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第七章数列第五节数列求和(二)·考试要求·1．掌握等差、等比数列的求和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的常用方法，如裂项相消法求和、错位相减法求和等．必备知识落实“四基”

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2．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n-2＋2n-1的结果是(

)A．2n+1＋n－2 B．2n+1－n＋2C．2n－n－2 D．2n+1－n－2D

解析：由Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n-2＋2n-1①，得2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n-1＋2n②，①－②，得－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n+1，所以Sn＝2n+1－n－2.√

核心回扣1．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法．2．一般形式：通项公式形如anbn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列的数列适用错位相减法求和．注意点：(1)求和时注意格式，错位书写、错位对齐，不要因为书写混乱导致相减错误；(2)和式两边同乘等比数列的公比．

核心考点提升“四能”

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(2)(2024·成都模拟)已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a3－1是a1和a8＋1的等比中项．①求数列{an}的通项公式；解：由题意，得(a3－1)2＝a1·(a8＋1)，且公差为2，则(a1＋3)2＝a1·(a1＋15)，解得a1＝1，则an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.

裂项相消法的原则及规律(1)裂项原则：一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2，a3是a1，a11的等比中项．(1)求{an}的通项公式；解：设{an}的公差为d，因为a1＝2，a3是a1，a11的等比中项，所以(2＋2d)2＝2(2＋10d)，所以d2－3d＝0.因为d≠0，所以d＝3，故an＝2＋3(n－1)＝3n－1.

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(2)在等差数列{an}中，已知a1＝1，公差d>0，其前n项和Sn满足4Sn＝n(an＋

an＋1)．①求数列{an}的通项公式；解：根据题意，当n＝1时，4S1＝4a1＝a1＋a2，又a1＝1，则4＝1＋a2，解得a2＝3.所以等差数列{an}的公差d＝a2－a1＝3－1＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

错位相减法求和时的注意点(1)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．(2)应用等比数列求和公式时必

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