《电工电子技术及应用》课件-第5章

第5章一阶瞬态电路分析5.1瞬态电路的基本概念与换路定则5.2瞬态电路的三要素分析法5.3RC瞬态电路的应用5.4工程中对RL瞬态电路

“放电”的应对方法5.5RC电路的工程应用习题5

5.1瞬态电路的基本概念与换路定则

5.1.1瞬态电路的基本概念1.电路中的瞬态过程自然界许多宏观事物的运动都存在由一个稳定状态向另一个稳定状态的过渡,这一过程称为过渡过程。有些事物的过渡过程历时很长,有些事物的过渡时间较短。电路中也存在这一现象。而电路中过渡过程用时很短,几乎可以用“瞬间”来说明,因此把这一过程又称为电路的瞬态过程。处于瞬态过程的电路便是瞬态电路。

电路的接通、断开、短路、电源或电路中参数的突然改变等称为换路,而电路中的瞬态过程发生在电路换路时。究其原因,是因为电路中有储能元件(电感或电容)的存在,而宏观能量是不能跃变的,即只能连续地变化。亦即储能元件所储存能量的连续性变化产生了电路中的瞬态过程。由于换路现象,而使得电路进入瞬态过程,其原因是由于电路中存在储能元件由于换路而发生的充、放电过程。可以说,当储能元件的充、放电过程结束时,则意味着电路的瞬态过程结束,重新进入新的稳定过程。

研究电路瞬态过程中电压或电流随时间的变化规律u(

t)、i(t)及瞬态过程时间的长短称为瞬态分析。

需要注意的是,瞬态过程只是一个电路的一种状态。其电路响应是时刻变化的,不是稳定的、保持不变的。

瞬态过程在日常的生活和工作中经常遇到,如电感镇流式荧光灯就是利用电感线圈在突然断电时产生的自感高压使荧光灯启辉的,电子时间继电器是利用电容充电或放电的快慢程度来控制延时时间的,电子技术中的波形变换也是利用了瞬态电路。然而在电力电路中的大部分情况下,瞬态过程会出现过电压或过电流现象,甚至会损坏电气设备,造成严重事故。因此,分析电路的瞬态过程,目的在于掌握规律以便在工作中用其“利”,克其“弊”。

2.瞬态过程的研究方法

只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,其瞬态过程可以用一阶微分方程描述,这种电路称为一阶电路。

在瞬态过程分析中,由于电容元件和电感元件的伏安特性是微分或积分关系,所得到的电路方程是以电压、电流为变量的微分方程。对于一阶线性电路可以不必求解微分方程而利用所谓三要素进行求解,称为三要素法。

5.1.2换路定则与初始值计算

由于电路换路时,电路中的能量发生变化,这种变化只能是渐变的,而不能是跃变的,否则将使功率达到无穷大,这在实际中显然是不可能的。换路时电容和电感储存的能

量不能跃变,所以电容电压uC和电感电流iL只能连续变化,一般也不能跃变。设t=0为换路瞬间,则t=0-为换路瞬间前,t=0+便为换路瞬间后,而t→∞则表示电

路重新处于稳定状态了。

从0-到0+的换路瞬间,电容元件上的电压和电感元件中的电流不能跃变,是连续变化的,所以有

这就是换路定则。它适用的前提条件分别是在换路瞬间,电容中的电流iC有限,电感中的电压uL有限,而这一条件在一般实际情况下都是满足的。

需要注意的是,在任何时刻,电路中的电学量都必须遵守基尔霍夫定律(KCL和KVL),同时,各电路元件的伏安特性也依然成立。在换路瞬间,对于电容元件而言,其电压不能跃

变,但其电流可以跃变;对于电感元件而言,其电流不能跃变,但电压可以跃变。换句话说,在换路瞬间,除uC和iL外的其他电学量仍然满足基尔霍夫定律。

换路定则仅适用于换路瞬间。可以根据换路定则来确定t=0+时电路中电压和电流之值,即瞬态过程的初始值。确定各个电压和电流的初始值可先由t=0-的电路求出iL(0-)或uC(0-),而后由t=0+的电路在已求得的iL(0+)或uC(0+)的条件下求其他电压和电流的初始值。

在换路前,如果储能元件没有储能,那么在换路瞬间,uC(

0+)=uC(0-)=0,电容相当于短路;iL(0+)=iL(0-)=0,电感相当于开路。

例5.1.1如图5.1.1所示,t=0时开关S由b点投向a点。已知US=12V,R1=2Ω,R2=6Ω,R3=3Ω,换路前电路已是稳定状态。求换路瞬间各元件上的电压和电流。图5.1.1例5.1.1电路图

解(1)换路前:开关位于b点,电路已处于稳定状态,所以uC=0V、iL=0A,即

(2)换路:开关离开b点,移向a点。接触到a点瞬间,电路状态发生改变,即电路与直流电源接通,电路开始其瞬态过程。

根据换路定则,可知

而由换路后的电路可知

换路瞬间电路中各元件的电流、电压的变化有如下规律:

(1)直流电路中,在换路前已是稳态电路,则iC=0,电容相当于开路;uL=0,电感相当于短路。

(2)换路瞬间电容电压、电感电流不能发生跃变,但电容电流和电感电压却是可以突变的。

(3)储能元件没有储能,uC(0-)=0,iL(0-)=0,在0+时,电容元件相当于短路,电感元件相当于开路;储能元件有储能,uC(0-)=U0,iL(0-)=I0,在0+时,电容元件相当于电压为U0的恒压源,电感元件相当于电流为I0的恒流源。

通常,将电路从电源或者信号源输入的信号称为激励,也称为输入。电路在外部激励或者内部储能的作用下所产生的电压或电流称为响应,也称为输出。电路的瞬态分析就是分析电路的瞬态过程,根据激励,求电路的响应。按照产生响应的原因,可以将响应分为零输入响应、零状态响应和全响应。

(1)零输入响应。换路前,储能元件中已储存能量,换路时,外部激励为零,仅由内部储能元件中所储存的能量引起的响应,称为零输入响应。

(2)零状态响应。换路时,储能元件中所储存的能量为零时,由外部激励作用下引起的响应,称为零状态响应。

(3)全响应。换路时,储能元件中存在能量,而且又有外部激励,这种情况下引起的电路响应称为全响应。

5.1.3一阶RC电路瞬态过程简介

根据储能元件的储能状态和外部激励的有无,一阶RC电路的响应同样可以分为零输入响应、零状态响应和全响应。以下主要介绍一阶RC电路的全响应。

全响应是指既有初始储能又有外界激励产生的响应。RC电路的全响应是指电源激励和电容元件的初始电压均不为零时的响应,对应着电容从一种储能状态转换到另一种储能状态的过程,如图5.1.2所示。图5.1.2RC电路的全响应

在图5.1.2所示电路中,开关S处于位置a时,RC电路与激励(电源)U0接通,电容充电到U0,即uC(0-)=U0。

将开关S拨向位置b,进行换路。t=0,RC电路与激励(电源)U0断开,同时接通激励(电源)US,该电路的响应是由储能元件和激励US共同作用的结果,因此称为电路的全响应。

换路后,t→∞,电路达稳态,uC(∞)=US。

式(5.1.5)是一个一阶微分方程,其初始值为uC(0+)=U0(由换路公式和uC(0-)=U0而得)。根据数学相关解法,式(5.1.5)微分方程的特解为

5.1.4一阶RL电路瞬态过程简介

RL串联电路是一种常用电路,如电动机励磁绕组、电磁铁等电磁元器件都可等效为RL的串联电路。因电感是储能元件,所以,上述电磁元件在换路时也可能会产生瞬态过程。下面简要分析一阶RL电路的全响应。

在图5.1.3所示的电路中,电源电压为US,设开关S闭合时,发生换路,t=0。换路前,电路已处于稳定状态,电感上已有储能,电流为图5.1.3RL电路的全响应

式(5.1.11)和式(5.1.5)一样是一个一阶微分方程,其初始值为(由换路公式和iL(0-)=I0而得)。根据数学相关解法,式(5.1.11)微分方程的特解为

与RC电路一样,若分析复杂的RL电路的瞬态过程,可应用戴维南定理,将除电感L外的电路等效为一个含有内阻的电压源,再进行分析。

5.2瞬态电路的三要素分析法

在对RC电路与RL电路的瞬态过程进行简要分析后发现,对于式(5.1.5)而言,换路后电路处于稳定状态时的电容电压uC是定值US。如果用f(t)代替式(5.1.5)中的uC,用τ代替RC,则可得

同样对于式(5.1.11),换路后电路处于稳定状态时的电感电流iL是定值US/R。如果用f(t)代替式(5.1.11)中的iL,用τ代替L/R,则同样可得式(5.2.1)。而对于式(5.2.1),其解为

由此可见,对于RC与RL电路而言,只要求出f(0+)、f(∞)和τ这三个参数,就能确切写出uC或iL的解析表达式。

满足式(5.2.1)的电路即为一阶(最高导数)线性(常系数)电路,式(5.2.2)中的f(0+)、f(∞)和τ这三个参数称为瞬态电路的三要素。套用式(5.2.2)求解一阶线性电路的方法即是三要素法。其中f(0+)为换路后的初始值,f(∞)为换路后的稳态值,τ为时间常数。可以证明:对于可化为RC串联的电路,其时间常数为τ=R0C;对于可化为RL串联的电路,其时间常数为τ=L/R0。其中R0是化简后电路的等效电阻。

三要素法具有方便、实用和物理概念清楚等特点,是求解一阶电路常用的方法。下面介绍利用三要素法求解瞬态电路的步骤和注意事项。

(1)确定初始值f(0+)。

一阶电路响应的初始值iL(0+)和uC(0+)必须在换路前t=0-的等效电路图中进行求解,然后根据换路定则,得出iL(0+)和uC(0+);如果是其他各量的初始值,则应根据t=0+的等效电路图去进行求解(切忌不管什么量都套用换路定则)。

(2)确定稳态值f(∞)。

画出换路后稳态的等效电路,应用电路的分析方法求解电路中相应的稳态值。

(3)分离储能元件,计算时间常数τ。

一阶电路的时间常数τ应在换路后处于稳态时电路的等效电路中求解。当电路为RC一阶电路时,时间常数τ=R0C;当电路为RL一阶电路时,时间常数τ=L/R0。求解时首先将换路后处于稳态时电路的等效电路除源(所有电压源短路处理,所有电流源开路处理),然后让储能元件断开,并把断开处看作是无源二端网络的两个对外引出端,对此无源二端网络求出输入端等效电阻R0。

例5.2.1电路如图5.2.1所示。已知US=10V,R1=2kΩ,R2=3kΩ,C=20μF,t=0时开关闭合。换路前电路已处于稳态。求换路后电容上的电压uC。图5.2.1例5.2.1电路图

解电路中含有一个储能元件电容。换路后,电路从稳态过程变化到了瞬态过程,瞬态过程中,电容两端的电压处于不断变化过程中,直至电路重新达到稳定状态而停止变化。可

以利用三要素法来进行求解。

(1)求初始值uC(0+)。

换路前电路已处于稳态,可知换路前

uC(0-)=0

根据换路定则,可知电路处于瞬态过程初始时电容上的电压(也就是电容电压的初始值)为

uC(0+)=uC(0-)=0

(2)求稳态值uC(∞)。

换路后,电路达到稳态时,其等效电路如图(b)所示,则此时的uC为

(3)求时间常数τ。

由图5.2.1(a)可知,电阻R1和R2都在换路后的电路中。可利用戴维南定理把电容C以外的有源二端网络化为一个等效电压源,则图5.2.1(a)所示电路可等效成图5.2.1(c)所示电路。根据戴维南定理,其等效电阻为

例5.2.2电路如图5.2.2所示。已知US=10V,R1=2kΩ,R2=3kΩ,C1=40μF,C2=20μF,C3=20μF,t=0时开关闭合。换路前电路已处于稳态。求换路后电路中的电流i、i1和i2。图5.2.2例5.2.2电路图

解欲求电流i、i1和i2,应先求出a、b两端点之间的电压uC。可将a、b之间的电容等效为

电容等效后,图5.2.2(a)电路等效为图5.2.2(b)。图5.2.2(b)的电路及参数与图5.2.1(a)的电路及参数相同,利用例5.2.1的结果,得

根据如下各式,即可求出各电流为．

通过以上两例,我们可以看出,在用三要素法求解一阶RC电路时应注意以下几点。

(1)根据换路定则,换路前后瞬间电容上的电压保持不变。因此,电容上电压的初始值uC(0+)应由换路前瞬间的值uC(0-)来确定,其他物理量的初始值则由uC(0+)求出。

(2)若uC(0-)=U0≠0,电容元件可用恒压源代替,其值等于U0;若uC(0-)=0,电容元件视为短路。若iL(0-)=I0≠0,电感元件可用恒流源代替,其值等于I0;若iL(0-)=0,电感元件视为开路。

(3)电容上电压的稳态值uC(∞)由换路后到达稳态时的电路求得。对于直流电路来说,稳态时电容相当于开路。

(4)在一阶RC电路中,时间常数τ=RC,但是其中的电阻R和电容C是指换路后的等效值。如果换路后的电路中含有多个电阻或电容,应采用适当的方法化简,求出等效电阻、电容,然后计算时间常数。

例5.2.3电路如图5.2.3所示。已知US=12V,R1=R2=6Ω,R3=3Ω,L=1H,t=0时开关闭合。换路前电路已处于稳态。求换路后电路中R3两端的电压u3。图5.2.3例5.2.3电路图

解当开关闭合时,电路发生换路。电路处于瞬态过程。在瞬态过程中,电路各处的电流依然要符合电路元件各处的电路特性。对于电阻R3来说,其电流i3与电压u3之间必然满足欧姆定律。由于电阻R2与R3并联,同时根据基尔霍夫电流定律,可知

所以只要求得iL,就可以得到u3。

5.3RC瞬态电路的应用

微分电路和积分电路是电容元件充放电的RC电路,这种电路在不同的输出连接方式及选取不同的时间常数时,构成了输出电压波形和输入电压波形之间的特定(微分或积分)的关系。

5.3.1微分电路

图5.3.1所示RC电路中,如果输入信号是如图5.3.2(a)所示的矩形脉冲电压ui

,脉冲电压的幅值为U、宽度为t

p

,则电阻R两端输出的电压为uo=uR,电压uR的波形与电路的时间常数τ有关。当输入脉冲宽度tp一定时,改变τ和t

p的比值,电容充、放电的快慢就不同,输出电压uo的波形也就不同,如图5.3.2(b)~(e)所示。图5.3.1微分电路图5.3.2不同时间常数对应的输出波形图5.3.3RC电路在矩形脉冲作用下的瞬态过程

5.3.2积分电路

微分和积分在数学上是矛盾的两方面。同样,微分电路和积分电路也是矛盾的两个方面。若满足τ≫tp,譬如τ≫(5~10)tp,从电容上输出,便构成了积分电路,如图5.3.4所示。图5.3.4积分电路

下面分析这个电路输入电压ui

和输出电压uo之间的关系。

在图5.3.4中,t=t1瞬间,电路接通矩形脉冲信号,ui(t)由零跃变到U,电容开始充电,uC按指数规律增长。由于时间常数τ较大,因此电容C充电缓慢,uo(t)变化也缓慢,电容

上所充电压uC远未达到稳态值U时,输入信号脉冲已结束(

t=t2)。矩形脉冲由U跃变到零值,相当于短路,电容上所充电压通过电阻R放电。同样由于τ较大,电容上电压衰减缓慢,在远未衰减完时第二个脉冲又来到,重复以上过程,如图5.

3.5所示。图5.3.5RC积分电路的波形图

这样积分电路在矩形脉冲信号作用下,将输出一个锯齿波信号。τ越大,充放电越慢,所得的锯齿波电压线性度就越好。由于τ≫tp,充电时uC=uo≪uR,因此,在tp时间内可近似认为电阻电压就是输入电压,即

因而输出电压

这表明输出电压与输入电压的积分成正比,该电路称为积分电路。由此可见,RC积分电路具有两个必备条件:

(1)τ(时间常数)≫tp(脉冲宽度)。

(2)从电容C两端输出电压。

电子技术中,积分电路常用来将矩形波信号变换成锯齿波信号。

具有初始储能的电感电路,在稳态的情况下突然切断开关S,相当于在开关S两端有一个电阻

就很小,电流变化率很大,在电感线圈上产生很强的

自感应电动势eL,其极性如图5.4.1所示。

5.4工程中对RL瞬态电路“放电”的应对方法图5.4.1RL电路断开

eL和电源电压U叠加在开关S两端,这样就在开关触头之间使空气电离形成火花或电弧,延缓了电路的断开,而火花和电弧具有极高的温度,可能使开关损坏,甚至危及工作人员的安全。同时出现过高的自感电动势,也可能将线圈的绝缘材料击穿损坏。

为了防止这种危害,可在线圈两端并接一适当阻值的电阻R0(称为泄放电阻),使τ适当地增大,如图5.4.2(a)所示;或在线圈两端并以适当电容C,以吸收突然断开电感时释放的能量,如图5.4.2(b)所示;或用二极管与线圈并联(称为续流二极管)提供放电回路,使电感所储存的能量消耗在自身的电阻中,如图5.4.2(c)所示。图5.4.2防止RL电路突然断开产生的高电压

5.5RC电路的工程应用

热敏电阻阻值随温度变化而显著变化,能直接将温度的变化转换为电量的变化。可以利用这一特点应用热敏电阻对温度进行测量。热敏电阻的温度特性如图5.5.1所示。图5.5.1热敏电阻的温度特性

对于负温度系数的热敏电阻,其温度与电阻的关系可以表示为

式中,RT、R0分别为温度T和T0时的阻值;B为热敏电阻的材料常数。记

则由式(5.5.1)得

可见αT随着温度降低而迅速增大。由图5.5.1可以看到,热敏电阻的阻值与温度不是线性关系。这对利用热敏电阻进行温度的测量带来了一定麻烦。

利用温度电压转换电路可以将热敏电阻与温度之间的非线性关系进行调整,使其非线性关系得到一定的改善。图5.

5.2是一个温度频率转换电路,该电路利用RC充放电过程的指数函数和热敏电阻的指数函数相比较的方法改善热敏电阻的非线性。图5.5.2温度频率转换器电路图

转换器电路由温度电压转换电路(A1~A3)、RC充放电电路、电压比较器A4和延时电路组成。其工作原理如下:

温度电压转换电路由热敏电阻RT和运算放大器A1~A3组成,产生一个与温度相对应的电压U+,加到比较器A4的正端。运算放大器A1为差动放大器A2提供一个低电压输入信号,其目的是减小热敏电阻自身发热所引起的误差。A2输出再由反相放大器A3提高信号幅值。

该幅值为

RC电路(见A4反相输入端)中电容C上的充电电压为

该转换器是把RC电路充电过程中电容C上的电压U

C与温度电压转换电路的输出电压U

+

相比较,当UC>U+时,比较器的输出电压由正变负,此负跳变电压触发延时电路

(T1,T2),使延时电路输出窄脉冲,驱动开关电路VT,为电容器C构成放电通路;当U

C<U

+

时,比较器A4输出由负变正,延时电路输出低电位,VT截止,电容器C开始一个新的

充电周期。当温度恒定时,将输出一个与该温度相对应的频率信号;当温度改变时,U

+

改变,使比较器输出电压极性的改变推迟或提前,于是输出信号频率将相应地变化,从而实现

温度到脉冲频率的变换,达到测量温度的目的。

延时电路T1、T2由两块LM556组成,它们产生宽度为td1(td1=1.1R1C1)和td2(t

d2=1.1R2C2)的脉冲信号,且使td2≪td1

,如图5.5.3所示。图5.5.3波形图

在t=0时,晶体管VT关断,比较器A4输出U0=+U1;当t=t1时,UC上升到超过U+,A4输出电压U0=-U1,根据式(5.5.1)、式(5.5.2)及(5.5.3),且令Rf=RT0(温度T0时

的电阻值),可得

在t=t1时,比较器A4输出的负跳变电压触发延时电路T1,产生td1=t2-t1的脉冲,在此脉冲的下降沿(t=t2时),触发延时电路T2,产生td2=t3-t2的窄脉冲,该脉冲使晶体

管VT导通,使电容C短路,UC下降到零,并使A4输出由-U1变到+U1,开始一个新周期,待t3到来时,VT截止,电源通过R重新对C充电。

不难看出,A4输出方波的周期Tm为

将式(5.5.5)代入式(5.5.6),则输入方波频率f为

注意:式(5.5.7)中的T是绝对温度,且

由于td2≪td1,若调整td1,可能使δ减小到零,则式(5.5.7)可简写为

可见,输出频率与绝对温度T成正比。所以,该电路在δ=0时,输出是线性的。即使δ调不到零,也可使热敏电阻输出的非线性得到改善。

习题5

5.1在题5.1图所示电路中,已知US=50V,R1=R2=5Ω,R3=20Ω。原电路达到稳态。在t=0时断开开关S,试求换路后初始瞬间的iL、uC、uR2、uR3、iC、uL。题5.1图

5.2在题5.2图所示电路中,已知US=6V,R1=1Ω