2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦余弦与正切公式第2课时两角和与差的正弦余弦与正切公式一学案含解析新人教A版必修第一册

PAGE1-第2课时两角和与差的正弦、余弦与正切公式(一)必备学问·探新知基础学问学问点1两角和的余弦公式简记符号公式运用条件C(α＋β)cos(α＋β)＝__cosαcosβ－sinαsinβ__α，β∈R思索1：(1)你能说出公式C(α＋β)的特点吗？(2)如何识记两角和与差的余弦公式？提示：(1)公式左端为两角和的余弦，右端为角α，β的同名三角函数积的差，即和角余弦等于同名积之差．(2)可简洁记为“余余正正，符号反”，即绽开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；绽开前两角间的符号与绽开后两项间的符号相反．学问点2两角和与差的正弦公式名称简记符号公式运用条件两角和的正弦公式__S(α＋β)__sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦公式__S(α－β)__sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R思索2：如何记忆公式S(α＋β)，S(α－β)?提示：记忆口诀：正余余正，符号相同．正余余正表示绽开后的两项分别是两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；符号相同表示绽开后两项之间的连接符号与绽开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“＋”，两角差时用“－”．基础自测1．下列说法中正确的个数是(B)①sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ对于随意角α，β均成立．②不存在角α，β，使得sin(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.③sin(α＋β)＝sinα＋sinβ肯定不成立．A．0 B．1C．2 D．3[解析]①正确，②③错误，故选B．2．sin(30°＋45°)＝__eq\f(\r(2)＋\r(6),4)__.[解析]sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°·sin45°＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).3．cos55°cos5°－sin55°sin5°＝__eq\f(1,2)__.[解析]原式＝cos(55°＋5°)＝cos60°＝eq\f(1,2).4．sin70°sin65°－sin20°sin25°＝__eq\f(\r(2),2)__.[解析]原式＝sin70°cos25°－cos70°sin25°＝sin(70°－25°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).关键实力·攻重难题型探究题型一给角求值例1化简下列各式：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sineq\f(π,12).[解析](1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝eq\f(1,2).(2)sineq\f(π,12)＝sin(eq\f(π,3)－eq\f(π,4))＝sineq\f(π,3)coseq\f(π,4)－coseq\f(π,3)sineq\f(π,4).＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).[归纳提升]公式的奇妙运用(1)顺用：如本题中的(2)；(2)逆用：如本题中的(1)；(3)变用：变用涉及两个方面，一个是公式本身的变用，如cos(α＋β)＋sinαsinβ＝cosαcosβ，一个是角的变用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，从某种意义上来说，是一种整体思想的体现，如cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.这些须要在平常的解题中多总结，多探讨，多留心．【对点练习】❶求下列各式的值：(1)sin347°cos148°＋sin77°cos58°；(2)eq\r(3)sineq\f(π,12)＋coseq\f(π,12).[解析](1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)＝sin13°cos32°＋cos13°sin32°＝sin(13°＋32°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).(2)原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin\f(π,12)＋\f(1,2)cos\f(π,12)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,12)cos\f(π,6)＋sin\f(π,6)cos\f(π,12)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(π,6)))＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2).题型二给值求值例2(1)已知α为锐角，sinα＝eq\f(3,5)，β是第四象限角，cosβ＝eq\f(4,5)，则sin(α＋β)＝__0__；(2)已知eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，求sin2α的值．[分析](1)先求出cosα，sinβ的值，再代入公式S(α＋β)．(2)由α、β的范围，确定α－β，α＋β的范围，求出sin(α－β)、cos(α＋β)的值，再由2α＝(α－β)＋(α＋β)变形求值．[解析](1)∵α为锐角，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝eq\f(4,5).∵β为第四象限角，cosβ＝eq\f(4,5)，∴sinβ＝－eq\f(3,5)，sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(4,5)×(－eq\f(3,5))＝0.(2)因为eq\f(π,2)<β<α<eq\f(3π,4)，所以0<α－β<eq\f(π,4)，π<α＋β<eq\f(3,2)π.又cos(α－β)＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\r(1－\f(12,13)2)＝eq\f(5,13)，cos(α＋β)＝－eq\r(1－sin2α＋β)＝－eq\r(1－－\f(3,5)2)＝－eq\f(4,5).所以sin2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝eq\f(5,13)×(－eq\f(4,5))＋eq\f(12,13)×(－eq\f(3,5))＝－eq\f(56,65).[归纳提升](1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．【对点练习】❷(1)已知sinα＝eq\f(15,17)，α∈(eq\f(π,2)，π)，求sin(eq\f(π,3)－α)的值；(2)若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，cos(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(1,3)，cos(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(3),3)，求cos(α＋eq\f(β,2))．[解析](1)因为sinα＝eq\f(15,17)，α∈(eq\f(π,2)，π)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(15,17)2)＝－eq\f(8,17).所以sin(eq\f(π,3)－α)＝sineq\f(π,3)cosα－coseq\f(π,3)sinα＝eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(8,17))－eq\f(1,2)×eq\f(15,17)＝－eq\f(15＋8\r(3),34).(2)∵0<α<eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4)<eq\f(π,4)＋α<eq\f(3,4)π，∴sin(eq\f(π,4)＋α)＝eq\f(2\r(2),3)，∵－eq\f(π,2)<β<0，∴eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－eq\f(β,2)<eq\f(π,2)，∴sin(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(\r(6),3).cos(α＋eq\f(β,2))＝cos[(eq\f(π,4)＋α)－(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))]＝cos(eq\f(π,4)＋α)cos(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＋sin(eq\f(π,4)＋α)sin(eq\f(π,4)－eq\f(β,2))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).题型三给值求角例3已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，且α、β为锐角，求α＋β的值．[解析]∵α、β为锐角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(\r(10),10)，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，∵α、β为锐角，∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝45°.[归纳提升]本题型本质上仍等同于给值求值问题，但须要依据所给条件，选择某种适当的三角函数，求出所求角的三角函数值．在选择函数时应尽量避开一值多角的状况，所以若角的范围是(0，eq\f(π,2))，(π，eq\f(3π,2))，则选正弦函数、余弦函数皆可；若角的范围是(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，则最好选正弦函数；若角的范围是(0，π)，则最好选余弦函数．【对点练习】❸已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，且α，β∈(0，eq\f(π,2))，求β的值．[解析]∵α，β∈(0，eq\f(π,2))，∴0<α＋β<π，sinα＝eq\r(1－\f(1,49))＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－－\f(11,14)2)＝eq\f(5\r(3),14).∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－eq\f(11,14)×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2)，∴β＝eq\f(π,3).题型四协助角公式及其应用例4(1)eq\r(2)coseq\f(π,12)＋eq\r(6)sineq\f(π,12)的值是(B)A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．eq\f(\r(2),2)(2)y＝cosx＋cos(x＋eq\f(π,3))的最大值是__eq\r(3)__.[解析](1)原式＝2eq\r(2)(eq\f(1,2)coseq\f(π,12)＋eq\f(\r(3),2)sineq\f(π,12))＝2eq\r(2)sin(eq\f(π,12)＋eq\f(π,6))＝2eq\r(2)sineq\f(π,4)＝2，故选B．(2)y＝cosx＋cosx·eq\f(1,2)－sinx·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(1,2)sinx)＝－eq\r(3)(eq\f(1,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx)＝－eq\r(3)sin(x－eq\f(π,3))，当x＝2kπ－eq\f(π,6)时，(k∈Z)，ymax＝eq\r(3).[归纳提升](1)公式形式：公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ))将形如asinα＋bcosα(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式．(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看详细条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于探讨函数的性质．【对点练习】❹sin15°＋sin75°的值是__eq\f(\r(6),2)__.[解析](方法一)sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)sin15°＋eq\f(\r(2),2)cos15°)＝eq\r(2)(sin15°cos45°＋cos15°sin45°)＝eq\r(2)sin(15°＋45°)＝eq\f(\r(6),2).(方法二)sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°cos30°＝eq\f(\r(6),2).课堂检测·固双基1．计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于(A)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)[解析]∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝eq\f(1,2).∴选A．2．sin75°cos30°－sin15°sin150°的值等于(C)A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(