分数运算技巧

#分数的简便运算（一）一、裂项综合（一）、“裂差”型运算1（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即一T形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a<b,axb1 111那么有 =; ( )axbb-aab（2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：1 nx1 nx(n+1)x(n+2)形式的，我们有：nx(n+1)x(n+2)x(n+3)1nx(1nx(n+1)x(n+2)="[——2nx(n+1)1(n+1)(n+2)11nx(n+1)x(n+2)x(n+3)二3[nx(n+1)x(n+2)-(n+1)x(n+2)x(n+3)裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x（x为任意自然数）的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：a+bab11 a2+b2 a2 b2 ab（1） = 1 =—+—（2） = 1 =--+—axbaxbaxbbaaxbaxbaxbba裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。(三)、整数裂项1x2+2x3+3x4+...+(n-1)xn=3(n -1)xnx(n+1)1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+(n-2) x(n—1)xn=—(n -2)(n —1)n(n+1)4二、换元解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论:纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n个9,其中n等于循环节所含的数字个数按循环位数添9,不循环位数添0，组成分母，其中9在0的左侧0.a=a；9；o.ab=a9；••ab1ab0.0ab=—x—= 9910990••abc-a0.abc= 9902、单位分数的拆分：11111111111例：10=20+20=s+c=cm=c+c=cm分析：分数单位的拆分，主要方法是：从分母N的约数中任意找出两个m和n,有:1 1(m+n)m n11 1 =—I—NN(m+n)N(m+n)N(m+n)AB本题10的约数有:1,10,2,5.。例如：选1和2，有：1 1(1+2)10=10（1+2）本题具体的解有：1 2 11 1 = 1 10(1+2)10(1+2)3015111111111—= 1 = 1 = 1 = 1 1011110126014351530典型例题44例1、计算：（1）X3745（2）2004X672003例2、计算：(1)731-X1158(2)166-4-4120例3、计算：4⑴117X115—1217211993x1994-1例4、计算： 1993+1992x1994例5、计算：33X252+37.9X61例6、计算：(9—+7—)^(—+—)7 9 79练习：计算下面各题1175X1175X76—X815164—175454-171-X394+3X274418.25X1155423842382382391988+1989x19871988x1989-111128—X10-1671—X3165111+222+333+…+999100+200+300+...+9004445X67719 78719 78TOC\o"1-5"\h\z2 2 11（11—+13—）-（ 十）13 11 131165—X1158117*（23115—1217211993x1994—122551993+1992x1994168168：168 +1691

1702004 12004・2004 + 20052006分数的简便运算（二）例1ii209119丁例1ii209119丁19"34x 195x3.003分析我们在五年级学过数的整除，看到209、119、195这样的数，不难想起7、11、13、19等质数，3.003好象与1001有关系，它可是有7、11、13这三个质因数，好象能约分，可以试一试。例3 31.8x7.9+19x9-+44.3x2.14分析算式是乘加乘的形式，有可能运用乘法分配律，第一个乘法算式与第三个乘法算式中分别有两个因数7.9和2.1，但是另一个因数不相同，可以把44.3拆成31.8与12.5的和后反复运用乘法分配律。例4 计算例5200420042-2003x2005分析20042即2004x2004表示2004个20042003x2005表示2005个2003,也可以看成2004个2003再加上一个2003,这样分母就转变为1111112004x(2004-2003)-2003=1111111—十—+—+—+—+——口12203042111 + + +1x22x33x4+ + 98x9999x100111一+ + +111——+ +——2x55x88x1111x1414x1717x20200420042004200420045+ 45+ + + 117 221 357例7、111 1 1 32-1 52-172-1111H 1 1 92-1112-1132-1例9计算U3-+5—+7—+9—+11—+13—+15—+17—6 12 20 30 42 56 72 90

计算例10计算例10、1十7^2+1+2+3十1+2+3+41十•一I■I十1+2+3+……+20例11、例11、1 \-1X2X3X4 1 ••• 1 2x3x4x53x4x5x6 6x7x8x97x8x9x10巩固：1x233x4-2x3X4x5+……+17x18319x201x2x3x4+2x4x6x8+4x8x12x16例12： 1x3x5x7+2x6x10x14+4x12x20x28分析：看起来数很大、很复杂，但排列很有规律性。1x2x3x4自不用说，2x4x6x8=1x2x2x2x2x3x2x4=24x1x2x3x4; 4x8x12x16=44x1x2x3x4.哇！分母也有这一规律，用乘法分配律又可以约分了。即学即练：（0.5+0.56+0.678）x（0.56+0.678+0.6789）—（0.5+0.56+0.678+0.6789）x（0.56+0.678）1008X10061008X100610071X39+3X278 81 1 1 1 187X（1—2）X（1—3）X（1—4）X……X（1―86）X（1—87）1111111+—+——+—+——+—