专题12 导数与函数的零点（方程的根）（考点清单+知识导图+ 7个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单12导数与函数的零点（方程的根）（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】函数的零点（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．（2）三个等价关系方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．【清单02】函数零点的判定如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．注意：单调性+存在零点=唯一零点【考点题型一】判断函数零点（方程的根）的个数【例1】（23-24高二下·江西景德镇·期末）已知函数.(1)求的极值点；(2)判断方程在区间上的解的个数，并说明理由.【变式1-1】（23-24高二下·广西桂林·期末）已知函数．(1)求的单调区间和极值；(2)判断在1,2上是否有零点，并说明理由．【变式1-2】（23-24高二下·河南郑州）已知函数.(1)求的极值；(2)判断在上的零点个数，并说明理由.【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性【例2】（2024·江苏苏州·模拟预测）已知函数.(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；(2)当时，求证：在上有唯一零点.【变式2-1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数，．(1)当时，求函数的单调区间；(2)证明：函数存在唯一零点．【变式2-2】（24-25高三上·浙江金华）设，已知函数，．（1）当时，证明：当时，；（2）当时，证明：函数有唯一零点．【考点题型三】讨论函数零点（方程的根）的个数【例3】（2024·云南曲靖·二模）已知函数.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)讨论方程的实根的个数.【变式3-1】（24-25高三上·北京海淀·期中）已知函数.(1)若在处取得极大值，求的值；(2)求的零点个数.【变式3-2】（23-24高三上·云南·阶段练习）已知．(1)当时，求在上的单调性；(2)若，令，讨论方程的解的个数．【考点题型四】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）【例4】（24-25高三上·广东梅州·期中）已知函数在处取得极大值.(1)求的值；(2)若有且只有个零点，求实数的取值范围.【变式4-1】（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)如果过点可作曲线的三条切线，求实数b的取值范围．【变式4-2】（23-24高二下·江苏无锡·期中）已知函数，当时，取得极值．(1)求的解析式；(2)若在区间上有解，求的取值范围.【考点题型五】数形结合法研究函数的零点（方程的根）【例5】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点.求a的取值范围.【变式5-1】（2024高三上·全国·专题练习）已知函数.若有两个零点.求的取值范围【变式5-2】（2024·贵州贵阳）已知函数.(1)当时.求在处的切线方程;(2)若方程存两个不等的实数根，求的取值范围.【变式5-3】（2024高二·河南南阳·专题练习）若函数，当时，函数有极值．(1)求函数的解析式；(2)若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围．【考点题型六】利用同构函数法研究函数的零点（方程的根）【例6】（24-25高三上·辽宁葫芦岛·阶段练习）设，若不等式在时恒成立，则k的最大值为【变式6-1】（24-25高三上·安徽·期中）已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是．【变式6-2】（2024·江苏苏州·模拟预测）若a>0且关于的不等式在0,+∞上恒成立，则的取值范围是．【考点题型七】导数中新定义题【例7】（24-25高三上·山东菏泽·期中）若函数在上存在，使得，则称为在区间上的“奇点”，若存在、，使得，，则称是上的“双奇点函数”，其中、也称为在上的奇点.(1)已知函数是区间上的双奇点函数，求实数的取值范围；(2)已知函数，；（i）当时，若为在区间上的“奇点”，证明：；（ii）求证：对任意的，在区间上存在唯一“奇点”.【变式7-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知的子集和定义域同为的函数，．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“关联函数”．(1)求的所有关联函数；(2)若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围；(3)对定义在R上的函数，证明：“对任意x∈R成立”的充分必要条件是“存在函数，使得对任意正整数，都是的一个关联函数”．【变式7-2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）定义：记函数的导函数为f′x，若f′x在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若f′x在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数.(1)求证：为区间上的凹函数；(2)若为区间的凸函数，求实数的取值范围；(3)求证：当时，.提升训练一、单选题1．（24-25高三上·山东菏泽·期中）函数的零点个数为（

）A．1 B．0 C．3 D．22．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（

）A．(1,+∞) B． C． D．3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知函数.若函数有三个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·山东菏泽·期中）若关于的方程有3个不同的根，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山东·开学考试）若函数的图象与直线有3个不同的交点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．6．（23-24高二下·山东东营·期末）已知函数，若方程有三个实数解，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、填空题7．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）若点，关于原点对称，且均在函数的图象上，则称是函数的一个“匹配点对”（点对与视为同一个“匹配点对”）.已知恰有两个“匹配点对”，则的取值范围是.8．（23-24高三下·安徽黄山·阶段练习）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为.三、解答题9．（24-25高三上·山东临沂·期中）已知函数.(1)求的导函数的极值；(2)不等式对任意恒成立，求k的取值范围；(3)对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围.10．（24-25高三上·湖北·期中）已知函数在点处的切线方程为(1)求函数的解析式；(2)若，且过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围.11．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知函数．(1)若曲线在处的切线过点，求实数的值；(2)若在内有两个不同极值点，求实数的取值范围．12．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）设f′x是函数的导函数，f″x是函数f′x的导函数，若方程f″x=0有实数解，则称点x(1)求实数的值；(2)求的零点个数.13．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）已知函数.(1)求函数的极值；(2)若方程有三个不同的实数解，求实数a的取值范围.14．（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）已知.(1)求的图象的以为切点的切线方程；(2)过点可对的图象作出三条切线，求实数的取值范围.15．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的