清单01 空间向量的线性运算（考点清单+知识导图+ 18个考点清单-题型解读）（解析版）-25学年高二数学上学期期末考点大串讲

清单01空间向量的线性运算（考点清单）（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】【清单01】几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量【清单02】空间向量的数乘运算1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．2：数乘向量与向量的关系的范围的方向的模与向量的方向相同，其方向是任意的与向量的方向相反【清单03】共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使拓展:对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．【清单04】空间向量的数量积1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.【清单05】空间向量运算的坐标表示设，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法减法数乘数量积【清单06】空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示1、两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）2、向量长度的坐标计算公式若，则，即3、两个向量夹角的坐标计算公式设，则【清单07】空间中直线、平面的平行设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则线线平行⇔⇔()线面平行⇔⇔面面平行⇔⇔【清单08】空间中直线、平面的垂直设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则线线垂直⇔⇔线面垂直⇔⇔⇔面面垂直⇔⇔⇔【考点题型一】空间向量基本概念【例1】（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题：①零向量的方向是任意的；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量，满足，则；④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（

）．A． B． C． D．【答案】D【知识点】空间向量的有关概念【分析】根据零向量的定义判断①，根据相等向量的定义判断②③，根据单位向量定义判断④.【详解】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确；方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误；若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误；空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误；所以正确的命题只有个；故选：D.【变式1-1】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．零向量没有方向B．在空间中，单位向量唯一C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底【答案】D【知识点】空间向量的有关概念、判定空间向量共面【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论.【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误；对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误；对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误；对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确.故选：D.【变式1-2】（多选）（24-25高二上·陕西渭南·期中）下列命题为真命题的是（）A．若空间向量满足，则B．在正方体中，必有C．若空间向量满足，则D．空间中，，则【答案】BC【知识点】空间向量的有关概念【分析】根据题意，由空间向量的定义以及性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于选项A，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量与的方向不一定相同，故A为假命题；对于B选项，与的方向相同，模也相等，故=，故B为真命题，对于C选项，向量的相等满足传递性，故C为真命题；对于D选项，平行向量不一定具有传递性，当时，与不一定平行，故D为假命题；故选：BC【考点题型二】空间向量共线判断核心方法：【例2】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（

）A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对【答案】A【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可.【详解】因为，所以，而，故，所以，所以，则点一定在直线上，故A正确.故选：A【变式2-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可.【详解】对于空间中的任意向量，都有，说法A错误；若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误；，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误；，则A、B、C三点共线，选项D正确；故选：D.【变式2-2】（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】空间向量共线的判定【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量.【详解】由长方体，可得，，所以四边形是平行四边形，所以，同理可得，又，分别为，的中点，所以，所以，所以向量平行于，因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，，又直线与相交，所以向量不平行于.故选：B.【考点题型三】由空间向量共线求参数或值核心方法：①②已知，，【例3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量，，且、、不共面，若，则（

）A． B． C．8 D．13【答案】B【知识点】由空间向量共线求参数或值【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可.【详解】因为，则存在，使得，即，则，解得，，所以.故选：B.【变式3-1】（23-24高二上·辽宁·期中）设向量不共面，已知，，若三点共线，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【知识点】由空间向量共线求参数或值【分析】把A、C、D三点共线转化为满足，列方程组，求出即可.【详解】因为，，所以，因为三点共线，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故选：A.【变式3-2】（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数．【答案】【知识点】由空间向量共线求参数或值【分析】先求出向量，再根据，，三点共线得出与的关系，从而求出的值.【详解】因为，已知，，所以.因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得.已知，，则.根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得.由，解得，又因为，所以.故答案为：.【考点题型四】判断空间向量共面核心方法：存在实数，使【例4】（23-24高二上·云南）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．B．C．D．【答案】C【知识点】判定空间向量共面【分析】利用共面向量定理分析判断，其中选项ABD中，一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式，所以三个向量共面；只有选项C的向量不可以，即得解.【详解】因为所以共面；因为所以共面；，所以共面；假设存在实数满足，所以,所以，该方程组没有实数解.所以不存在实数满足，故不共面．所以选项C符合题意.故选：C【变式4-1】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用【分析】根据共面向量基本定理及其推论判断即可.【详解】A选项：，所以A错；B选项：，所以B错；C选项：原式可整理为，所以C正确；D选项：原式可整理为，，故D错.故选：C.【变式4-2】（多选）（23-24高二下·江苏淮安）下列命题中是真命题的为（

）A．若与共面，则存在实数，使B．若存在实数，使向量，则与共面C．若点四点共面，则存在实数，使D．若存在实数，使，则点四点共面【答案】BD【知识点】判定空间向量共面、空间共面向量定理的推论及应用【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立.【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量.若与不共线，则不能表示，故A项错误；对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确；对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误；对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确.故选：BD.【考点题型五】由空间向量共面求参数核心方法：存在实数，使【例5】（24-25高二上·天津·阶段练习）在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】空间向量共面求参数【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体中，不共面，而则所以故选：D【变式5-1】（24-25高二上·上海·期中）已知，、、三点不共线，为平面外任意一点．若，且、、、四点共面，则．【答案】【知识点】空间向量共面求参数【分析】根据空间共面定理得到若，，，四点共面，则，且，从而得到方程，解得即可.【详解】因为，，，四点共面，则，且，又，即，即，所以，解得.故答案为：【变式5-2】（23-24高二上·上海黄浦·期中）已知四面体，空间的一点满足，若，，，共面，则实数的值为.【答案】【知识点】空间向量共面求参数【分析】由向量的线性运算可知，再由共面定理可知，即可得解.【详解】由，得，即，又，，，四点共面，即，，共面，所以存在唯一实数对，使，所以，解得，故答案为：.【考点题型六】用基底表示向量核心方法：空间向量的加减数乘运算【例6】（23-24高二下·重庆合川）如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示、用空间基底表示向量【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可.【详解】=故选：A.【变式6-1】（24-25高二上·山东德州·期中）在四面体中，点D为的中点，点E在上，且，用向量，，表示，则（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】空间向量加减运算的几何表示、空间向量数乘运算的几何表示【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】如图，由题意得，.故选：D.【变式6-2】（24-25高二上·广东茂名·期中）在平行六面体中，，，，是与的交点，以为空间的一个基底，则直线的一个方向向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】空间向量的加减运算【分析】由向量的线性运算即可得到答案.【详解】故选：A.【考点题型七】空间向量数量积运算核心方法：①坐标运算②定义法：【例7】（24-25高二上·贵州黔东南·期中）在正四面体中，为棱的中点，，则（

）A． B．3 C． D．6【答案】B【知识点】空间向量数量积的应用【分析】根据图形，由向量的加法和向量的数量积计算即可；【详解】

因为为棱的中点，所以，所以.故选：B.【变式7-1】（24-25高二上·天津·开学考试）已知点是棱长为2的正方体的底面上一点，则的最小值为（

）A． B．0 C． D．【答案】C【知识点】空间向量数量积的应用【分析】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，同时设点的坐标为，其中，，用坐标运算计算出，配方后可得其最小值.【详解】以点为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则点，设点的坐标为，由题意可得，，，由二次函数的性质可得，当时，取得最小值，故选：C.【变式7-2】（24-25高二上·天津滨海新·期中）若，，则.【答案】【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算【分析】根据空间向量的线性运算和数量积的坐标表示即可求解.【详解】,则，故答案为：【考点题型八】求空间向量数量积的最值（范围）核心方法：①坐标法（含自主建系法）②极化恒等式(1)平行四边形模型：向量的数量积等于“和对角线长”与“差对角线长”平方差的eq\f(1,4)，即（如图）(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即（如图）【例8】（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为．【答案】1【知识点】求二次函数的值域或最值、求空间向量的数量积【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得数量积的表达式，再由二次函数性质得出最小值.【详解】依题意以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则，设，所以，因此，当时，取得最小值1.故答案为：1【变式8-1】（24-25高二上·贵州六盘水·期中）已知M，E，F均为圆柱表面上的动点，直线EF经过圆柱的中心O，，圆柱的底面圆的半径为5，则的最大值为.【答案】144【知识点】圆柱的结构特征辨析、空间向量数量积的应用【分析】分析可知，结合圆柱的结合性质分析求解即可.【详解】因为，又因为O为圆柱的中心，且M，E，F均为圆柱表面上的动点，则，当且仅当为底面圆周上时，等号成立，且，当且仅当为过O且与底面平行的圆周上时，等号成立，可得，所以的最大值144.故答案为：144.【变式8-2】（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）正方体的棱长为，是正方体外接球的直径，为正方体表面上的动点，则的取值范围是.【答案】【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积【分析】利用向量数量积的运算律可知，，进一步只需求出即可得解．【详解】由题意等于正方体的体对角线长，设点为的中点，所以，则，当点与某个侧面的中心重合时，最小，且，当点与正方体的顶点重合时，最大，且，由于点是在正方体表面连续运动，所以的取值范围是，的取值范围是．故答案为：【考点题型九】求空间向量模核心方法：【例9】（24-25高二上·河北·阶段练习）在正三棱柱中，，，，为棱上的动点，为线段上的动点，且，则线段长度的最小值为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【知识点】求空间中两点间的距离【分析】根据正三棱柱建立空间直角坐标系，设动点坐标，结合线线关系求线段的表达式，利用函数求最值即可.【详解】因为正三棱柱中，有，所以为的中点，取中点，连接，如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则，因为是棱上一动点，设，且，因为，且，所以，于是令，所以，，又函数在上为增函数，所以当时，，即线段长度的最小值为.故选：D.【变式9-1】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在棱长为的正四面体中，点与满足，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】空间向量数量积的应用【分析】以为基底，表示出，利用空间向量的数量积求模.【详解】如图：

以为基底，则，，所以.因为.所以.所以.故选：D【变式9-2】（24-25高二上·天津北辰·期中）设，向量，，且，，则.【答案】【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示【分析】根据空间向量共线与空间向量垂直的坐标运算求解.【详解】因为，所以，即，解得，又因为∥，所以存在实数使得，即，解得，所以，所以，故答案为：.【考点题型十】求空间向量模的最值（范围）核心方法：坐标法【例10】（24-25高二上·河北唐山·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为.【答案】【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示【分析】建立空间直角坐标系，根据条件利用向量法求出，再由向量模的定义求模表示为的二次函数求最值.【详解】如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，依题意，，，所以因为平面，平面，则，又，平面，故平面，故平面的法向量可取，因为平面，故，即则，因为，故当时，故答案为：【变式10-1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】B【知识点】求空间中两点间的距离、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可.【详解】三棱锥中，过作平面，由，知，以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，

由平面，得，则，令，则，设，于是，当且仅当时取等号，所以线段的最小值为.故选：B【变式10-2】（23-24高三上·四川·阶段练习）如图，在棱长为4的正方体中，E为棱BC的中点，P是底面ABCD内的一点（包含边界），且，则线段的长度的取值范围是．【答案】【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示【分析】首先利用向量垂直的坐标表示，求得点的轨迹方程，再代入两点间的距离公式，求线段长度的取值范围.【详解】以D为原点，以DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，设，则，，又，所以，即，则．当时，，设，所以点P在底面ABCD内的轨迹为一条线段AF，所以，，，当时，，当时，，所以线段的长度的取值范围是．故答案为：【考点题型十一】求空间向量夹角核心方法：夹角公式【例11】（24-25高二上·山东德州·阶段练习）已知空间向量，且，则与的夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答.【详解】向量，则，由，得，解得，，因此，，，所以与的夹角的余弦值.故选：B【变式11-1】（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）若向量，且，则的值为【答案】1【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示【分析】利用空间向量的夹角公式即可得出．【详解】因为向量，所以，，又，所以，，解得.故答案为：.【考点题型十二】空间向量夹角为锐角（钝角）核心方法：①为锐角且与不同向共线②为顿角且与不反向共线【例12】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为．【答案】【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示【分析】夹角为钝角只需满足，排除共线的情况即可.【详解】因为向量的夹角为钝角，则，解得，当共线时，由，即，解得，所以当夹角为钝角时.故答案为：.【变式12-1】（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为．【答案】【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量平行的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示【分析】根据条件，利用，且不共线，即可求出结果.【详解】因为空间向量与夹角为钝角，所以，得到，即，由，得到，此时与共线反向，夹角为，不合题意，所以实数的取值范围为，故答案为：.【变式12-2】（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若空间向量与的夹角为锐角，则x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合向量共线的坐标关系求解即得.【详解】由空间向量与的夹角为锐角，得且与不共线，于是，解得，此时，而，即与不共线，所以x的取值范围是.故选：C【考点题型十三】求投影向量核心方法：【例13】（24-25高二上·山东·期中）在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为．【答案】【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、求投影向量【分析】根据投影向量的概念以及空间向量数量积的坐标运算求解.【详解】由题，，所以，，则在方向上的投影向量的坐标为.故答案为:.【变式13-1】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知点，则向量在向量上的投影向量的模为.【答案】/【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量数量积的应用【分析】由空间向量的坐标运算得出两个向量夹角的余弦值，再算出投影向量的模.【详解】点，故，所以，所以向量在向量上的投影向量的模.故答案为：【变式13-2】（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为.【答案】/【知识点】求投影向量、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示【分析】由题意结合数量投影的坐标运算公式求解即可.【详解】由题意，，所以在方向上的数量投影为.故答案为：.【考点题型十四】空间向量平行与垂直关系核心方法：；（均非零向量）【例14-1】（江西省部分高中学校2024-2025学年高二上学期十一月联考数学试卷）已知，，，设向量，．(1)设向量，，求；(2)若，求的值．【答案】(1)3(2)【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示【分析】（1）根据向量平行求出，由向量模的公式计算得解；（2）由向量的线性运算及垂直向量的数量积坐标表示列方程得解.【详解】（1）由题意，，，，所以，解得，所以，.（2）因为，，所以，因为，所以，解得.【例14-2】（24-25高二上·广西百色·阶段练习）已知，.(1)若，分别求与的值；(2)与垂直，求.【答案】(1)，(2)或【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示【分析】（1）根据题意，设，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数、的值；（2）由题意可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值，即可得出向量的坐标.【详解】（1）解：因为，，且，设，即，即，解得，故，.（2）解：因为与垂直，则，解得，当时，；当时，.因此，或.【变式14-1】（24-25高二上·河北·期中）已知，向量，，，且，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示【分析】根据空间向量平行和垂直的坐标运算求解.【详解】因为向量，，，由，则，解得，由，则，解得，则．故选：A．【变式14-2】（多选）（24-25高二上·湖北·期中）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（

）A．B．C．若，且，则D．若且，则【答案】AC【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示【分析】利用空间向量的坐标表示，再结合空间向量的坐标运算逐项分析判断得解.【详解】由，，得，对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，由，，得，解得，C正确；对于D，由且，得，无解，D错误.故选：AC【考点题型十五】用向量证明空间中线面平行核心方法：⇔⇔【例15】（23-24高二下·甘肃天水）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，点是的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)4【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、空间位置关系的向量证明【分析】（1）解法一：设与的交点为，利用三角形的中位线证明，可证得平面.解法二：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行；（2）解法一：求出点到平面的距离，由求解即可.解法二：向量法求点到平面距离，得到棱锥的高，可求体积.【详解】（1）解法一：证明：连接与交于点，则是的中点，连接，又是的中点，则有，平面，平面，所以平面.解法二：，则有，又平面，以为原点，的正方向为轴，轴，轴的方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为n=x,y,z，有，令，则，得，于是，且平面，故平面.（2）解法一：取的中点，连接，直三棱柱中，平面，平面，故，又为的中点，则有且.由，则有，又，平面，所以平面，平面.，.解法二：在（1）的基础上，，设平面的一个法向量为，，令则，得，于是点到平面的距离为，于是.【变式15-1】（24-25高二上·陕西西安·期中）如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，.(1)证明：直线平面；(2)求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2).【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法、证明线面平行【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明与面的一个法向量垂直，即可证结论；（2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离.【详解】（1）由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系，则由，得，解得，同理，，显然面的一个法向量为，显然且面，故面（2）设面的一个法向量为，且，由，取x=1，则，所以为平面的一个法向量，又，点到平面的距离为.【变式15-2】（24-25高二上·湖北宜昌·阶段练习）长方体中，．点为中点．

(1)求证：平面(2)求证：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、线面垂直证明线线垂直【分析】（1）利用线面垂直的性质定理及判断定理即可证明；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，根据题意写出相应点的坐标，求出及平面的法向量的坐标，由，即可证明平面.【详解】（1）因为是长方体，所以平面，而平面，所以，又因为，所以侧面是正方形，因此，因为平面，所以平面﹔（2）建立如图所示的空间直角坐标系，

，，设平面的法向量为，则有，解得，因为，而平面A1DE，所以有平面.【变式15-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在斜三棱柱中，，四边形为矩形，是的中点，是与的交点．在线段上是否存在点，使得平面？【答案】存在【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】建立空间直角坐标系，设，利用，求得的坐标，然后再求出平面的法向量，利用，建立方程，解得，从而得出结论.【详解】因为，所以，因为四边形为矩形，所以，又平面,平面,所以平面，又平面，所以，因为，所以，由余弦定理得，即，所以，所以，又因为平面,平面,所以平面，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，则，，设，所以，，设平面的法向量为，则即令，则，要证平面，则，即，解得，所以，所以．故在线段上存在点，使得平面．【考点题型十六】用向量证明空间中面面平行核心方法：⇔⇔【例16】（23-24高二下·全国·课后作业）如图，在长方体中，，，.求证：平面平面.【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行；【详解】以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，则，，，.设平面的法向量为，则.取，则，，所以平面的一个法向量为.设平面的法向量为，则.取，则，，所以平面的一个法向量为.因为，即，所以平面平面.【变式16-1】（2024高一·全国·专题练习）如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4，中点为，中点为．求证：平面平面.

【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证，同理，再结合面面平行判定定理即可证明结论.【详解】以为原点，，，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图

则,0,，,1,，,0,，,0,，,1,，,1,，，，同理，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又平面平面与平面平行．【变式16-2】（24-25高二·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．求证：平面平面.【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法分别证明，，即，，再利用面面平行的判定定理即可得证.【详解】因为，是棱的中点，所以，所以为正三角形.因为为等腰梯形，，所以.取的中点，连接，则，所以.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，，，，所以，，又不重合，不重合，所以，，因为平面，平面，所以平面，平面，又，平面，所以平面平面【变式16-3】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，四边形为矩形，平面，，，，分别是，，的中点.

(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明；（2）只需证明平面的法向量与平面中的两个向量垂直即可.【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，因为四边形为矩形，所以，所以两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，

设，，.则，因为，，分别是，，的中点，所以，，，所以.因为平面的一个法向量为，所以，即.又因为平面，所以平面.（2）因为，所以，所以，又平面，所以平面.又因为，平面，所以平面平面.【考点题型十七】用向量证明空间中线面垂直核心方法：⇔⇔⇔【例17】（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．

(1)求的值；(2)求证：⊥平面．【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间位置关系的向量证明【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值；（2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直.【详解】（1）直三棱柱中，平面，又，以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

依题意得，，∴，，，，，所以；（2）求得，．∴，，，∴，，∴，，即，又平面，平面，，∴⊥平面．【变式17-1】（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）如图，在长方体中，，，，，，分别为棱，，，的中点.(1)证明：，，，四点共面；(2)若点在棱，且平面，求的长度.【答案】(1)证明见解析(2)3【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间向量垂直的坐标表示【分析】（1）连接，，，先可得到四边形为平行四边形，进而得到，结合即可得到，进而求证；（2）建立空间直角坐标系，设，结合空间向量求解即可.【详解】（1）证明：连接，，，因为，，，分别为棱，，，的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，所以，，，四点共面.（2）以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由，，，，，分别为棱，，，的中点，可得，，，，则，，设，即，则，由平面，故，即，解得，所以.【变式17-2】（24-25高二上·山东菏泽·开学考试）如图，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.(1)求的模；(2)求证：平面.【答案】(1)(2)证明见解析【知识点】证明线面垂直、空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示、空间位置关系的向量证明【分析】（1）先建立直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长；（2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可.【详解】（1）因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，所以，则.（2）依题意得、、、、，则，，，所以，，则，，即，，又因为平面，所以平面.【变式17-3】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．

【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面．【详解】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，，设平面的一个法向量为n=x,y,z则即，令，则，所以，故直线平面．【考点题型十八】证明面面垂直核心方法：⇔⇔⇔【例18】（2024高三·全国·专题练习）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，为的中点．求证：平面平面.【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明【分析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，计算的值，，即可证明平面平面.【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，则A0,0,0，，，，，，.设平面PCD的一个法向量为n1则，即，不妨令，则，，所以，设平面PAC的一个法向量为，则，即，不妨令，则，，所以，因为，所以，所以平面平面．【变式18-1】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面．【答案】证明见解析【知识点】空间位置关系的向量证明、求平面的法向量【分析】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明.【详解】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，所以．设平面的法向量为，则，即，令，可得平面的一个法向量．设平面的法向量为，则，即，令，可得平面的一个法向量．因为，所以，所以平面平面．【变式18-2】（2024高二·全国·专题练习）如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，是的中点，底面，．证明：平面平面.【答案】证明见解析【知识点】证明面面垂直、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量是，结合得到和共线，所以平面，从而得到面面垂直.【详解】证明：因为底面是边长为1的菱形，，所以⊥，如图以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，．所以，平面的一个法向量是，所以和共线，所以平面，又因为平面，故平面平面．提升训练一、单选题1．（24-25高二上·湖北省直辖县级单位·期中）如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则等于（）A． B．C． D．【答案】B【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，即可求解.【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得.故选：B.2．（24-25高二上·山东泰安·期中）设，向量，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量平行的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可.【详解】解：因为，，，所以，则，所以.又因为，且，所以，则，所以，所以，所以.故选：A.3．（福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除.【详解】由题意可知：，∴，又∵时，即时，共线，∴，∴.故选：A4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【知识点】空间向量数乘运算的几何表示【分析】连接，利用空间向量运算即可求得正确答案.【详解】连接，因为是的中点，所以，

因为底面为直角三角形的直棱柱，所以四边形为长方形，又因M，N分别是的中点，所以，则，又因，所以可得，解得，所以.故选：A.5．（云南省长水教育集团2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题）已知空间向量，，则在上的投影向量为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量模长的坐标表示【分析】由数量积的定义先求出，再由投影向量的定义求解即可.【详解】因为，，所以，所以在上的投影向量为.故选：D.6．（湖北省“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】判定空间向量共面、求点面距离【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解.【详解】如图所示，延长至点，使得所以，又由，所以四点共面，所以的最小值，即为点到平面的距离，因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，又因为，所以三棱锥为正三棱锥，取等边的中心为，连接，可得平面，所以即为点到平面的距离，在等边，因为，可得，在直角中，可得，即点到平面的距离为，所以的最小值为.故选：C7．（24-25高二上·浙江衢州·期中）已知正四面体的棱长为1，动点在平面上运动，且满足，则的值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【知识点】求空间向量的数量积、空间向量基本定理及其应用、空间向量的加减运算、用空间基底表示向量【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得.【详解】动点在平面上运动，且不共线，则存在实数，使.即，所以.又，不共面，由空间向量基本定理可知，故，解得.即.因为四面体正四面体，且棱长为.所以，.所以.故选：C.8．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可.【详解】，，，，，，，.故选：C.二、多选题9．（24-25高二上·福建厦门·期中）设是空间的一个基底，则下列说法正确的是（

）A．，，两两共面，但，，不可能共面B．若，，则C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使D．，，不一定能构成空间的一个基底【答案】AC【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、空间向量基底概念及辨析【分析】AC选项，根据基底的定义可得；B选项，，不一定垂直；D选项，判断出，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底.【详解】A选项，由基底的定义可知，，，不能共面，，，两两共面，A正确；B选项，，，但，不一定垂直，B错误；C选项，由基底的概念可知，对空间任一向量，总存在有序实数组，使，C正确；D选项，设，故，无解，故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误.故选：AC10．（24-25高二上·山西·期中）如图，在正三棱柱中，P为空间内一动点，若，则（

）A．若，则点P的轨迹为线段B．若，则点P的轨迹为线段C．存在，，使得平面D．存在，，使得平面【答案】AB【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明、判定空间向量共面【分析】由共面向量定理可得点在侧面内（含边界），利用共线向量判断AB；借助向量数量积判断CD.【详解】在正三棱柱中，由，得点在侧面内（含边界），对于A，由，得，点的轨迹为线段，A正确；对于B，由，得，则，即，又，因此点的轨迹为线段，