二次函数的图象与性质华师大版-课件

二次函数的图象与性质二次函数是数学中重要的函数类型，它在现实生活中有着广泛的应用。通过探索二次函数的图象和性质，我们可以更好地理解其特点和应用。二次函数的定义函数定义一个自变量x的二次函数是指一个包含x²项的函数，其一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。性质二次函数的图像是抛物线，开口方向取决于系数a，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。标准形式y=ax^2+bx+c二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c，其中a，b，c是常数，且a≠0。标准形式方便我们研究二次函数的性质，并找到顶点和对称轴。例如，y=2x^2+3x-1是一个二次函数，其中a=2，b=3，c=-1。二次函数的图象二次函数的图象是一个抛物线。抛物线的形状取决于二次项系数a的正负号。当a>0时，抛物线开口向上。当a<0时，抛物线开口向下。图象的基本性质对称性二次函数的图象关于对称轴对称。对称轴是一条垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/2a。单调性二次函数的图象在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。单调递增表示当x值增大时，y值也随之增大；单调递减表示当x值增大时，y值随之减小。开口和顶点开口方向二次函数图象开口向上还是向下取决于系数a的符号.顶点位置顶点是二次函数图象的最高点或最低点，其横坐标为-b/2a.顶点坐标顶点坐标是二次函数图象的最高点或最低点，其坐标为(-b/2a,f(-b/2a)).顶点坐标的求法二次函数顶点坐标的求法是找到函数图象上最低点或最高点的坐标.可以使用配方法或公式法来求解.1配方法将函数表达式配成顶点式2公式法直接代入公式3顶点式求出顶点坐标对称轴的性质对称轴将抛物线分成两个完全相同的部分.顶点抛物线顶点始终位于对称轴上.重要性质对称轴上的点到抛物线上任意一点的距离相等.图象的平移和伸缩平移将抛物线y=ax^2的图象沿y轴方向向上或向下平移|k|个单位，得到y=ax^2+k的图象。伸缩将抛物线y=ax^2的图象沿y轴方向伸缩|k|倍，得到y=k*ax^2的图象。综合运用将抛物线y=ax^2的图象沿y轴方向平移|k|个单位，再沿y轴方向伸缩|m|倍，得到y=m*ax^2+k的图象。单调性和极值单调性二次函数的单调性是指函数值随自变量的变化而变化的趋势。当自变量在某个区间内增大时，函数值也随之增大，则称函数在这个区间内单调递增；反之，则称函数在这个区间内单调递减。极值二次函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。二次函数的极值与函数的开口方向有关。当函数开口向上时，极值为最小值；当函数开口向下时，极值为最大值。确定极值可以通过求导或配方法确定二次函数的极值。求导法可以得到函数的导数，将导数等于零，即可得到极值点的横坐标，然后代入原函数即可求得极值。二次函数的单调性递增当自变量的值增大时，函数的值也随之增大。递减当自变量的值增大时，函数的值随之减小。对称轴二次函数图象关于对称轴对称，对称轴左侧递减，右侧递增。二次函数的极值极大值当二次函数的开口向上时，顶点处取得最小值。当二次函数的开口向下时，顶点处取得最大值。求极值方法求二次函数的极值，可以使用公式法或配方法，求出顶点坐标，即可得到极值。二次函数的图象与性质二次函数的图象是抛物线，其性质决定了抛物线的形状、位置和方向。理解二次函数的图象与性质，是掌握二次函数应用的关键。零点和根二次函数的零点是指使二次函数值为零的自变量的值，即方程ax^2+bx+c=0的根。图形意义二次函数的零点对应于抛物线与x轴的交点，也就是函数图像与x轴的交点的横坐标。二次函数的零点定义二次函数的零点是指使函数值为零的自变量的值。也就是说，当函数的图象与x轴相交时，交点的横坐标就是二次函数的零点。求解求解二次函数的零点，实际上就是求解方程y=ax^2+bx+c=0的根。可以通过因式分解、配方法、公式法等方法来求解。意义二次函数的零点在实际问题中有着广泛的应用，例如，它可以用来求解物体抛射的运动轨迹、计算经济效益的最高点等。零点的个数二次函数的图象与x轴的交点称为函数的零点，也称为方程的根。二次函数的零点个数取决于二次函数的判别式（Δ）的值：如果Δ>0，则二次函数有两个不同的零点；如果Δ=0，则二次函数有一个重根，即只有一个零点；如果Δ<0，则二次函数没有零点。根的性质11.根的意义二次函数的根是指使函数值为零的自变量的值。22.根的个数二次函数的根的个数与判别式Δ的符号有关，Δ>0时有两个不同的根，Δ=0时有一个根，Δ<0时没有实数根。33.根与系数的关系二次函数的根与系数之间存在着维埃特定理，即两个根之和等于-b/a，两个根之积等于c/a。44.根的应用二次函数的根在求解应用问题中扮演着重要角色，例如求解最大值、最小值、零点等问题。应用问题将二次函数的性质应用于实际问题中帮助解决实际生活中遇到的问题求解应用问题的步骤11.理解问题仔细阅读问题，弄清楚问题中所描述的实际情景。22.建立模型将实际问题转化为数学模型，利用二次函数的性质和公式进行描述。33.解決模型利用数学方法求解模型，找到问题的解。44.验证答案将所得的解代入原问题进行验证，确保答案符合实际情况。55.答题根据问题的要求，用简洁、准确的语言写出答案。实例1：最大面积问题假设有一块矩形土地，要围成一个长方形花园。已知周长为定值，如何设计花园的尺寸才能使面积最大？可以用二次函数的性质来解决该问题，通过求函数的极值点，即可确定最大面积花园的尺寸。实例2：最大利润问题利润最大化是企业经营的目标之一。利用二次函数的性质，可以求解最大利润，找到最佳生产方案。例如，已知某种商品的销售价格、生产成本和产量之间的关系，可以建立一个二次函数模型来描述利润与产量的关系，并求出最大利润和对应的产量。实例3：抛物线运动问题足球运动足球运动员踢球时，球的运动轨迹通常呈抛物线形状。跳水运动跳水运动员从跳台上跳下，其运动轨迹也是抛物线。炮弹发射炮弹发射后，其运动轨迹也呈抛物线。实例4：几何问题二次函数与几何图形密切相关，例如，抛物线就是二次函数的图像。运用二次函数的性质，可以解决许多几何问题，例如，求三角形的面积、圆的方程等。总结11.图象性质二次函数图象开口方向，对称轴位置，顶点坐标，单调性等性质.22.应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域.33.学习方法理解概念，掌握公式，注重练习，灵活运用.44.知识拓展深入了解二次函数与其他数学知识的联系.二次函数的性质开口方向二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于系数a的正负。顶点坐标顶点坐标是抛物线的最高点或最低点，可以通过公式计算得出。对称轴抛物线关于对称轴对称，对称轴的方程可以根据顶点坐标求得。单调性二次函数的图象在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。二次函数的应用生活中的应用二次函数广泛应用于生活，例如计算抛物线运动的轨迹、确定最大利润等。工程建设建筑师利用二次函数设计拱桥、建筑物的曲线部分，提升结构的稳定性和美观性。课后练习为了巩固所学知识，课后练习十分重要。练习题涵盖了二次函数的基本概念、图象性质、应用等方面，帮助学生更好地理解和掌握知识点。通过练习，学生可以发现学习中存在的不足，并及时进行弥补。此外，练习还可以培养学生