2024成都中考数学一轮复习专题 图形的旋转 (含解析)

2024成都中考数学一轮复习专题图形的旋转

一、单选题

1.（2023・江苏无锡•统考中考真题）如图，「ABC中，N84C=55。，将A8C逆时针旋转。（0°＜。＜55。）,得

到VADE,DE交AC于F.当a=40。时，点。恰好落在BC上，此时/4FE等于（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

2.（2023・天津•统考中考真题）如图，把ABC以点A为中心逆时针旋转得到VAO以点&2的对应点分

别是点。，E,且点E在6c的延长线上，连接80,则下列结论一定正确的是（）

A.4CAE=4BEDB.AB=AEC.ZACE=ZADED.CE=BD

3.12023•四川宜宾・统考中考真题）如图，A8C和ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，ADE

以A为中心顺时针旋转，点M为射线B。、CE的交点.若AB=6,AD=l.以下结论：

①BD=CE；②8O_LCE：

③当点E在84的延长线上时，MC=±二叵；

2

④在旋转过程中，当线段痴最短时，M8C的面积为

其中正确结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.12023•山东聊城•统考中考真题）如图，已知等腰直角ABC,ZACB=90°,AB=6，点、C是矩形ECGF

与ABC的公共顶点，且8=1,CG=3：点。是C8延长线上一点，且CT>=2.连接8G,DF,在矩形ECGF

绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段8G达到最长和最短时，线段。尸对应的长度分别为m和〃，

则”的值为（)

c.MD.x/13

二、填空题

5.（2023•江苏连云港•统考中考真题）以正五边形A3CQE的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得

新五边形AECDE的顶点庾落在直线8c上，则正五边A8CDE旋转的度数至少为

6.（2023・湖南张家界•统考中考真题）如图，AO为/B4C的平分线，且NBAC=50。，将四边形A8OC绕

点A逆时针方向旋转后，得到四边形4TO。，且NO47W00。，则四边形ABOC旋转的角度是,

7.（2023•湖南常德・统考中考真题）如图1,在RtZ\A8C中，ZABC=90°,AB=8,BC=6,。是A8上一

点，且AZ）=2,过点。作。E〃BC交AC于后将VAD七绕A点顺时针旋转到图2的位置.则图2中空

CE

的值为.

8.（2023・江苏无锡•统考中考真题）己知曲线C、G分别是函数）=一2£。<0），>'=k々（%>。，1>0）的图像，边

XX

长为6的正M8c的顶点A在y轴正半轴上，顶点8、C在X轴二（8在C的左侧），现将48c绕原点。顺

时针旋转，当点3在曲线C1上时，点A恰好在曲线C?上，则A的值为.

9.（2023・辽宁・统考中考真题）如图，线段A8=8,点C是线段A8上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋转

12。。得到线段8。，连接C7）,在48的上方作RWE,使NDCE=90,NE=30,点尸为。后的中点，连接

AF,当A尸最小时，A778的面积为.

10.（2023・江西・统考中考真题）如图，在YA8C。中，/8=60。，BC=2AB,将48绕点A逆时针旋转角。

（0。<^<360。）得到4P,连接PC,PD.当；尸CQ为直角三角形时，旋转角。的度数为.

11.（2023・上海.统考中考真题）如图，在“2C中,ZC=35°,将48c绕着点A旋转a（00<a<180。）,

旋转后的点8落在8c上，点3的对应点为。，连接ADAO是N84C的角平分线，则。=.

c

12.（2023•湖南郴州•统考中考真题）如图，在RtZXABC中，ZMC=90°,AB=3cm,ZB=60°.将从BC

绕点A逆时针旋转，得到△48'C,若点8的对应点*恰好落在线段上，则点C的运动路径长是

cm（结果用含乃的式子表不）.

13.（2023・内蒙古・统考中考真题）如图，在RtZSABC中，4C8=90。,AC=3,8。=1,将一ABC绕点A逆

An

时针方向旋转90。，得到△A&C,连接BB',交AC于点D,则工;的值为.

14.（2023•黑龙江绥化•统考中考真题）已知等腰AABC,ZA=120°,AB=2.现将以点3为旋转中

心旋转45。，得到△A8C,延长CA'交直线8C于点D则AO的长度为.

15.（2023•浙江嘉兴•统考中考真题）一副三角板48C和/无产中，

ZC=ZD=90°,ZB=30°,ZE=45°,BC=EF=12.将它们叠合在一起，边与放重合，CD与44相

交于点G（如图I）,此时线段CG的长是___________,现将一尸绕点QF）按顺时针方向旋转（如图2）,

边M与A8相交于点H,连结在旋转（）。至IJ60。的过程中，线段扫过的面积是___________.

三、解答题

16.（2023•北京・统考中考真题）在乂BC中、Z^=ZC=a（0°<a<45°）,/\M_L8C于点M,O是线段

上的动点（不与点M,。重合），将线段0M绕点。顺时针旋转2a得到线段。石.

A

4DC

图2

（1）如图1,当点E在线段4c上时，求证：。是MC的中点;

（2）如图2,若在线段8M上存在点尸（不与点从何重合）满足=£心，连接AE,EF,直接写出律

的大小，并证明.

17.（2023・四川自贡•统考中考真题）如图1,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，N分别是斜

（1）珞6石绕顶点C旋转一周，请直接写出点用，N距离的最大值和最小值;

⑵瘠CD&绕顶点C逆时针旋转120。（如图2）,求例N的长.

18.(2023・四川达州•统考中考真题)如图，网格中每个小正方形的边长均为1,A8C的顶点均在小正方形

的格点上.

(1)洛A8C向下平移3个单位长度得到到G，画出△A/G；

(2)洛A8c绕点C顺时针旋转90度得到△人与G，画出△&优G;

(3)在(2)的运动过程中请计算出扫过的面积.

19.(2023•辽宁•统考中考真题)在RIA4BC中，NACB=90。，C4=CB,点。为A4的中点，点。在直线力/6

上(不与点4B重合)，连接CD,线段CO绕点C逆时针旋转90。，得到线段CE,过点“作直线

过点E作EFJJ,垂足为点尸，直线律交直线OC于点G.

⑴如图，当点。与点。重合时，请直接写出线段AO与线段E/的数量关系；

(2)如图，当点。在线段44上时，求证：CG+BD=yfiBC；

⑶连接。E,CDE的面积记为S,A8C的面积记为其，当£":3。=1:3时，请直接写出卷的值.

20.（2023•四川乐山・统考中考真题）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活

动

【问题情境】

刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第⑵虫“探索”部分内容：

如图，将一个三角形纸板ABC绕点A逆时针旋转。到达△AB'C的位置，那么可以得到：=

AC=AC,BC=B^CxN84C=N82C,ZABC=ZABC,NAC3=ZAC5（）

刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即‘'变''中蕴含着“不变”，这是我们解决图

形旋转的关键；故数学就是一门哲学.

【问题解决】

（1）上述问题情境中“（）”处应填理由：；

（2）如图，小王将一个半径为4cm,圆心角为60。的扇形纸板八8c绕点。逆时针旋转90。到达扇形纸板

A'B'C的位置.

①请在图中作出点O；

②如果88三6cm,则在旋转过程中，点A经过的路径长为；

【问题拓展】

小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另

一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是

多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题.

R

21.(2023・浙江绍兴•统考中考真题)在平行四边形4BCO中(顶点4,£C,。按逆时针方向排列),

4

AB=12,4O=10,/8为锐角，且$inB=g.

(1)如图1,求边上的高CH的长.

(2)P是边A5上的一动点，点CQ同时绕点尸按逆时针方向旋转90。得点U。'.

①如图2,当点。'落在射线C4上时，求8P的长.

②当△47。是直角三角形时，求8P的长.

22.(2023•四川南充•统考中考真题)如图，正方形A8CO中，点M在边BC上,点E是AM的中点，连接即,

EC.

(1)求证：ED=EC；

⑵洛班・绕点E逆时针旋转，使点3的对应点B'落在AC上，连接当点“在边8c上运动时(点M不

与8,。重合)，判断,.CM厅的形状，并说明理由.

⑶在(2)的条件下，已知A6=l,当NOEB，=45。时，求8M的长.

23.(2023•江苏扬州•统考中考真题)【问题情境】

在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30。的三角板开展数学探究活动，两块三角板

分别记作二ADB和AA'DC,ZADB=ZA'O'C=90。,ZB=ZC=30°,设AB=2.

【操作探究】

如图1,先将.ADB和▲A'O'C的边A。、AD重合，再将"A'D'C绕着点A按摩时H•方向旋转，旋转角为

cr(0°<«<360°),旋转过程中一4)8保持不动，连接8C.

(2)当。=90。时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3)如图2,取的中点F,将aA'O'C绕着点A旋转一周，点尸的运动路径长为

24.（2023•湖南•统考中考真题）⑴［问题探究］

如图1,在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.在线段40上任取一点P（端点除外）,连接PD、PB.

②将线段。P绕点P逆时针旋转，使点。落在始的延长线上的点Q处.当点P在线段AO上的位置发生变

化时，NQP。的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由.

（2）［迁移探究］

如图2,将正方形ABC。换成菱形A8CQ,旦NAAC=60。，其他条件不变.试探究AQ与CP的数量关系,

并说明理由.

图2

25.(2023•湖北随州•统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一

条直线上的三个点A,&C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家

托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点''或"托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营''问题.

(I)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当48c的三个内角均小于120。时，

如图1,将△APC绕,点C顺时针旋转60。得到.WPC,连接PP',

由PC=〃C,NPC产=60。，可知户为①一三角形,故PP=PC,又=故

PA+PB+PC=PA!+PB+PP1>AI3,

由②可知,当8,Ptp,A在同一条直线上时，A4+依+PC取最小值，如图2,最小值为A8,此时

的P点为该三角形的“费马点”，且有NAPC=N5PC=NA"=W_；

已知当A8C有一个内角大于或等于12()。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若/朋CN120。，

则该三角形的“费马点”为应点.

(2)如图4,在二ABC"三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,己知点P为“的"费

马点”，求Q4+PB+PC的值；

(3)如图5,设村庄A,B,。的连线构成一个三角形,且已知AC=4km,BC=25/3km,ZACB=60°.现欲

建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆,已知由中转站P至IJ村庄A,B,C的铺设成本分别为。

元/km,。元/km,亿元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果

用含。的式子表示)

26.(2023•四川•统考中考真题)如图1,已知线段AB,AC,线段AC绕点A在直线上方旋转,连接5C,

以BC为边在8C上方作RlBDC,且NP8C=300.

(1)若/8口090°,以A8为边在A8上方作RtZ\84£,且N4m=90。，ZEfiA=30°,连接OE,用等式表

示线段AC与OE的数量关系是；

(2)如图2,在(1)的条件下，若DEJLAB,AB=4,AC=2,求8c的长；

(3)如图3,若NBCQ=90。，AB=4,AC=2,当AO的值最大时，求此时tan/CBA的值.

27.(2023・湖北黄冈•统考中考真题)【问题呈现】

△C44和CDE都是直角三角形，NACB=NDCE=90o,CB=?nCA,CE=mCD,连接AO,BE,探窕AO,

庭的位置关系.

⑴如图I,当〃?=1时，直接写出AO,踮的位置关系：:

(2)如图2,当〃?工1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展应用1

(3)当〃?=G,AB=4x/7,DE=4时，将.•(、£＞石绕点C旋转，使AD,E三点恰好在同一直线上，求应:的长.

28.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45。角的三

角尺放在正方形A8CQ中，使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点。旋转三角尺时，45。角的两

边CM,CN始终与正方形的边A。，A8所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得.CMN.

【探究一】如图②，把VCOM绕点C逆时针旋转90。得到..C8H,同时得到点〃在直线A8上.求证：

/CNM=NCNH；

【探究二】在图②中，连接出），分别交CM，CN于点£,F.求证：ACEFsACNM；

【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线4。与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连

FF

接AC交8。于点。，求总的值.

NM

29.（2023・湖南・统考中考真题）问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：

在正方形48co的边8c上任意取一点G,以BG为边长向外作正方形8EFG,将正方形BEAG绕点B顺时针

图①图②图③

特例感知:

(1)当8G在8c上时，连接OFAC相交于点P,小红发现点尸恰为。产的中点，如图①.针对小红发现

的结论，请给出证明；

(2)小红继续连接EG,并延长与。尸相交，发现交点恰好也是。尸中点P，如图②，根据小红发现的结论，

请判断VA依的形状，并说明理由；

规律探究：

(3)如图③，将正方形3MG绕点8顺时针旋转。，连接OQ点。是。尸中点，连接”，EP,AE,NAPE

的形状是否发生改变？请说明理由.

30.(2023・贵州・统考中考真题)如图①，小红在学习了二角形相关知识后，对等腰直角二角形进行了探究,

在等腰直角三角形ABC中，C4=Cfi,ZC=90",过点3作射线BO_ZA4,垂足为9,点尸在CA上.

图③

如图②，若点尸在线段C8上，画出射线Q4,并将射线/>4绕点P逆时针旋转90。与8。交于点E,根据题意

在图中画出图形，图中NP5E的度数为.度;

(2)【问题探究】

根据(1)所画图形，探究线段以与庄的数量关系，并说明理由;

(3)【拓展延伸】

如图③，若点。在射线a上移动，将射线Q4绕点。逆时针旋转90。与8。交于点E,探究线段利研/石之

间的数最关系，并说明理由.

参考答案

一、单选题

1.【答案】B

【分析】根据旋转可得"=/4用=4小，再结合旋转角仪=40。即可求解.

【详解】解：由旋转性质可得：NB4C=ZZME=55。，A13=AD,

Va=40°,

/.ZZMF=15°,NB=ZADB=ZADE=70。，

・•・ZAFE=ZDAF+ZADE=85°,

故选：B.

【点拨】本题考查了几何一旋转问题，掌握旋转的性质是关键.

2.【答案】A

【分析】根据旋转的性质即可解答.

【详解】根据题意，由旋转的性质，

可得=AC=AE,BC=DE,故B选项和D选项不符合题意,

ZABC=ZADE

^\CE=ABC+1BAC

^\CE=ADE+?BAC,故C选项不符合题意,

伊C8=AED

・徐CB=C4E+?CEA

•饱ED=CEA+?BED

WAE=BED,故A选项符合题意,

故选：A.

【点拨】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键.

3.【答案】D

【分析】证明,84度..C4E即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明N3CMs/£C4得出

MCV3-I

,即可判断③；以A为圆心，A。为半径画圆，当CE在A的下方与相切时，A始的值最

小，可得四边形ARWD是正方形，在RtMBC中MC=[BC2—MB2=血+1，然后根据三角形的面积公式

即可判断④.

【详解】解：:A8C和,ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形,

,BA=。,DA=EA,N84C=NDAE=90°,

・•・ABAD=ZCAE,

・•・BAD^CAE,

ZABD=ZACE,BD=CE,故①正确；

设乙43£>=NACE=a,

NDBC=450-a,

J/EMB=NDBC+4BCM=NDBC+4BCA+ZACE=450-a+45。+a=90°,

・•・BD1CE,故②正确：

当点石在明的延长线上时，如图所示

3CM=NECA,ZDMC=ZE4C=90°,

/DCMs/ECA

,MCCD

**AC=£C

VAB=V3,AD=\.

：-CD=AC-AD=^-\,CE=^AE2+AC2=2

.MCV3-1

・飞二丁

，杨。=土］叵，故③正确；

2

④如图所示，以A为圆心，AO为半径画圆,

•I/BMC=90。,

・••当CE在：A的下方与：A相切时，MB的值最小，ZADM=ADAE=ZAEM=90°

，四边形AEMO是矩形，

又AE=AD,

:.四边形是正方形，

***MD=AE=1,

,:BD=EC=y]AC2-AE2=72»

:.MB=BD-MD=4i-\，

在RlMBC中,MC=dBC2-MB。

取得最小值时，MC=ylAI32+AC2-MB2=^3+3-(V2-lf=6+1

•••^,Wc=1^xMC=l(V2-l)(x/2+l)=l

故④正确，

故选：D.

【点拨】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形

的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

4.【答案】D

【分析】根据锐角三角函数可求得AC=8C=1,当线段8G达到最长时，此时点G在点。的下方，且6,C,

G三点共线，求得8G=4,DG=5,根据勾股定理求得。尸=疡，即〃?=伍，当线段BG达到最短时,

此时点G在点。的上方，且3,C,G三点共线，则灰；=2,7X7=1,根据勾股定理求得叱=应，即〃=夜，

即可求得'=JR.

n

【详解】•・•A8C为等腰直角三角形，=AAC=BC=ABsin45°=x/2x^=l,

2

当线段8G达到最长时，此时点G在点C的下方，且“，C,G三点共线，如图:

D

则BG=BC+CG=4,DG=DB+BG=5,

在RtZ\OG产中，DF=ylDG?+GF2=后+尸=病，

BPm=>/26,

当线段5G达到最短时，此时点G在点C的上方，且8,C,G三点共线，如图:

则BG=CG-BC=2,DG=BG-DB=\,

在Rl^OG尸中，DF=\lDG2+GF2=V12+12=V2»

即八=正，

故里一华一万，

故选：D.

【点拨】本题考查了锐角三角函数，勾股定理等，根据旋转推出线段BG最长和最短时的位置是解题的关键.

二、填空题

5.【答案】72

【分析】依据正五边形的外角性质，即可得到的度数，进而得出旋转的角度.

【详解】解：•・•五边形是正五边形，

AZZ)CF=36()°^-5=72°,

・••新五边形A*C£>'£的顶点D0落在直线BC上,则旋转的最小角度是72。，

故答案为：72.

【点拨】本题主要考查了正多边形、旋转性质，关键是掌握正多边形的外角和公式的运用.

6.【答案】75°

【分析】根据角平分线的性质可得N3AO=NOAC=25。，根据旋转的性质可得N3AC=zJTAC=50。,

ZB,AO=ZO,AC=25°,求得NQ4O=75。，即可求得旋转的角度.

【详解】YAO为N84。的平分线，ZBAC=50°,

二NB4O=NQ4C=25。，

•・•将四边形ABOC绕点A逆时针方向旋转后，得到四边形ABVC,

2BAC=ZB'AC=50°，NK'AO="AC=25°，

：.Z.OA(y=Z.OAC-Z(7AC=l(X)°-25°=75°,

故答案为：75°.

【点拨】本题考查了角平分线的性质，旋转的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键.

4

7.【答案】y

【分析】首先根据勾股定理得到AC=JAB2+BC2=10,然后证明出△ADESAABC,得到笠，进

ADAC

AnAR

而得到k就.然后证明出ABD-ACE,利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】•・•在RtZ\ABC中，ZA«C=90°,A〃=8,BC=6,

・•・AC=y[ABr+BC2=10

■:DE//BC

・・・ZA£>E=ZA3C=90。，ZAED=ZACB

・•・l\ADEs4ABe

.ADAE

**AB-AC

.ADAB

*'~\E~~AC

*/£BAC=^DAE

・•・ABAC+ACAD=ZDAE+ZCAD

・•・4AD=/CAE

・•・ABD〜ACE

.KD84

**CD-7C_1O-5

4

故答案为：—.

【点拨】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理.

8.【答案】6

【分析】画出变换后的图像即可（画.AO3即可），当点人在丁加上，点8、C在x轴上时，根据ABC为等

OB1

边三角形且AO/BC,nf—=—f=,过点A、3分别作x轴垂线构造相似，贝LAR9sOEA,根据相似

URy3

三角形的性质得出S~0E=3,进而根据反比例函数k的几何意义，即可求解.

【洋解】当点A在丁轴上，点8、C在％轴上时，连接AO,

ABC为等边三角形且AOIBC,则NB4O=30°,

tanZBAO=tan30°二丝=正，

OA3

如图所示，过点4A分别作入釉的垂线，交人轴分别于点日尸，

AO±BO,NBFO=ZAEO=ZAOB=90。,

•••ABOF=90。-ZAOE=ZEAO,

：.BFOSOEA,

SAOE【川3,

【点拨】本题考查了反比例函数的性质，k的几何意义，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相

似三角形是解题关键.

9.【答案】百

【分析】连接CF,BF,BF,⑦交于点尸，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得M垂直平分CF,

45/=60。为定角，可得点尸在射线3/上运动，当时，的最小，由含30度角直角三角形的性

质即可求解.

【详解】解：连接Cr,BF,BF,CD交于y、P,如图，

VZDCE=90,点尸为OE的中点，

/.FC=FD,

VZE=30,

J/FDC=60。，

・•・。尸8是等边三角形，

:.NDFC=4FCD=60。；

♦：线段BC绕点B顺时针旋转120。得到线段BD,

/.BC=BD,

•/FC=FD,

垂直平分NA8/=60。，

，点尸在射线B尸上运动，

，当'时，质最小，

此时ZMB=90°-NABF=30°,

:.BF=-AB=4；

2

,?土BFC=-NDFC=30°,

2

・•・Z.FCB=NBFC+ZABF=90°,

:.BC=、BF=2,

2

•・•PB^-BC=\,

2

工由勾股定理得。C=1以3-/寄=6，

:・CD=2PC=2S

・，・4=；SPB=：x26x1=6

故答案为：&.

【点拨】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平

分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点尸的运动路径是关键与难点.

10.【答案】90。或270。或180。

【分析】连接AC,根据已知条件可得N84C=90。，进而分类讨论即可求解.

【详解】解：连接AC,取8。的中点E,连接AE,如图所示，

•・•在YA8C。中，N8=60。，BC=2AB,

：.BE=CE=-BC=AB

2f

••・一/WE是等边三角形，

/.^BAE=ZAEB=(^°,AE=BE,

/.AE=EC

，ZE4C=NECA=-ZAEB=30°,

2

，Zf?AC=90°

AACLCD,

如图所示，当点。在AC上时，此时N8"=/B4C=90。，则旋转角a的度数为90。,

当点P在C4的延长线上时，如图所示，则a=360。-90。=270。

当。在班的延长线上时，则旋转角”的度数为18()。，如图所示,

VPA=PB=CD.PB//CD,

，四边形尸AC。是平行四边形，

*/AC.LAB

，四边形248是矩形，

/.ZPZX?=90°

即△2£心是直角三角形，

综上所述，旋转角。的度数为90。或270。或180。

故答案为；伙)。或270。或180。.

【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性

质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

11.【答案】（产）。

【分析】如图，AB=AD,4BAD=a,根据角平分线的定义可得NC4£>==a,根据三角形的外角

性质可得圮=35。+a，即得="）8=35。+。，然后根据三角形的内角和定理求解即可.

【详解】解：如图，根据题意可得：AB=AD,=

VAD是NBAC的角平分线，

:.^CAD=ZBAD=a,

VZADB=ZC+ZC4D=35°+a,AB=AD,

/.Z/?=ZADB=35°+«,

则在.ABC中，•・•NC+NC48+/8=180。，

:.35。+勿+35°+a=180。，

【点拨】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识，熟

练掌握相关图形的性质是解题的关键.

12.【答案】信

【分析】由于AC旋转到AC',故C的运动路径长是CC的圆弧长度，根据弧长公式求解即可.

【详解】以A为圆心作圆弧CC,如图所示.

则BC=244=2x3=6(cm).

，AC=\lBC2-AB2=V62-32=3x/3(cm).

由旋转性质可知，AB=AB,,又/B=60。，

是等边三角形.

/

AZJBAB=60°.

由旋转性质知，ZQtC=60°.

故弧CC的长度为：毁x2x；rxAC=fx3\/5=J5;r(cm)；

36()3

故答案为：△兀

【点拨】本题考查了含30角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键

是明确(？点的运动轨迹.

13.【答案】5

【分析】过点。作。产_L八4于点F,利用勾股定理求得48=可，根据旋转的性质可证言人84'、△。尸8是

等腰直角三角形，可得DF=M,再由=得从。=加。产，证明

AFDAC3,可得竺="，^AF=3DF,再由4尸=如-。尸，求得。尸;巫，从而求得4。=:，

BCAC42

CD=1,即可求解.

【详解】解：过点。作"_LA8J：点凡

VZACB=90°,AC=3,BC=1,

,*AB=\)32+r=\/10,

•・•将ABC绕点、A逆时针方向旋转90。得到△AB'C,

AAB=A"=痛，々43'=90°,

・•・_ABB'是等腰直角三角形,

・・・乙钻”=45。，

又；DF1AB,

・•・41犯=45。，

:.△。日8是等腰直角三角形，

/.DF=BF,

'：SADB=^xBCxAD=^xDFxABt即AD=\f\ODF,

ZC=ZAFD=90°,ZCAB=ZFADt

,AFDACB,

,即A/=3力产，

BCAC

又；AF=VlO-DF,

••DF----,

4

..„ITTA/105「八_5_1

••AD=V10x---=—,CD=3Q---------,

4222

5

A。2

-----5

c力1

-

2

【点拨】小题考查旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积，熟

练掌握相关知识是解题的关键.

14.【答案】4+26或4-26

［分析］根据题意，先求得BC=26，当ABC以点B为旋转中心逆时针旋转45。，过点8作8E_LA8交AfD

于点石，当ABC以点B为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作交8C于点尸，分别画出图形，

根据勾股定理以及旋转的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作AMJ.8c于点

•・•等腰ABC,ZBAC=120°,AB=2.

:.ZAHC=^ACB=30",

22

AAM=^AB=ltBM=CM=y/AB-AM=75,

:.BC=2。,

如图所示，当.ABC以点3为旋转中心逆时针旋转45。，过点3作8EJ_AB交A7)于点E,

•?ZBAC=120°,

AZDAfB=60°,N4'£4=30。，

在RlABE中，AE=2A8=4，BE=JAE-A®=2技

丁等腰ABC,ZBAC=120°,AB=2.

：.ZABC=^ACB=30°,

•I/BC以点8为旋转中心逆时针旋转45。，

/.乙4BA'=45。，

/.£DBE=1800-9(F-45°-30°=15°,ZA'HD=\800-45°-30°=105°

在,43。中，ZD=180°-ZZ14^-Z4,/?D=180o-60o-105o=15%

:•力=/EBD,

:.EB=ED=2。

，TO=AE+OE=4+2G，

如图所示，当48c以点3为旋转中心顺时针旋转45。，过点、D乍DF上BC交BC'于点、F,

A

:.DF=BF

在RtOCR中，ZC=30°

，DF=—FC'

3

，BC=BF+yf3BF=2yf3

/.DF=BF=3

，DC=2DF=()-2y/3

，*。=。7)-4(7=6-2>/5-2=4-25

综上所述，4。的长度为4-2月或4+26,

故答案为：4-2百或4+2右.

【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类

讨论是解题的关键.

15.【答案】6G-6&；12^-1873+18

【分析】如图1，过点G作G〃_L8C于y，根据含30。直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出

BH=6GH,GH=CH,然后由8C=12可求出G"的长，进而可得线段CG的长；如图2,将DEF绕点

。顺时针旋转60。得到DRF,阳与4B交于G-连接DQ,人。，2当户是。EF旋转0°到60。的过程

中任意位置，作DN1S于N,过点B作BM1DQ交D}D的延长线于M,首先证明C。。是等边三角形，

点。在直线A8上，然后可得线段DH扫过的面积是弓形他声的面积加上，»DB的面积，求巴力N和8M,

然后根据线段OH扫过的面积=%形卬”+5出以卬广SQD+S卬泗列式计算即可.

【详解】解：如图1,过点G作G〃_L8C于，,

C（F）

H

D

图1

*/ZABC=30°,Z1DEF=ZDFE=45°,/GHB=Z1GHC=900,

:・BH<GH,GH=CH,

*/BC=BH+CH=y/3GH+GH=\2,

GH=6>/3-6»

ACG=V2GH=V2x（6V3-6）=6x/6-6x/2；

如图2,将W?"绕点。顺时针旋转60。得到尸，五后与AR交干G，连接RD,

由旋转的性质得：NECB=NDC5=60。,CD=CDlf

・•・COR是等边三角形，

*/NA3c=30。，

ZCG.B=90°,

・・・CG=；8C,

VCEl=BC,

:.CG尸;CE「即AB垂直平分CE,,

・.・，8E是等腰直角三角形，

・••点R在直线A8上，

连接AR,2G厂是/）所旋转。。到60。的过程中任意位置，

则线段DH扫过的面积是弓形24。的面积加上.QDB的面积，

VBC=EF=\2,

，DC=DB=—BC=6x/2,

2

/.D\C=D、D=6叵,

作DN工CD1于N,则NR=NC=36

:.DN=yjD\DND：=J（6可厨=3限,

过点B作BM10,0交DQ的延长线于M,则NM=90。,

・.・卬。。=60。，ZCDB=90°,

・•・Z.BDM=180°-ZD,DC-NCDB=30°,

,BM=、BD=3网,

2

工线段O”扫过的面积=s；形皿/+S卬阳，

=S地形-Ss力+S功环,

60万・(60『i1

=--------------x6V2x3V6+-K6V2x3V2，

36022

=12^-1873+18,

故答案为：6#-6点，12^-1873+18.

图2

【点拨】本题主要考查了旋转的性质，含30。直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三

角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点。।在直线力8上是本题的突破点，

灵活运用各知识点是解题的关键.

三、解答题

16.【答案】（1）见解析

（2）乙4EF=90°,证明见解析

【分析】（1）由旋转的性质得OM=Q£,ZMDE=2a,利用三角形外角的性质求出NOEC=a=/C,可

得DE=DC,等量代换得到DM=OC即可：

(2)延长所到"使庄=£H,连接C4,AH,可得OE是V」为夕的中位线，然后求出N8二/ACH,设

DM=DE=m,CD=n,求出BF=2〃?=CH,证明ABF^ACH(SAS),得到A尸=再根据等腰三

角形三线合一证明AE_L”即可.

【洋解】(1)证明：由旋转的性质得：DM=DE,/MDE=2a,

*/NC=a,

・•・ZDEC=NMDE-/C=a,

:./C=/DEC,

:.DE=DC,

DM=DC,即。是MC的中点；

(2)NAEF=90°；

证明：如图2,延长庄到H使用=47,连接C〃，AH,

DF=DC,

・・・DE是VA%的中位线，

ADE//CH,CH=2DE,

由旋转的性质得：DM=DE,NMDE=2a,

:./FCH=2a,

,:乙B=4C=a,

:.ZACH=a,ABC是等腰三角形，

:・/B=NACH,AB=ACf

设0M=Z)E=m,CD=n,则CH=2〃?，CM=m+n,

：,DF=CD=n,

FM=DF-DM=n—tn,

*：AMIBC,

BM=CM=m+n,

/.BF=I3M-FM=m+n-(n—m)=2fn,

：・CH=BF,

AB=AC

在AABF和‘AC"中，＜NB=ZACH,

BF=CH

・•・AMmAC”(SAS),

，AF=AH,

'：FE=EH,

AAE±FH,KPZ4EF=90°.

【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及

全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键.

17.【答案】（1）最大值为3,最小值为1

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出CM,CN的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求

解；

（2）过点N作NP工MC,交MC的延长线于点P,根据旋转的性质求得ZA/GV=I2O0,进而得出Z/VCP=60°,

进而可得CP=1,勾股定理解RLNCRR【工MCP,即可求解.

【详解】（1）解：依题意，CM=gDE=1,CN=14B=2,

当〃在NC的延长线上时，M,N的距离最大，最大值为CM+CN=l+2=3,

当M在线段CN上时，M,N的距离最小，最小值为CN-CN=2-1=1；

（2）解：如图所示，过点N作NQJ.MC,交MC的延长线于点P,

•・....CDE绕顶点C逆时针旋转120。，

:.ZBCE=120°,

,/4BCN=/ECM=45。,

・•・/LMCN=ZBCM-^ECM=ZBCE=120°,

・•・Z/VCP=60°,

・•・ZCVP-300,

：,CP=-CN=\,

2

在RlCM5中，NPZNC-C产=5

在RtzMWP中，MP=MC+CP=\+\=2,

工/WZV=JN尸+M尸="

【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角

三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键.

18.【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶等

【分析】（1）先作出点AA。平移后的对应点A，司、C，然后顺次连接即可；

（2）先作出点A.8绕点C顺时针旋转90度的对■应点&,当，然后顺次连接即可；

（3）证明ABC为等腰直角三角形，求出SA8C=2ABX8C==，s_帅'（屈）

=2_,根据旋转

2

过程中ABC扫过的面积等于ABC的面积加扇形C4A的面积即可得出答案.

【详解】（1）解：作出点A.B.C平移后的对应点A，片、C,,顺次连接，则△A4G即为所求，如图所示:

(2)解：作出点44绕点C顺时针旋转90度的对应点&,生，顺次连接，则即为