组合数课件(1)高二下学期数学人教A版选择性

6.2.4组合数(1)从n个不同元素中取出m()个元素，，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.1.组合的定义：复习引入2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：排列问题组合问题若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号

表示.3.排列数的定义：类比排列数，我们引进组合数概念：组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.组合的第一个字母元素总数取出元素个数m，n所满足的条件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.例如，从3个不同元素中任取2个元素的组合数为从4个不同元素中任取3个元素的组合数为探究：组合数及其公式

“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组”，它不是一个数；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数.组合与组合数的区别：探究：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数

来求组合数

呢?从3个不同元素a,b,c中取出2个元素组合ab排列acbcabbaaccabccb观察上图，求“从3个不同元素中取出2个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到：第1步，从3个不同元素中取出2个元素作为一组，共有种不同的取法；第2步，将取出的2个元素作全排列，共有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，有以“元素相同”为标准将排列分组.从4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素组合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb观察上图，求“从4个不同元素中取出3个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到：第1步，从4个不同元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，有以“元素相同”为标准将排列分组.同样地，求“从m个不同元素中取出n个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到：第1步，从m个不同元素中取出n个元素作为一组，共有种不同的取法；第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，有这里的n,m∈N*，并且m≤n，这个公式叫做组合数公式.组合数公式：另外，我们规定所以上面的公式还可以写成归纳总结解：例1：计算：例题思考：观察（1）和（2），（3）和（4）的结果你有什么发现？（1）和（2）分别用了不同组合数公式，你对公式的选择有什么想法？课本P24对于组合数公式（1）（2）性质1：组合数的性质：一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n－m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下n－m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数

，等于从这n个元素中取出n－m个元素的组合数

，即(一种取法对应一种剩法)性质2：组合数的性质：在确定从(n+1)个不同元素中取m个元素的方法时，对于某一元素，只存在着取与不取两种可能.如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出(m-1)个元素，所以共有种取法；如果不取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取出m个元素，所以共有种取法.由分类加法计数原理，得.解：1.计算：课本P25练习证明：2.求证：课本P25例2：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？分析：根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中取出11个元素的组合问题.解：（1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为例题例2：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多秒种方式做这件事情？分析：守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题.解：教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有种选法.第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有种选法.根据分步乘法计数原理，教练员做这件事情的方法种数为解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏.反思归纳练习一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？解：从口袋内的8个球中取出3个球，(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多