4.2.1.1等差数列的概念和通项公式（知识梳理+例题+变式+练习）（解析版）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示．(2)符号语言：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n无关．(3)求公差d时，可以用d＝an－an－1来求，也可以用d＝an＋1－an来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用an－an－1求公差时，要求n≥2，n∈N*.要点二等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是________．【重点概要】在等差数列{an}中，任取相邻的三项an－1，an，an＋1(n≥2，n∈N*)，则an是an－1与an＋1的等差中项．反之，若an－1＋an＋1＝2an对任意的n≥2，n∈N*均成立，则数列{an}是等差数列．因此，数列{an}是等差数列⇔2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式an＝【重点总结】从函数角度认识等差数列{an}若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．()(4)一个无穷等差数列{an}中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．()【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有()A．1,1,1,1,1B．4,7,10,13,16C.eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，1，eq\f(4,3)，eq\f(5,3)D．－3，－2，－1,1,2【答案】ABC3．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为()A．2B．3C．－2D．－3【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2.故选C.4．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．【答案】60°【解析】因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.题型一等差数列的通项公式探究1基本量的计算【例1】(1)在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，则an＝________.(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝eq\f(5,4)，a7＝－eq\f(7,4)，则a15＝________.【答案】(1)2n(2)－eq\f(31,4)【解析】(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝12,a1＋17d＝36))，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(解得d＝2，,a1＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.(2)法一：(方程组法)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝\f(5,4)，,a7＝－\f(7,4)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝\f(5,4)，,a1＋6d＝－\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(11,4)，,d＝－\f(3,4)，))∴a15＝a1＋(15－1)d＝eq\f(11,4)＋14×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).法二：(利用am＝an＋(m－n)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，即－eq\f(7,4)＝eq\f(5,4)＋4d，解得d＝－eq\f(3,4)，∴a15＝a3＋(15－3)d＝eq\f(5,4)＋12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＝－eq\f(31,4).探究2判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由．【解析】∵an＝2＋(n－1)×7＝7n－5，由7n－5＝100，得n＝15，∴100是这个数列的第15项．探究3等差数列中的数学文化【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的eq\f(1,7)是最小的两份之和，则最小的一份的量是()A.eq\f(11,6)B.eq\f(10,3)C.eq\f(5,6)D.eq\f(5,3)【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得[20＋(a1＋3d)＋(a1＋4d)]×eq\f(1,7)＝a1＋(a1＋d)，解得a1＝eq\f(5,3)，故选D.【方法归纳】(1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋m－1d＝a,a1＋n－1d＝b，))求出a1和d，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其它项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷．【跟踪训练】(1)等差数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于()A．50B．49C．48D．47【答案】A【解析】由题得2a1＋5d＝4，将a1＝eq\f(1,3)代入得，d＝eq\f(2,3)，则an＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)＝33，故n＝50.(2)等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31.①求a20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？【解析】(2)①设数列{an}的公差为d.因为a5＝10，a12＝31，由an＝a1＋(n－1)d得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3.))即an＝－2＋3(n－1)＝3n－5，则a20＝3×20－5＝55.②令3n－5＝85，得n＝30，所以85是该数列{an}的第30项．题型二等差数列的判定与证明【例4】已知数列{an}满足a1＝4且an＝4－eq\f(4,an－1)(n>1)，记bn＝eq\f(1,an－2).(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)证明：∵bn＋1－bn＝eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(4,an)))－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an,2an－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an－2,2an－2)＝eq\f(1,2)又b1＝eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,2)∴数列{bn}是首项为eq\f(1,2)，公差为eq\f(1,2)的等差数列．(2)由(1)知，bn＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)n∵bn＝eq\f(1,an－2)∴an＝eq\f(1,bn)＋2＝eq\f(2,n)＋2.要证{bn}是等差数列，只需证bn＋1－bn＝常数或bn－bn－1＝常数(n≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a1＝4，an＝4－eq\f(4,an－1)”改为“a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)”，求an.【解析】∵an＋1＝eq\f(2an,an＋2)∴取倒数得：eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an)∴eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2)，又eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,2)，公差为eq\f(1,2)的等差数列，∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(n,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(n,2)，∴an＝eq\f(2,n).【方法归纳】定义法判断或证明数列{an}是等差数列的步骤：(1)作差an＋1－an，将差变形；(2)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.(1)设bn＝eq\f(an,2n－1)，证明：数列{bn}是等差数列．(2)求数列{an}的通项公式．【解析】(1)证明：因为an＋1＝2an＋2n，所以eq\f(an＋1,2n)＝eq\f(2an＋2n,2n)＝eq\f(an,2n－1)＋1，所以eq\f(an＋1,2n)－eq\f(an,2n－1)＝1，n∈N*.又bn＝eq\f(an,2n－1)，所以bn＋1－bn＝1.所以数列{bn}是等差数列，其首项b1＝a1＝1，公差为1.(2)由(1)知bn＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝2n－1bn＝n·2n－1，经检验，n＝1时a1＝1也满足上式．题型三等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________．【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x－d，x，x＋d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－d＋x＋x＋d＝15,x－d2＋x2＋x＋d2＝83))解得x＝5，d＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x-d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－a＝c－b＝d－c，,a＋b＋c＋d＝26，,bc＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝5，,c＝8，,d＝11))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝11，,b＝8，,c＝5，,d＝2，))∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＝26，,a1＋da1＋2d＝40，))化简，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝26，,a\o\al(2,1)＋3a1d＋2d2＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,d＝3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝11，,d＝－3，))∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，,a－da＋d＝40，))化简，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝26，,a2－d2＝40，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(13,2)，,d＝±\f(3,2).))∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为eq\f(85,9)，求这5个数．【解析】设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d.由已知有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝5，,a－2d2＋a－d2＋a2＋a＋d2＋a＋2d2＝\f(85,9)，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5a＝5，,5a2＋10d2＝\f(85,9).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,d＝±\f(2,3).))当d＝eq\f(2,3)时，这5个分数分别是－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，1，eq\f(5,3)，eq\f(7,3).当d＝－eq\f(2,3)时，这5个数分别是eq\f(7,3)，eq\f(5,3)，1，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3).综上，这5个数分别是－eq\f(1,3)，eq\f(1,3)，1，eq\f(5,3)，eq\f(7,3)或eq\f(7,3)，eq\f(5,3)，1，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3).【方法归纳】当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间的一项为a，再以d为公差向两边分别设项，即设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当等差数列的项数n为偶数时，可设中间两项分别为a－d，a＋d，再以2d为公差向两边分别设项，即设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{an}为等差数列，首项为eq\f(1,25)，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是()A．d>eq\f(8,75)B．d<eq\f(3,25)C.eq\f(8,75)<d<eq\f(3,25)D.eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)【答案】D【解析】由题意可得a1＝eq\f(1,25)，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1,a9≤1))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1,\f(1,25)＋8d≤1))解得eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25)，故选D.【易错警示】出错原因(1)错选A，只看到了a10>1而忽视了a9≤1，是审题不仔细而致误；(2)错选C，误认为a9<1，是由不会读题，马虎造成错误.纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列的公差为，若，，成等比数列，则的前项（）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得.【解析】等差数列的公差为，且，，成等比数列，，，解得，，的前项，．故选：B．2．已知数列满足，下列结论正确的是（）A．当时，的最大值258 B．当时，的最小值C．当时，的最小值 D．当时，的最大值【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：或，即是等差数列或等比数列，A选项分别把两种情况下的算出来，比较大小，求出的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项【解析】则或A选项，当时，是等差数列，公差为2，当时，当时，，是等比数列，公比为-2，当时，，的最大值为19，故A选项错误；B选项，当时，是等差数列，公差为2，当时，当时，，是等比数列，公比为-2，当时，，的最小值为17，故B选项错误；C选项，当时，是等差数列，公差为2，当时，即，解得：当时，，是等比数列，公比为-2，当时，即，解得：，，故的最小值为，故选项C正确D选项，当时，是等差数列，公差为2，当时，，解得：当时，，是等比数列，公比为-2，当时，即，解得：，此时的最大值为，D选项错误故选：C3．记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等差数列性质，求得，根据项与项之间的关系代入条件求得公差.【解析】由题知，，则，设数列公差为，则，解得，故选：C4．在等差数列中，前项和，，则（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据，，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解.【解析】解：，，又，，公差，，．故选：C.5．在中，“”是“角，，成等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】若，则，若，，成等差数列，则，得到答案.【解析】在中，若，则，所以，，成等差数列，充分性成立.反之，若，，成等差数列，则，因为，所以，必要性成立.所以“”是“角，，成等差数列”的充要条件.故选：C.6．已知数列的前项和，且满足，，若，则（）A．9 B． C．10 D．【答案】B【分析】根据判断出是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案.【解析】由可知，是等差数列，设公差为，所以，由，所以.故选：B.7．等差数列的前项和为，若，，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解.【解析】设等差数列的公差为，由，得解得则故选：D8．已知等差数列的前项和为，，，若（，，且），则的取值集合是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设公差为，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案.【解析】设公差为，由及，解得，，所以数列为，，，，，，，，，，，…，故i取值的集合为.故选:.二、多选题9．将个数排成行列的一个数阵，如下图：……该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列(其中).已知，记这个数的和为.下列结论正确的有（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果.【解析】由，可得，所以，解得或(舍去)，所以选项A是正确的；又由，所以选项B不正确；又由，所以选项C是正确的；又由这个数的和为S，则，所以选项D是正确的；故选：ACD.10．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（）A．Sn＝2n2－6n B．Sn＝n2－3nC．an＝4n－8 D．an＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得，由此求得，从而确定正确选项，【解析】依题意，，所以.故选：AC11．已知等差数列{an}中，a1＝3，公差为d(d∈N*)，若2021是该数列的一项，则公差d不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n－1)d，即有n＝＋1，因为d∈N*，所以d是2018的约数，故d不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n－1)d，所以n＝＋1，