔细完成[练案30]A级基础巩固一、选择题1．已知点A(0,1)、B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝(A)A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)[解析]本题主要考查平面对量的线性运算．eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3，－1)＋(－4，－3)＝(－7，－4)．故选A．2．若向量a＝(1,1)、b＝(1，－1)、c＝(－1,2)，则向量c等于(C)A．－eq\f(1,2)a＋eq\f(3,2)b B．eq\f(3,2)a－eq\f(1,2)bC．eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b D．－eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b[解析]eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b＝(eq\f(1,2)－eq\f(3,2)，eq\f(1,2)＋eq\f(3,2))＝(－1,2)，故选C．3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq\o(AB,\s\up6(→))相等，已知A(1,2)、B(3，2)，则x的值为(A)A．－1 B．－1或4C．4 D．1或4[解析]∵A(1,2)、B(3,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，又∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2,x2－3x－4＝0))，∴x＝－1．4．(多选题)若向量a＝(eq\r(3)，1)、b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是(CD)A．(eq\r(3)，－1) B．(－1，－eq\r(3))C．(1，－eq\r(3)) D．(－1，eq\r(3))[解析]∵a＋2b＝(eq\r(3)，1)＋2(0，－2)＝(eq\r(3)，－3)，因为eq\r(3)×eq\r(3)－(－1)×(－3)＝0，所以向量(－1，eq\r(3))与a＋2b是共线向量．又因为1×(－3)－(－eq\r(3))×eq\r(3)＝0，所以向量(1，－eq\r(3))与a＋2b也是共线向量．5．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于(B)A．－6 B．6C．2 D．－2[解析]a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，∴λ＝6．二、填空题6．设i、j分别为x、y轴正方向的单位向量，已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝2i，eq\o(OB,\s\up6(→))＝4i＋2j，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，则点C的坐标为__(1，－1)__．[解析]由已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,0)、eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，设C点坐标为(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x－2，y)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(AC,\s\up6(→))，∴(2,2)＝－2(x－2，y)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2＝2,－2y＝2))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1))．∴点C的坐标为(1，－1)．7．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝__－6__．[解析]由题意得，－2m－12＝0，所以m＝－6．8．已知平行四边形ABCD的顶点A(4,3)，B(1，－1)，C(2,1)，D点的坐标为__(5,5)__．[解析]∵ABCD为平行四边形，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))．设D(x，y)，则(x－4，y－3)＝(1,2)，∴x＝5，y＝5，∴D(5,5)．三、解答题9．如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))的坐标．[解析]设点B的坐标为(x，y)，则x＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，y＝sin30°＝eq\f(1,2)．∴B(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠xOD＝120°．设点D的坐标为(x′，y′)，则x′＝cos120°＝－eq\f(1,2)，y′＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，∴D＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))．10．如图，已知点A(4,0)、B(4,4)、C(2,6)，求AC、OB交点P的坐标．[解析]解法一：设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)．eq\o(AP,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)．因为A、P、C三点共线，所以6×(4λ－4)－(－2)×4λ＝0，解得λ＝eq\f(3,4)．所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(3,3)，即P点坐标为(3,3)．解法二：设P(x，y)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,4)，因为O、P、B三点共线，所以4x－4y＝0①又因为eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)，且A、P、C三点共线，所以6×(x－4)－(－2)×y＝0，即3x＋y＝12②由①、②得：x＝3，y＝3，所以P(3,3)．B级素养提升一、选择题1．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)、C(－1,3)、eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，则点D的坐标是(D)A．(11,9) B．(4,0)C．(9,3) D．(9，－3)[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－3)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(10，－6)，设D(x，y)，又C(－1,3)，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x＋1，y－3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝10,y－3＝－6))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9,y＝－3))．2．已知两点A(4,1)、B(7，－3)，则与向量eq\o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是(A)A．eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→)) B．－eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\f(1,25)eq\o(AB,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,25)eq\o(AB,\s\up6(→))[解析]eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3，－4)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(32＋－42)＝5，故与向量eq\o(AB,\s\up6(→))同向的单位向量是eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))．3．已知向量a＝(eq\f(3,2)，sinα)，b＝(sinα，eq\f(1,6))，若a∥b，则锐角α为(A)A．30° B．60°C．45° D．75°[解析]∵a∥b，∴sin2α＝eq\f(3,2)×eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)，∴sinα＝±eq\f(1,2)．∵α为锐角，∴α＝30°．4．(多选题)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论，其中错误的是(BCD)A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点OD．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)[解析]由平面对量基本定理，知A正确；举反例，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；向量可以平移，a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．二、填空题5．已知向量a＝(2,1)、b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m、n∈R)，则m－n的值为__－3__．[解析]由题意得，2m＋n＝9，m－2n＝－8⇒m＝2，n＝5，m－n＝－3．6．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3eq\o(OB,\s\up6(→))，则点A′的坐标为__(2,4)__.点B′的坐标为__(－3,9)__，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))的坐标为__(－5,5)__．[解析]∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq\o(OA′,\s\up6(→))＝2×(1,2)＝(2,4)，eq\o(OB′,\s\up6(→))＝3×(－1,3)＝(－3,9)．∴A′(2,4)，B′(－3,9)，eq\o(A′B′,\s\up6(→))＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．三、解答题7．已知直线上三点P1、P、P2满意|eq\o(P1P,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(PP2,\s\up6(→))|，且P1(2，－1)、P2(－1,3)，求点P的坐标．[解析]∵|eq\o(P1P,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(PP2,\s\up6(→))|，∴eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))或eq\o(P1P,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，设P(x，y)，则(x－2，y＋1)＝±eq\f(2,3)(－1－x,3－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝\f(2,3)－1－x,y＋1＝\f(2,3)3－y))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝－\f(2,3)－1－x,y＋1＝－\f(2,3)3－y))．解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5),y＝\f(3,5)))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8,y＝－9))．故点P的坐标为(eq\f(4,5)，eq\f(3,5))或(8，－9)．8．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D、M、B三点共线．[解析]如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，令|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2．∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．(1)∵eq\o(ED,\s\up6(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴eq\o(ED,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(ED,\s\up6(→