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文档简介

四川省凉山2025届高三下学期第五次调研考试数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,为两条不同直线,,,为三个不同平面,下列命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则.其中正确命题序号为()A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③2.已知实数满足约束条件,则的最小值是A. B. C.1 D.43.已知向量满足,且与的夹角为,则()A. B. C. D.4.已知等差数列的公差为-2,前项和为,若,,为某三角形的三边长,且该三角形有一个内角为,则的最大值为()A.5 B.11 C.20 D.255.定义在上的函数与其导函数的图象如图所示,设为坐标原点,、、、四点的横坐标依次为、、、,则函数的单调递减区间是()A. B. C. D.6.已知实数满足不等式组,则的最小值为()A. B. C. D.7.已知抛物线和点,直线与抛物线交于不同两点,,直线与抛物线交于另一点.给出以下判断:①以为直径的圆与抛物线准线相离;②直线与直线的斜率乘积为;③设过点,,的圆的圆心坐标为,半径为,则.其中,所有正确判断的序号是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.已知是定义是上的奇函数,满足,当时,,则函数在区间上的零点个数是()A.3 B.5 C.7 D.99.已知抛物线经过点,焦点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.10.集合的真子集的个数是()A. B. C. D.11.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A. B.C. D.12.已知椭圆的左、右焦点分别为,,上顶点为点,延长交椭圆于点,若为等腰三角形,则椭圆的离心率A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知数列为正项等比数列,,则的最小值为________.14.如图,在中,已知,为边的中点.若,垂足为,则的值为__.15.正四面体的各个点在平面同侧,各点到平面的距离分别为1,2,3,4,则正四面体的棱长为__________.16.已知椭圆与双曲线(,)有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆的极坐标方程;(2)直线的极坐标方程是,射线与圆的交点为、,与直线的交点为,求线段的长.18.(12分)在开展学习强国的活动中,某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组,其中党员学习组有4名男教师、1名女教师,非党员学习组有2名男教师、2名女教师,高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.(1)求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数;(2)记X为选出的4名选手中女教师的人数,求X的概率分布和数学期望.19.(12分)新型冠状病毒肺炎疫情发生以来,电子购物平台成为人们的热门选择.为提高市场销售业绩,某公司设计了一套产品促销方案,并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后,对“采用促销”和“没有采用促销”的营销网点各选取了50个,对比上一年度的销售情况,分别统计了它们的年销售总额,并按年销售总额增长的百分点分成5组:,分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长10个百分点及以上的营销网点为“精英店”.(1)请你根据题中信息填充下面的列联表,并判断是否有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”;采用促销没有采用促销合计精英店非精英店合计5050100(2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价(单位:元)和日销量(单位:件)的一组数据后决定选择作为回归模型进行拟合.具体数据如下表,表中的:①根据上表数据计算的值;②已知该公司成本为10元/件,促销费用平均5元/件,根据所求出的回归模型,分析售价定为多少时日利润可以达到最大.附①:附②:对应一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.20.(12分)在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于两点.(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若点的极坐标为,,求的值.21.(12分)已知点为圆:上的动点,为坐标原点,过作直线的垂线(当、重合时,直线约定为轴),垂足为,以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求点的轨迹的极坐标方程;(2)直线的极坐标方程为,连接并延长交于,求的最大值.22.(10分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据直线与平面,平面与平面的位置关系进行判断即可.【详解】根据面面平行的性质以及判定定理可得,若,,则,故①正确;若,,平面可能相交,故②错误;若,,则可能平行,故③错误;由线面垂直的性质可得,④正确;故选:C【点睛】本题主要考查了判断直线与平面,平面与平面的位置关系,属于中档题.2、B【解析】

作出该不等式组表示的平面区域,如下图中阴影部分所示,设,则,易知当直线经过点时,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故选B.3、A【解析】

根据向量的运算法则展开后利用数量积的性质即可.【详解】.故选:A.【点睛】本题主要考查数量积的运算,属于基础题.4、D【解析】

由公差d=-2可知数列单调递减,再由余弦定理结合通项可求得首项,即可求出前n项和,从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2,可知数列单调递减,则,,中最大,最小,又,,为三角形的三边长,且最大内角为,由余弦定理得,设首项为,即得,所以或,又即,舍去,,d=-2前项和.故的最大值为.故选:D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用,考查求前n项和的最值问题,同时还考查了余弦定理的应用.5、B【解析】

先辨别出图象中实线部分为函数的图象,虚线部分为其导函数的图象,求出函数的导数为,由,得出,只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可.【详解】若虚线部分为函数的图象,则该函数只有一个极值点,但其导函数图象(实线)与轴有三个交点,不合乎题意;若实线部分为函数的图象,则该函数有两个极值点,则其导函数图象(虚线)与轴恰好也只有两个交点,合乎题意.对函数求导得,由得,由图象可知,满足不等式的的取值范围是,因此,函数的单调递减区间为.故选:B.【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间,同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象,考查推理能力,属于中等题.6、B【解析】

作出约束条件的可行域,在可行域内求的最小值即为的最小值,作,平移直线即可求解.【详解】作出实数满足不等式组的可行域,如图(阴影部分)令,则,作出,平移直线,当直线经过点时,截距最小,故,即的最小值为.故选:B【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义,属于基础题.7、D【解析】

对于①,利用抛物线的定义,利用可判断;对于②,设直线的方程为,与抛物线联立,用坐标表示直线与直线的斜率乘积,即可判断;对于③,将代入抛物线的方程可得,,从而,,利用韦达定理可得,再由,可用m表示,线段的中垂线与轴的交点(即圆心)横坐标为,可得a,即可判断.【详解】如图,设为抛物线的焦点,以线段为直径的圆为,则圆心为线段的中点.设,到准线的距离分别为,,的半径为,点到准线的距离为,显然,,三点不共线,则.所以①正确.由题意可设直线的方程为,代入抛物线的方程,有.设点,的坐标分别为,,则,.所以.则直线与直线的斜率乘积为.所以②正确.将代入抛物线的方程可得,,从而,.根据抛物线的对称性可知,,两点关于轴对称,所以过点,,的圆的圆心在轴上.由上,有,,则.所以,线段的中垂线与轴的交点(即圆心)横坐标为,所以.于是,,代入,,得,所以.所以③正确.故选:D【点睛】本题考查了抛物线的性质综合,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.8、D【解析】

根据是定义是上的奇函数,满足,可得函数的周期为3,再由奇函数的性质结合已知可得,利用周期性可得函数在区间上的零点个数.【详解】∵是定义是上的奇函数,满足,,可得,

函数的周期为3,

∵当时,,

令,则,解得或1,

又∵函数是定义域为的奇函数,

∴在区间上,有.

由,取,得,得,

∴.

又∵函数是周期为3的周期函数,

∴方程=0在区间上的解有共9个,

故选D.【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断,考查抽象函数周期性的应用,考查逻辑思维能力与推理论证能力,属于中档题.9、A【解析】

先求出,再求焦点坐标,最后求的斜率【详解】解:抛物线经过点,,,,故选:A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式,基础题.10、C【解析】

根据含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,计算可得;【详解】解:集合含有个元素,则集合的真子集有(个),故选:C【点睛】考查列举法的定义,集合元素的概念,以及真子集的概念,对于含有个元素的集合,有个子集,有个真子集,属于基础题.11、A【解析】

由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为,如图:的外接圆的圆心为斜边的中点,,且平面,,的中点为外接球的球心,半径,外接球表面积.故选:A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.12、B【解析】

设,则,,因为,所以.若,则,所以,所以,不符合题意,所以,则,所以,所以,,设,则,在中,易得,所以,解得(负值舍去),所以椭圆的离心率.故选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、27【解析】

利用等比数列的性质求得,结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.【详解】由等比数列的性质可知,则,.当且仅当时取得最小值.故答案为:.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质,涉及均值不等式求和的最小值,属综合基础题.14、【解析】

,由余弦定理,得,得,,,所以,所以.点睛:本题考查平面向量的综合应用.本题中存在垂直关系,所以在线性表示的过程中充分利用垂直关系,得到,所以本题转化为求长度,利用余弦定理和面积公式求解即可.15、【解析】

不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,根据题意F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,求得,再用余弦定理求得:,从而求得,再根据顶点A到面EDF的距离为,得到,然后利用等体积法求解,【详解】不妨设点A,D,C,B到面的距离分别为1,2,3,4,平面向下平移两个单位,与正四面体相交,过点D,与AB,AC分别相交于点E,F,如图所示:由题意得:F为中点,E为AB的三等分点(靠近点A),设棱长为a,,顶点D到面ABC的距离为所以,由余弦定理得:,所以,所以,又顶点A到面EDF的距离为,所以,因为,所以,解得,故答案为:【点睛】本题主要考查几何体的切割问题以及等体积法的应用,还考查了转化化归的思想和空间想象,运算求解的能力,属于难题,16、【解析】

先根据椭圆得出焦距,结合椭圆的定义求出,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最后利用离心率的公式求出离心率即可.【详解】解:因为椭圆,则焦点为,又因为椭圆与双曲线(,)有相同的焦点,椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,在椭圆中:由椭圆的定义:在双曲线中:,所以双曲线的实轴长为:,实半轴为则双曲线的离心率为:.故答案为:【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的定义,考查离心率的求解,利用定义解决综合问题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

(1)首先将参数方程转化为普通方程再根据公式化为极坐标方程即可;(2)设,,由,即可求出,则计算可得;【详解】解:(1)圆的参数方程(为参数)可化为,∴,即圆的极坐标方程为.(2)设,由,解得.设,由,解得.∵,∴.【点睛】本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18、(1)28种;(2)分布见解析,.【解析】

(1)分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组,可得恰好有一名女教师的选派方法数;(2)X的可能取值为,再求出X的每个取值的概率,可得X的概率分布和数学期望.【详解】解:(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种.(2)X的可能取值为0,1,2,3.,,,.故X的概率分布为:X0123P所以.【点睛】本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差,相对不难,注意运算的准确性.19、(1)列联表见解析,有把握;(2)①;②元时【解析】

(1)直接由题意列出列联表,通过计算,可判断精英店与采用促销活动是否有关.(2)①代入表中数据,结合公式求出;②由①中所得的线性回归方程,若售价为,单价利润为,日销售量为,进而可求出日利润,结合导数可求最值.【详解】解:(1)由题意知,采用促销中精英店的数量为,采用促销中非精英店的数量为;没有采用促销中精英店的数量为,没有采用促销中非精英店的数量为,列联表为采用促销没有采用促销合计精英店352055非精英店153045合计5050100因为有的把握认为“精英店与采用促销活动有关”.(2)①由公式可得:所以回归方程为②若售价为,单件利润为,日销售为,故日利润,解得.当时,单调递增;当时,单调递减.故当售价元时,日利润达到最大为元.【点睛】本题考查了独立性检验,考查了线性回归方程的求法,考查了函数最值的求解.在求函数的最值时,常用的方法有:函数图像法、结合函数单调性分析最值、基本不等式法、导数法.其中最常用的还是导数法.20、(1)曲线的直角坐标方程为即,直线的普通方程为;(2).【解析】

(1)利用代入法消去参数方程中的参数,可得直线的普通方程,极坐标方程两边同乘以利用即可得曲线的直角坐标方程;(2)直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,根据直线参数方程的几何意义,利用韦达定理可得结果.【详解】(1)由,得,所以曲线的直角坐标方程为,即

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