湖南省永州市零陵区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

湖南省永州市零陵区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（本题共10个小题，每小题只有一个正确答案，请将正确选项填涂到答题卡上相应的位置．每小题3分，共30分）1．sin30°的值为（）A．12 B．32 C．222．若点P(1,3)在反比例函数y=kA．13 B．3 C．−3 D．3．用配方法解一元二次方程x2A．(x+6)2=28 B．(x−6)2=28 C．4．已知抛物线y=(x−3)A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x=−3C．顶点坐标为(3,−2) D．当x>3时，y随x的增大而减小5．为庆祝2023年5月30日神舟十六号成功发射，学校开展航天知识竞赛活动，经过几轮筛选，某班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差（单位：分2）如表所示，根据表中数据，要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，应选择（）甲乙丙丁平均数95989698方差2.30.61.21.9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．下列式子错误的是（）A．sin260°+cosC．cos60°=2cos30°7．如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A1,2,B2,1,C3,2，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABCA．2,4 B．4,2 C．6,4 D．5,48．如图，下列条件不能判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠1=∠2，∠B=∠D B．∠1=∠2，ABC．ABAD=ACAE=9．如图，反比例函数y=−2xx>0的图像上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在yA．1 B．2 C．4 D．810．我们知道函数y=1x+a的图象可以由反比例函数y=1①y=1x+3的图象可以由②y=1x+a的图象关于点③y=1x+a的图象关于直线④若a=4，根据图象可知，1x+4>1其中正确的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．①②④二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）11．若a:a+1=1:2，则a的值为12．为了解家庭丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班研究性学习小组的六位同学记录了自己家中一周内丢弃塑料袋的数量，结果如下（单位：个）：30，27，23，15，22，33．若该班有50名学生，请你估算本周全班同学的家里共丢弃塑料袋个．13．如图，已知斜坡AB的坡度为1:3，若铅直高度BC为150m，则坡长AB为m14．若两个相似多边形的周长分别为6cm和9cm，若较小多边形的面积为8cm2，则较大多边形的面积为15．《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高PQ=m．16．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现．在计算tan15°时，如图，∠C=90°，∠ABC=30°，BD=AB，设AC=k，则BC=3k，AB=BD=2k，CD=2+3k，所以三、解答题（本大题共9个小题，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）17．（1）解方程：x2（2）计算：3cos18．初三年级数学教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项，四项中每人只选一项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制成如图所示的扇形统计图和频数分布直方图（均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次评价中，一共抽查了______名学生；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）如果全市有80000名初三学生，那么在试卷讲评课中，“主动质疑”的初三学生约有多少人？19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(0,−1)（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．20．如图是小明家新房客厅地面，地上铺了大小相同的矩形地板砖，小明的妈妈想在靠墙ABDC处摆一组沙发，沙发的长是客厅长AB的三分之一，为了美观，沙发必须摆在矩形ABDC的中央，于是小明妈妈要把沙发摆放到CD的三等分点处．当时妈妈没有直尺，不能度量，聪明的小明灵机一动，他用一根绳索连接AH，交CD于点P，则P即是CD的三等分点．（1）请仿照小明的方法，找出线段CD的另一个三等分点；（2）请你证明：P是CD的三等分点．21．已知关于x的一元二次方程x2（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）若x1，x2是方程的两个根，且22．某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β；（2）为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往永州市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观所震撼，想知道纪念碑的高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．如图3，他们在地面的B点用测角仪测得碑顶A的仰角为35°，在C点处测得碑顶A的仰角为45°，已知BC=15m，（B，C，D在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的高AD．（sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，23．湖南农业大区零陵区土地资源丰富，近年来，该区利用农业特色资源优势，大力发展特色种植，带动农民门口致富，尤其是各种水果的种植驰名省内外．下面是一家果农所遇到的问题，请你阅读下面材料帮忙解决果农所遇到的问题.信息及素材素材一在专业种植技术人员的正确指导下，果农对纽荷尔脐橙的种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年纽荷尔脐橙平均每株产量是50千克，2022年达到了72千克，每年的增长率是相同的．素材二一般采用的是长方体包装盒．（1）任务1：求纽荷尔脐橙产量的年平均增长率；（2）任务2：为了放下适当数量的纽荷尔脐橙，现有边长为80cm的正方形纸板，将四角各裁掉一个正方形，折成无盖长方体纸盒．折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由；如果有，求出此时剪掉的正方形边长．24．定义：若x，y满足x2=4y+t，y2=4x+t且（1）请直接判断点(1,−5)是否为“和谐点”；（2）P(2,m)是“和谐点”，求m值；（3）若双曲线y=k25．【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB=mCA，CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．（1）如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：__________；（2）如图2，当m≠1时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】（3）当m=3，AB=27，DE=2时，将△CDE绕点C旋转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：sin30°=12故选A．【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30°的值．2．【答案】B【解析】【解答】解：∵点P(1,3)在反比例函数y=k∴1=k3，解得：故答案为：B.

【分析】将点P（1，3）代入y=kx(k≠0)3．【答案】D【解析】【解答】∵x2−6x+8=0，

∴x2-6x+9=1，

∴(x−3)24．【答案】A【解析】【解答】解：A、∵a=1>0，∴抛物线开口向上，结论正确，∴A符合题意；B、∵对称轴是直线x=3，结论错误，∴B不符合题意；C、∵顶点坐标为(3,2)，结论错误，∴C不符合题意；D、∵当x>3时，y随x的增大而增大，∴D不符合题意；故答案为：A．

【分析】利用抛物线的顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标及对称轴，再利用二次函数的性质和图形与系数的关系逐项分析判断即可.5．【答案】B【解析】【解答】解：∵要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，∴可以从方差角度思考，即方差越大越不稳定，方差越小，数据波动越小，越稳定，∵2.3>1.9>1.2>0.6，∴选择乙同学参赛，∵从平均数考虑，平均数越大，成绩越好，∴乙同学和丁同学成绩都最好，∵乙同学方差稳定，∴成绩又好又稳定的同学为乙，故答案为：B．

【分析】利用平均数的定义及计算方法（一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商）和方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：A、∵sin260°+cosB、∵tan30°⋅tan60°=C、∵cos60°=12,2cos30°=2×D、∵tan45°=1,sin45°故答案为：C．

【分析】先利用特殊角的三角形函数值化简，再计算即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC的位似比为2的位似图形是△A'B∴C'2×3,2×2故选：C．【分析】利用位似图形的性质解题．8．【答案】D【解析】【解答】解：A、由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，再由∠B=∠D，可证明△ABC∽△ADE，∴A不符合题意；B、由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，再由ABAC=ADAE，可证明C、由ABAD=ACAE=D、由∠1=∠2可得∠BAC=∠DAE，再由ABAD=BCDE，不可证明故答案为：D．

【分析】利用相似三角形的判定方法（①三边对应成比例的两个三角形相似，②有两组角对应相等的两个三角形相似，③两组边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似）逐项分析判断即可.9．【答案】A【解析】【解答】解：设P(x,y)，∵点P在反比例函数y=−2∴xy=−2．∵PA⊥x轴，∴S△PAB故答案为：A．

【分析】设P(x,y)，利用反比例函数k的几何意义可得xy=−2，再利用三角形的面积公式求出S△PAB10．【答案】B【解析】【解答】解：①y=1x+3的图象可以由②∵y=1x的图象关于0,0对称，当x+a=0时，x=−a，∴y=1③∵y=1x的图象关于直线y=−x对称，y=1④如图，根据图象可知，1x+4>1正确的有②③；故答案为：B．【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解，再利用函数图象的作图步骤（①列表、②描点、③用平滑的直线（或曲线）连线）作图函数图象，最后结合函数图象逐项分析判断即可.11．【答案】1【解析】【解答】解：∵a:(a+1)=1:2，∴a+1=2a，解得：a=1．故答案为：1．

【分析】利用“a:a+1=1:2”可得12．【答案】1250【解析】【解答】解：六位同学家中平均一周丢弃塑料袋：30+27+23+15+22+336则50×25=1250（个）．∴全班同学家一周共丢弃塑料袋1250个．故答案为：1250.

【分析】先利用平均数的定义及计算方法（一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商）求出一周丢弃的塑料袋，再乘以50即可.13．【答案】300【解析】【解答】解：∵斜坡AB的坡度为1:3∴BCAC∵BC为150m，∴AC=1503∴在Rt△ABC中，AB=A故答案为：300．

【分析】利用“斜坡AB的坡度为1:3”可得BC14．【答案】18【解析】【解答】解：∵若两个相似多边形的周长分别为6cm和9cm，∴两个相似多边形的周长比是6:9=2:3，∴两个相似多边形的相似比是2:3，∴两个相似多边形的面积比是4:9，∵较小多边形的面积为8cm∴较大多边形的面积为18cm故答案为：18．

【分析】利用相似多边形的性质（相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.15．【答案】6【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角∴BD∥PQ，∴△ABD∽△AQP，∴BD∵AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，∴PQ=AQ×BD故答案为：6．【分析】根据平行得到△ABD∽△AQP，然后利用相似三角形的对应边成比例解题即可．16．【答案】2【解析】【解答】解：延长CB使BD=AB，连接AD，如图所示：

在Rt△ACB中，∠C=90°,∠ABC=45°，得∠D=22.5°，设AC=BC=1，则AB=BD=2∴tan22.5°=AC故答案为：2−1．

【分析】延长CB使BD=AB，连接AD，设AC=BC=1，则AB=BD=2，再利用正切的定义可得17．【答案】解：（1）x+3x−3即：x1=3，（2）原式=3==1【解析】【分析】（1）利用直接开方法的计算方法及步骤分析求解即可.

（2）先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可.18．【答案】（1）300（2）解：讲解题目的人数：300−45+90+120将频数分布直方图补充完整如图所示．（3）解：45300×100%×80000=12000（人）【解析】【解答】（1）解：在这次评价中，一共抽查了120÷40%故答案为：300。【分析】（1）利用“专注听讲”的人数除以对应的百分比可得总人数；

（2）先利用总人数求出“讲解题目”的人数，再作出条形统计图即可；

（3）先求出“主动质疑”的百分比，再乘以80000可得答案.19．【答案】（1）解：∵y=x2+bx+c的图象经过点A0,−1，B1,2，

∴c=−11+b+c=2，

（2）解：y=x2+2x−1=x+12【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

（2）先利用配方法的计算方法及步骤将二次函数的一般式化为顶点式，再根据二次函数的顶点式直接求出其顶点坐标即可.20．【答案】（1）解：如图，∴Q为线段CD的另一个三等分点；（2）证明：根据题意得DH=2AC，∵四边形ABHG是矩形，∴AG∥BH，∴△ACP∽△HDP，∴PC∴PC∴PC∴P是CD的三等分点．【解析】【分析】（1）结合网格的特点及相似三角形的性质作出图形即可；

（2）先证出△ACP∽△HDP，再利用相似三角形的性质可得PCPD=ACHD，再求出21．【答案】（1）解：∵二元一次方程x2−3x+m−1=0有两个不相等的实数根，

∴Δ=9−4m−1=13−4m>0（2）解：∵x1，x2是方程的两个根，且x1+x2−2x1【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根；）分析可得Δ=9−4m−1=13−4m>0，再求解即可.

（2）利用一元二次方程根与系数的关系（x1+x2=-b/a；x1x222．【答案】（1）解：如图所示：

由题意知OD⊥PD

在Rt△POD中，∠D=90°，则∠P+∠POD=90°，

即α+β=90°

∴β=90°−α；

（2）解：根据题意可得：AD⊥BD，在Rt△ACD中，∠ACD=45°，

由等腰直角三角形性质得到CD=AD，

在Rt△ABD中，∠ABD=35°，

由tan∠ABD=tan35°=ADBD=ADCD+15=ADAD+15，

即0.7=ADAD+15，

解得：AD=35m，

检验：把AD=35m代入AD+15【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和及∠D=90°可得∠P+∠POD=90°，即α+β=90°，从而可得β=90°−α；

（2）先利用三角形的内角和及角的运算求出∠ABD=35°，再利用正切的定义可得tan∠ABD=tan35°=23．【答案】（1）解：设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为x，

根据题意得：50解得：x1=0.2，∴纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为20答：纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为20%（2）解：设裁掉正方形的边长为m，

根据题意得：480−2mm=−8m2+320m=−8m−202+3200，

∴当m=20时，−8【解析】【分析】（1）设纽荷尔脐橙产量的年平均增长率为x，根据“2022年达到了72千克”列出方程501+x2=72，再求解即可；

（2）设裁掉正方形的边长为m24．【答案】（1）解：∵x2=4y+t，y2=4x+t，

∴x2−4y=t，y2−4x=t，

∴x2−4y=（2）解：∵P2,m是“和谐点”，

∴22=4m+t，m2=4×2+t，

∴22−4m=t，m2−8=t，

∴22−4m=m2（3）解：设点a,b为双曲线y=kx（−3<x<−1）上的“和谐点”，

∴a2=4b+t，b2=4a+t，b=ka（−3<a<−1），

∴a2−4b=b2−4a，即a2−b2+4a−4b=0，

∴a−ba+b+4=0，

∵a≠b，

∴a+b+4=0，即b=−a−4，

∵b=ka（−3<a<−1），

∴k=ab=a−a−4=−a2−4a=−a+22+4，且−3<a<−1【解析】【分析】（1）利用“和谐点”的定义分析求解即可；

（2）利用“和谐点”的定义可得22−4m=m2−8，即m2+4m−12=0，再求出m的值即可；

（3）设点a,b为双曲线y=25．【答案】解：（1）BE⊥AD．

（2）成立；理由如下：

∵∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠DCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB=90°，

∴∠DCA=∠ECB，

∵DCCE=ACBC=1m，

∴△DCA∽△ECB，

∴∠DAC=∠CBE，

∵∠GAB+∠ABG=∠DAC+∠CAB+∠ABG，

=∠CBE+∠CAB+∠ABG

=∠CAB+∠CBA

=180°−∠ACB

=90°，

∴∠AGB=180°−90°=90°，