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文档简介
山西省吕梁地区2025届高考数学一模试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数和复数,则为A. B. C. D.2.过抛物线()的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.,且在第一象限,则()A. B. C. D.3.某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试,先将600个零件进行编号,编号分别为001,002,……,599,600.从中抽取60个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行:若从表中第6行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是()A.324 B.522 C.535 D.5784.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A. B. C.2 D.6.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()A. B. C. D.7.一物体作变速直线运动,其曲线如图所示,则该物体在间的运动路程为()m.A.1 B. C. D.28.已知向量,,则与的夹角为()A. B. C. D.9.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离10.的二项展开式中,的系数是()A.70 B.-70 C.28 D.-2811.正方体,是棱的中点,在任意两个中点的连线中,与平面平行的直线有几条()A.36 B.21 C.12 D.612.已知,,那么是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是等比数列,若,,且∥,则______.14.若函数,则使得不等式成立的的取值范围为_________.15.正方体中,是棱的中点,是侧面上的动点,且平面,记与的轨迹构成的平面为.①,使得;②直线与直线所成角的正切值的取值范围是;③与平面所成锐二面角的正切值为;④正方体的各个侧面中,与所成的锐二面角相等的侧面共四个.其中正确命题的序号是________.(写出所有正确命题的序号)16.数列的前项和为,数列的前项和为,满足,,且.若任意,成立,则实数的取值范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知中,内角所对边分别是其中.(1)若角为锐角,且,求的值;(2)设,求的取值范围.18.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左右顶点),面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆相交于点两点,问轴上是否存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.19.(12分)已知函数.(1)若函数,求的极值;(2)证明:.(参考数据:)20.(12分)在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.女生男生总计获奖不获奖总计附表及公式:其中,.21.(12分)2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动,治疗特种病的创新药研发成了当务之急.为此,某药企加大了研发投入,市场上治疗一类慢性病的特效药品的研发费用(百万元)和销量(万盒)的统计数据如下:研发费用(百万元)2361013151821销量(万盒)1122.53.53.54.56(1)求与的相关系数精确到0.01,并判断与的关系是否可用线性回归方程模型拟合?(规定:时,可用线性回归方程模型拟合);(2)该药企准备生产药品的三类不同的剂型,,,并对其进行两次检测,当第一次检测合格后,才能进行第二次检测.第一次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,,第二次检测时,三类剂型,,合格的概率分别为,,.两次检测过程相互独立,设经过两次检测后,,三类剂型合格的种类数为,求的数学期望.附:(1)相关系数(2),,,.22.(10分)已知椭圆的短轴长为,离心率,其右焦点为.(1)求椭圆的方程;(2)过作夹角为的两条直线分别交椭圆于和,求的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出.【详解】z1z2=(cos23°+isin23°)•(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°=.故答案为C.【点睛】熟练掌握复数的三角形式的乘法运算法则是解题的关键,复数问题高考必考,常见考点有:点坐标和复数的对应关系,点的象限和复数的对应关系,复数的加减乘除运算,复数的模长的计算.2、C【解析】
作,;,由题意,由二倍角公式即得解.【详解】由题意,,准线:,作,;,设,故,,.故选:C【点睛】本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.3、D【解析】
因为要对600个零件进行编号,所以编号必须是三位数,因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据,大于600的,重复出现的舍去,直至得到第六个编号.【详解】从第6行第6列开始向右读取数据,编号内的数据依次为:,因为535重复出现,所以符合要求的数据依次为,故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用,正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.4、B【解析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.5、A【解析】由给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为一个直角三角形,且两直角边分别为和,所以底面面积为高为的三棱锥,所以三棱锥的体积为,故选A.6、C【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.7、C【解析】
由图像用分段函数表示,该物体在间的运动路程可用定积分表示,计算即得解【详解】由题中图像可得,由变速直线运动的路程公式,可得.所以物体在间的运动路程是.故选:C【点睛】本题考查了定积分的实际应用,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于中档题.8、B【解析】
由已知向量的坐标,利用平面向量的夹角公式,直接可求出结果.【详解】解:由题意得,设与的夹角为,,由于向量夹角范围为:,∴.故选:B.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角,注意向量夹角的范围.9、B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r10、A【解析】试题分析:由题意得,二项展开式的通项为,令,所以的系数是,故选A.考点:二项式定理的应用.11、B【解析】
先找到与平面平行的平面,利用面面平行的定义即可得到.【详解】考虑与平面平行的平面,平面,平面,共有,故选:B.【点睛】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义,涉及到了简单的组合问题,是一中档题.12、B【解析】
由,可得,解出即可判断出结论.【详解】解:因为,且.,解得.是的必要不充分条件.故选:.【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数求值、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】若,,且∥,则,由是等比数列,可知公比为..故答案为.14、【解析】
分,两种情况代入讨论即可求解.【详解】,当时,,符合;当时,,不满足.故答案为:【点睛】本题主要考查了分段函数的计算,考查了分类讨论的思想.15、①②③④【解析】
取中点,中点,中点,先利用中位线的性质判断点的运动轨迹为线段,平面即为平面,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断;②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,进而求解;③由,取为中点,则,则即为与平面所成的锐二面角,进而求解;④由平行的性质及图形判断即可.【详解】取中点,连接,则,所以,所以平面即为平面,取中点,中点,连接,则易证得,所以平面平面,所以点的运动轨迹为线段,平面即为平面.①取为中点,因为是等腰三角形,所以,又因为,所以,故①正确;②直线与直线所成角即为直线与直线所成角,设正方体的棱长为2,当点为中点时,直线与直线所成角最小,此时,;当点与点或点重合时,直线与直线所成角最大,此时,所以直线与直线所成角的正切值的取值范围是,②正确;③与平面的交线为,且,取为中点,则即为与平面所成的锐二面角,,所以③正确;④正方体的各个侧面中,平面,平面,平面,平面与平面所成的角相等,所以④正确.故答案为:①②③④【点睛】本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.16、【解析】
当时,,可得到,再用累乘法求出,再求出,根据定义求出,再借助单调性求解.【详解】解:当时,,则,,当时,,,,,,(当且仅当时等号成立),,故答案为:.【点睛】本题主要考查已知求,累乘法,主要考查计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)由正弦定理直接可求,然后运用两角和的正弦公式算出;(2)化简,由余弦定理得,利用基本不等式求出,确定角范围,进而求出的取值范围.【详解】(1)由正弦定理,得:,且为锐角(2)【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用,基本不等式的应用,三角函数的值域等,考查了学生运算求解能力.18、(1);(2)见解析【解析】
(1)由面积最大值可得,又,以及,解得,即可得到椭圆的方程,(2)假设轴上存在点,是以为直角顶点的等腰直角三角形,设,,线段的中点为,根据韦达定理求出点的坐标,再根据,,即可求出的值,可得点的坐标.【详解】(1)面积的最大值为,则:又,,解得:,椭圆的方程为:(2)假设轴上存在点,是以为直角顶点的等腰直角三角形设,,线段的中点为由,消去可得:,解得:∴,,依题意有,由可得:,可得:由可得:,代入上式化简可得:则:,解得:当时,点满足题意;当时,点满足题意故轴上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】本题考查了椭圆的方程,直线和椭圆的位置关系,斜率公式,考查了运算能力和转化能力,属于中档题.19、(1)见解析;(1)见证明【解析】
(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(1)问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根据xlnx≤x(x﹣1),问题转化为只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根据函数的单调性证明即可.【详解】(1),,当,,当,,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.(1)要证f(x)+1<ex﹣x1.即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先证明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,则h′(x)=,易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,当且仅当x=1时取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),则k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),则F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)递增,故x∈(0,1ln1]时,F′(x)≤0,F(x)递减,即k′(x)递减,x∈(1ln1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,即k′(x)递增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k′(0)=1>0,k′(1)=e1﹣8+1>0,由零点存在定理,可知∃x1∈(0,1ln1),∃x1∈(1ln1,1),使得k′(x1)=k′(x1)=0,故0<x<x1或x>x1时,k′(x)>0,k(x)递增,当x1<x<x1时,k′(x)<0,k(x)递减,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x1),由k′(x1)=0,得=4x1﹣1,k(x1)=﹣1+x1﹣1=﹣(x1﹣1)(1x1﹣1),∵x1∈(1ln1,1),∴k(x1)>0,故x>0时,k(x)>0,原不等式成立.【点睛】本题考查了函数的单调性,极值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,考查转化思想,属于中档题.20、(Ⅰ),;(Ⅱ)详见解析.【解析】
(Ⅰ)根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于列式可解得;(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,从而可得列联表,再计算出,与临界值比较可得.【详解】解:(Ⅰ),.(Ⅱ)由频率分布直方图知样本中获奖的人数为,不获奖的人数为,列联表如下:女生男生总计获奖不获奖总计因为,所以在犯错误的概率不超过的前提下能认为“获奖与女生,男生有关.”【点睛】本题主要考查独立性检验,以及由频率分布直方图求平均数的问题,熟记独立性检验的思想,以及平均
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