吉林省长春市榆树市2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷

吉林省长春市榆树市2023-2024学年九年级上学期数学期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列二次根式中，与2是同类二次根式的是（）A．4 B．3 C．8 D．122．若sinα＝12A．30° B．45° C．50° D．60°3．一元二次方程x2A．有两个相等的实数根 B．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根4．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A．60m B．40m C．30m D．20m5．若点(3，a)、(4，A．a>b B．a<b C．a=b D．无法确定6．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（）A．3 B．4 C．6 D．97．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：3．坝高BC为4m，则ABA．43m B．8m C．838．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知∠α的顶点位于正方形网格的格点上，且cosα=313A． B．C． D．二、填空题（每小题3分，共18分）9．计算：3×12＝．10．抛物线y=−3(x−1)11．如图，一片树叶放置在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均在格点上，若点A的坐标为(−1，1)，点B的坐标为(2，−1)，则点12．如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是.13．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为．14．如图，在等边三角形ABC中，AB=4，点D是边AB上一点，且BD=1，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作∠DPE=60°，PE交边AC于点E．若CE=a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．计算：6×16．解方程：x2﹣5x+2＝0（配方法）17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图②、图③中仿照图①，只用无刻度的直尺，各画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．要求：所画线段CD的位置不同，点C、D均在格点上18．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.19．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°．求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=020．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？21．为了激发同学们对理化的科学研究兴趣，并在实践中更好地理解和消化理论知识，提高动手能力，某校在初三年级开展了理化试验操作竞赛，物理、化学图有3个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③表示，化学题目用字母a、b、c表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生随机抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．（1）小李同学抽到物理实验题目①这是一个事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）．（2）小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树状图（或列表）的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．22．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．23．（1）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．猜想：如图1．在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且DE=1对此，我们可以用演绎推理给证明．

（2）【结论应用】如图2，△ABC是等边三角形，点D在边AB上（点D与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结BE，M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连结M、N、P．①求证：MN=PN；②∠MNP的大小是．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，动点P从点A出发，沿AC以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°得到线段PR，连结QR．设点P的运动时间为t秒（t>0）．（1）线段AP的长为（用含t的代数式表示）．（2）当点P与点C重合时，求t的值．（3）当C、R、Q三点共线时，求t的值．（4）当△CPR为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A、4=2是整数，与2B、3与2的被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意；C、8=22，与D、12=23，与故答案为：C.【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.2．【答案】A【解析】【解答】解：∵sinα＝12∵锐角α＝30°.故答案为：A.【分析】利用特殊角的三角函数值，可求出锐角α的度数.3．【答案】B【解析】【解答】解：△=b所以方程没有实数根．故答案为：B．【分析】先求出△=b4．【答案】B【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，

∴AB∥DC，

∴△EAB∽△EDC，

∴CEBE又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，

∴1020=20AB，【分析】易证△EAB∽△EDC，然后利用相似三角形的性质可求出AB.5．【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得：当x=3时，a=(3−2)当x=4时，b=(4−2)∴a<b．故答案为：B【分析】先求出a=1，再求出b=4，最后比较大小即可。6．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，而四边形ABCD的面积等于4，∴四边形A′B′C′D′的面积为9．故答案为：D．【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．7．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：3；∴AC=BC÷tanA=43∴AB=4故答案为：B．【分析】先利用坡度较求出AC的长，再利用勾股定理求解即可。8．【答案】B【解析】【解答】解：A.cosα=B.cosα=C.cosα=D.cosα=故答案为：B．【分析】结合图形，利用锐角三角函数计算求解即可。9．【答案】6【解析】【解答】解：3×12＝3×12=故答案为6.【分析】先根据a×10．【答案】x=1【解析】【解答】解：抛物线y=−3(x−1)故答案为：x=1．【分析】二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴是直线x=h，据此求解即可．11．【答案】(2【解析】【解答】解：由点A的坐标为(−1,1)，点B的坐标为∴点C的坐标为(2,故答案为：(2,【分析】根据A、B的坐标建立平面直角坐标系，再求点C的坐标即可．12．【答案】7【解析】【解答】解：小虫落到阴影部分的概率＝74×4故答案为：716【分析】本题应分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．13．【答案】（35-2x）（20-x）=660【解析】【解答】解：依题意，得：（35-2x）（20-x）=660．故答案为：（35-2x）（20-x）=660．

【分析】先平移，再表示出阴影部分的长和宽分别为（35-2x）和（20-x），再根据“种植面积为660平方米”列出方程（35-2x）（20-x）=660即可。14．【答案】4【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BDP+∠BPD=180°−∠B=120°，∵∠DPE=60°，∴∠BPD+∠CPE=180°−∠DPE=120°，∴∠BDP=∠CPE，∵∠B=∠C=60°，∴△BDP∽△CPE，∴BD∵BD=1，CE=a，AB=4，∴1∴BP∵满足条件的点P有且只有一个，∴方程BP∴Δ=(−4)解得：a=4，故答案为：4．【分析】利用等边三角形的性质和三角形内角和定理证明△BDP∽△CPE，得到BDCP=BPCE，从而建立关于BP的一元二次方程，再利用15．【答案】解：6==3=42【解析】【分析】先算乘除和化简绝对值，再算加减即可。16．【答案】解：把方程x2﹣5x+2＝0的常数项移到等号的右边，得x2﹣5x＝﹣2，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得：x2﹣5x+（−52）2＝﹣2+（−5配方，得：（x−52）2＝开方，得：x−解得：x1=5+172，x【解析】【分析】配方法解一元二次方程的一般步骤：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解。17．【答案】解：如图所示：如图1：∵AC∥DB，∴EB：AE=DB：AC=2：3；如图2：∵AC∥DB，∴AE：EB=AC：DB=2：3；如图3：∵AC∥DB，∴EB：AE=DB：AC=2：3；故图中各画出了一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．【解析】【分析】利用平行线分线段成比例即可画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分。18．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，又∵抛物线过点C(0，-3)，∴-3=a(0−1)2−4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，即y=x2−2x−3；（2）解：令y=0，得：x2−2x−3=0，解得x1=3，所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.【解析】【分析】（1）由顶点D的坐标为（1，-4），设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，再将C（0，-3）代入求解即可；（2）将y=0代入（1）中所求解析式，得到x2-2x-3=0，解方程求出x的值，进而得到抛物线与x轴的交点A，B的坐标．19．【答案】解：由题意得，BE⊥CD于E，BE=AC=22米，∠DBE=32°，在Rt△DBE中，DE=BE•tan∠DBE=22×0.62≈13.64（米），CD=CE+DE=1.8+13.64≈15.4（米），答：旗杆的高CD约为15.4米．【解析】【分析】作BE⊥CD于E，利用正切的概念求出ED的长，再利用CD=CE+DE计算即可．20．【答案】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200−x）]个，依题意，得：（x−100）[300+5（200−x）]＝32000，整理，得：x2解得：x1180<200，正确．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．【解析】【分析】根据题意设降价后的销售单价为x元，利润为y元。列出数量关系式，y=（x-100）[300+5(200-x）]。当y=32000时，求出x的值。21．【答案】（1）随机（2）解：根据题意画图如下：共有9种等可能的情况数，其中同时抽到两科都准备得较好的实验题目的有2种，则P（同时抽到两科都准备得较好）＝29【解析】【解答】解：由题意可知，

小李同学抽到物理实验题目①这是一个随机事件．

故答案为：随机；

【分析】（1）根据“必然”、“不可能”或“随机”三种事件的特点，可知小李同学抽到物理实验题目①这是一个什么事件；

（2）先画出相应的树状图，确定所有的等可能结果和符合要求的结果，再用概率的公式计算即可．22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）解：∵△DAE∽△DCF，∴ADDC∴4∴y＝32（3）5【解析】【解答】解：（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝53∴DE＝BE＝133∴cos∠AED＝AEDE＝5故答案为：513【分析】（1）根据矩形的性质和余角的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90°，∠ADE=∠CDF，最后运用相似三角形的判定定理证明即可；（2）运用相似三角形的性质解答即可；（3）根据轴对称图形的性质可得DE=BE，再运用勾股定理可求出AE，DE的长，最后用余弦的定义解答即可.23．【答案】（1）解：证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴ADAB∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE=∠ABC，DEBC∴DE∥BC，DE=1（2）解：①证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，

∵DE∥AB，

∴∠ABC=∠ADE=60°，∠ACB=∠AED=60°，

∴∠ADE=∠AED=60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD=AE，∴BD=CE，∵EM=MD，EN=NB，∴MN=12BD，∵BN=NE，BP=PC，∴PN=12EC，【解析】【解答】解：（2）②∵EM=MD，EN=NB，∴MN∥BD，∵BN=NE，BP=PC，∴PN∥EC，∴∠MNE=∠ABE，∠PNE=∠AEB，∵∠AEB=∠EBC+∠C，∠ABC=∠C=60°，∴∠MNP=∠ABE+∠EBC+∠C=∠ABC+∠C=120°．故答案为：120°。

【分析】教材呈现：根据等边三角形的判定和性质证明△ADE∽△ABC即可解决问题．结论应用：①利用三角形的中位线定理即可证明．②利用三角形的中位线定理以及平行线的判定与性质解决问题即可．24．【答案】（1）5t（2）解：当点P与点C重合时，AP=AC=4，则5t=4，∴t=4（3）解：∵∠ACB=90°，BC=3，AC=4，∴tanA=∴tanA=又由旋转的性质知，PQ=PR，当C、R、Q三点共线时，如图，∵∠RPQ=∠AQP=90°，∴PR∥