《数字信号处理》课件-第2章

2.1引言2.2离散时间信号的傅里叶变换2.3离散时间信号的Z变换2.4LTI离散时间系统的频域分析2.5离散时间信号与模拟信号时域和频域的关系习题与上机题

信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在第1章中我们已经介绍了离散时间信号与系统在时域的分析方法，

该方法比较直观，容易理解。但仅在时域分析和研究

有时会很困难，因此需要将信号从时域转换到频率域来分析和研究。对离散时间信号和系统进行频域分析需要两种数学工具，即傅里叶变换和Z变换。2.1引言这里的傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换(SequenceFourierTransform，SFT)，它将信号从时域转换到实频域，而Z变换作为傅里叶变换的推广，将信号从时域转换到复频域。正如连续时间信号的傅里叶变换和拉氏变换在连续时间信号和系统中担当的角色一样，序列傅里叶变换和Z变换在

离散时间信号和系统中担当着类似的角色。本章将学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用傅里叶变换和Z变换分析离散时间信号和系统的频域特性。2.2.1离散时间信号傅里叶变换的定义

根据以前所学知识，我们知道，连续非周期信号xa(t)的傅里叶变换是连续非周期的，连续周期信号的傅里叶级数变换是离散非周期的。根据时域和频域的对偶关系，时域

的离散化必然造成频域的周期延拓，因此我们可以预测离散非周期信号的傅里叶变换应该是连续周期的。2.2离散时间信号的傅里叶变换

1.序列傅里叶变换的引出

设离散时间信号x(n)的傅里叶变换为X(ejω)，因为离散非周期信号的傅里叶变换为连续周期的，所以只要X(ejω)满足狄里赫利(Dirichlet)条件，即可以展成正交函数线性组合

的无穷级数。设

(2.2.1)式中，e-jωn是单位复指数序列，集合{e-jωn}(n=0，±1，±2，…)是正交完备集。可以证明

(2.2.2)对式(2.2.1)两边乘以ejωm并积分，有

(2.2.3)

根据上述讨论，可以给出序列傅里叶变换的定义。令，有

2.序列傅里叶变换与反变换

对序列x(n)(-∞<n<+∞)，称和式

(2.2.4)

为x(n)的序列傅里叶变换(SequenceFourierTransform)，简记为SFT，称积分

(2.2.5)

为X(ejω)的序列傅里叶反变换，简记为ISFT。从式(2.2.4)可以看出，序列傅里叶变换是由一无穷级数给出的，因此级数收敛与否产生了序列傅里叶变换是否存在的问题。由无穷级数的理论知，若该级数绝对收敛，即

(2.2.6)则x(n)的傅里叶变换存在。由式(2.2.6)可得

(2.2.7)这表明x(n)是绝对可求和的。反之，可以看出，若式(2.2.7)成立，则式(2.2.6)成立，即序列傅里叶变换存在。绝对可求和的序列为稳定序列，因此稳定序列的傅里叶变换必

然存在。对非稳定序列的情形，如u(n)、ejωn、cosωn等序列，可以像连续时间信号一样引入周期冲激函数，其傅里叶变换也是存在的。

3.序列傅里叶变换的特点

由式(2.2.4)可以看出，尽管序列x(n)是离散时间信号，但它的序列傅里叶变换对数字角频率ω而言却是连续函数，因此，序列x(n)的傅里叶变换是连续的。

另外，由式(2.2.4)可得

(2.2.8)式(2.2.8)表明，序列傅里叶变换X(ejω)是以2π为周期的周期函数，其原因正是由于ejωn对ω而言以2π为周期，也就是说，数字角频率相差2π的所有单位复指数序列等价。因此，对-∞<ω<+∞的所有单位复指数序列，只有一个周期，如(-π，π］中的序列才具有独立的意义。对于离散时间信号，同样ω=0处表示信号的直流分量，由于ω的周期性，使得ω=0和2π的整数倍都表示信号的直流分量，而π的奇数倍，如π、-π等则表示信号的最高频率分量。

【例2.2.1】

计算冲激序列δ(n)的序列傅里叶变换。

解

【例2.2.2】

计算单位矩形序列RN(n)的序列傅里叶变换。解将单位矩形序列RN(n)傅里叶变换写成R(ejω)=

|R(ejω)|ejθ(ω)，设N=6，单位矩形序列傅里叶变换的模和相位如图2.2.1所示，从图中可以看出，序列的傅里叶变换是以2π为周期的。图2.2.1矩形序列傅里叶变换的模和相位(a)模;(b)相位

【例2.2.3】

计算X(ejω)=cosω的序列傅里叶反变换x(n)。解

4.序列傅里叶变换的物理意义

从式(2.2.5)可看出，序列x(n)是许多复指数序列的叠加(积分)结果，这些复指数序列的数字角频率为［-π，π］。这意味着，序列傅里叶反变换本质上是序列的一种分解，它将一般序列分解为无穷多个数字角频率［-π，π］中的复指数序列。这些复指数序列的幅度和相位由序列傅里叶变换X(ejω)唯一确定。由谱分析的理论知，这些复指数序列就是序列的不同频率分量。因此，我们把X(ejω)称为序列x(n)的频谱，其模|X(ejω)|称为幅频特性，其幅角arg［X(ejω)］=θ(ω)称为相频特性。

【例2.2.4】

计算序列x(n)=e-0.2nu(n)的幅频特性和相频特性。

解因此序列x(n)的幅频特性为

相频特性为

x(n)的幅频特性和相频特性如图2.2.2所示，都是以2π为周期的。图2.2.2序列的幅频特性和相频特性(a)幅频特性;(b)相频特性2.2.2离散时间信号傅里叶变换的性质

序列傅里叶变换在数字信号处理领域有着广泛的应用，它是离散信号谱分析、离散时间系统分析以及数字滤波器设计的重要理论基础。序列傅里叶变换具有许多重要性质，

本节将予以讨论。

1.线性性质

设a、b为任意给定的常数，则下式成立

SFT［ax1(n)+bx2(n)］=a·SFT［x1(n)］+b·SFT［x2(n)］

(2.2.9)

2.时移性质

对任意给定的整数m，下式成立

SFT［x(n-m)］=e-jωm·X(ejω)

(2.2.10)

证明：这一性质表明，序列线性移位的傅里叶变换等于原序列傅里叶变换和e-jωm相乘。乘因子e-jωm意味着各频率分量的相位发生了相应的变化。

【例2.2.5】

观察序列x1(n)和x2(n)的频谱关系，其中，

x1(n)={1，2，3，4，5，0，5，4，3，2，1}，x2(n)=x1(n-5)。

解

x1(n)的幅度特性和相位特性如图2.2.3(a)所示，x2(n)的幅度特性和相位特性如图2.2.3(b)所示，显然，x1(n)和x2(n)的幅频特性一致，只是相频特性发生了变化。图2.2.3例2.2.5序列的傅里叶变换(a)x1(n)的幅频特性和相频特性；(b)x2(n)的幅频特性和相频特性

【例2.2.6】

计算x(n)=δ(n-l)的序列傅里叶变换，l为任意给定的整数。

解因为SFT［δ(n)］=1，所以，由时移性质得

X(ejω)=SFT［δ(n-l)］=e-jωl

3.频移性质

设X(ejω)=SFT［x(n)］，对于任意给定的常数ω0，下式成立

(2.2.11)

证明：

这一性质表明，序列x(n)和单位复指数序列相乘，其傅里叶变换为原序列傅里叶变换在频域中的移位。

【例2.2.7】

设，2π/ω0为有理数，为以2π为周期的周期单位冲激函数，试计算其傅里叶反变换x(n)。

解虽然为非稳定序列，但由于在其SFT中引入了连续周期冲激函数,因此序列1的SFT也是存在的。

按照频移性质可得

即

(2.2.13)

其中，如图2.2.4所示。(2.2.12)图2.2.4图示

【例2.2.8】

计算cosω0n和sinω0n(2π/ω0为有理数)的序列傅里叶变换。

解

cosω0n的序列傅里叶变换如图2.2.5所示。图2.2.5cosω0n的序列傅里叶变换

4.共轭对称性质

在讨论SFT的共轭对称性质之前，我们先集中讨论一下序列的对称性。

1)共轭对称与共轭反对称

(1)共轭对称。对于序列x(n)，若存在整数M，使下式成立:

x(n)=x*(M-n)，-∞<n<+∞

(2.2.14)

则称x(n)关于c=M/2共轭对称，记为xe(n)。

(2)共轭反对称。对于序列x(n)，若存在整数M，使下式成立：

x(n)=-x*(M-n)，-∞<n<+∞

(2.2.15)

则称x(n)关于c=M/2共轭反对称，记为xo(n)。

当M=0时，x(n)关于原点共轭对称或反对称，或直接称x(n)共轭对称或反对称。对实序列而言，共轭对称就是偶对称，共轭反对称就是奇对称。

(3)序列共轭对称分解定理。

对于任意给定的整数M，任何序列x(n)都可以分解成关于c=M/2共轭对称的序列xe(n)和共轭反对称的序列xo(n)之和，即

x(n)=xe(n)+xo(n)，-∞<n<+∞

(2.2.16a)

并且

(2.2.16c)

定理的证明留给读者，下面我们举一个例子来说明。(2.2.16b)

【例2.2.9】

计算单位复指数序列x(n)=ejωn关于原点的共轭对称和共轭反对称部分。

解由式(2.2.16)可得

这表明，单位复指数序列ejωn的共轭对称部分就是它本身，而共轭反对称部分为零。换言之，单位复指数序列是共轭对称的序列。

2)共轭对称性质

设xR(n)=Re［x(n)］，xI(n)=Im［x(n)］，Xe(ejω)和Xo(ejω)

分别是X(ejω)关于原点的共轭对称和共轭反对称部分，若X(ejω)=SFT［x(n)］，则

(2.2.17)另外，序列x(n)的共轭对称和共轭反对称部分和其傅里叶变换X(ejω)的实部和虚部(含j)分别是序列傅里叶变换对，即

(2.2.18)

证明：首先证明实序列的SFT。由

可得

由于

因此

同理可证纯虚序列的SFT。这一性质表明，序列x(n)的实部和虚部(含j)与其序列傅里叶变换X(ejω)的共轭对称部分和共轭反对称部分别是序列傅里叶变换对，反之亦然。

由于实序列的傅里叶变换是共轭对称的，因此根据共轭对称的性质，可得

X(ejω)=|X(e-jω)|arg［X(ejω)］=-arg［X(e-jω)］

即实序列的幅频特性偶对称，相频特性奇对称。另外，如果序列x(n)=x(-n)，则有X(ejω=X(e-jω)。所以，如果序列x(n)既是实序列，又是偶对称，则其序列傅里叶变换X(ejω)必然是实偶对称的函数。类似地，如果序列x(n)分别是实奇对称序列、虚奇对称序列、虚偶对称序列，其序列傅里叶变换各有什么特点，请读者自己给出结论。

【例2.2.10】

分别计算、、

(为有理数)的序列傅里叶变换。

解根据例2.2.7和例2.2.8的计算，有

我们看到，cosω0n是实偶对称序列，其傅里叶变换是实偶对称的，而sinω0n是实奇对称序列，其傅里叶变换是虚奇对称的。同时，cosω0n、sinω0n分别是的实部和虚部，它们的傅里叶变换正好又是的傅里叶变换的共轭对称和共轭反对称部分。

5.线性卷积性质

设g(n)=x(n)*y(n)，则下式成立

SFT［g(n)］=X(ejω)·Y(ejω)

(2.2.19)

证明：

上述性质表明，序列线性卷积的傅里叶变换等于每个序列傅里叶变换的乘积。因此，可以应用序列傅里叶变换计算序列的线性卷积，方法是首先计算x(n)和y(n)的X(ejω)和Y(ejω)，将它们相乘，再计算乘积序列的傅里叶反变换就得到线性卷积g(n)。

6.帕斯瓦尔(Parseval)定理

(2.2.20)

上式表明，序列在时域和频域的能量是一致的，即傅里叶变换没有带来能量损失，称为帕斯瓦尔定理。

7.相乘性质

设X(ejω)、Y(ejω)和G(ejω)分别为x(n)、y(n)和g(n)的SFT，若g(n)=x(n)·y(n)，则

(2.2.21)

证明：

为方便使用，表2.2.1对常用的傅里叶变换的性质给出了总结。表2.2.1傅里叶变换的性质表2.2.2给出了基本序列的傅里叶变换，熟悉这些傅里叶变换是非常有用的，例如在求傅里叶变换或反变换中，往往可以利用基本序列的傅里叶变换对来简化某些比较困难或

繁琐的问题。表2.2.2基本序列的傅里叶变换2.3.1离散时间信号Z变换的定义

在模拟系统中用连续信号的傅里叶变换进行频域分析，拉氏变换作为其推广，对连续时间信号和系统进行复频域分析;在离散时间系统中用序列的傅里叶变换(SFT)进行频域

分析，Z变换作为其推广，对离散时间信号和系统进行复频域分析。

对于序列x(n)，令

(2.3.1)2.3离散时间信号的Z变换式中，z是复变量，它所在的平面为复平面，称X(z)是x(n)的Z变换(双边Z变换)，记为ZT。

从式(2.3.1)可以看出，序列的Z变换是由一无穷级数给出的，因此Z变换存在着是否收敛的问题。我们仅考虑ZT的绝对收敛性，通常称使式(2.3.1)右侧级数绝对收敛的z值为

ZT的收敛点，而由所有收敛点构成的集合称为ZT的收敛域，即

(2.3.2)图2.3.1逆Z变换中的积分围线序列x(n)的Z变换X(z)仅在收敛域内存在，所以在讨论Z变换时，收敛域是不可或缺的。一般序列的收敛域可用

描述，具体情况讨论见2.3.3小节。

相应地

(2.3.3)

称为逆Z变换，记为IZT。积分围线c是收敛域内一条逆时针的闭合曲线，如图2.3.1所示。

【例2.3.1】

计算单位脉冲序列δ(n)的ZT。

解

2.3.2离散时间信号Z变换与SFT的关系

Z变换是由SFT推广得到的，相反地，如果某序列的Z变换的收敛域包括z=ejω，则也可以通过ZT求得序列的SFT。在式(2.3.1)中令z=ejω，则

(2.3.4)式(2.3.4)表明，SFT正是序列的ZT在z=ejω时的值。由于这时|z|=|ejω|=1，因此，式(2.3.4)描述了z平面上以原点为圆心，半径为1的圆，称为单位圆，序列的傅里叶变换是其

ZT在单位圆上的取值。

【例2.3.2】计算单位阶跃序列u(n)的ZT。

解

对u(n)而言，其Z变换的收敛域为|z|>1，不包括单位圆，无法通过z=ejω得到u(n)的傅里叶变换。2.3.3Z变换的收敛域与序列特性之间的关系

1.有限序列的收敛域

对于一般有限序列x(n)(［N1，N2］)，其ZT可表示如下:若N2≤0，则上式中全为z的正幂次项，z=∞处不收敛；若N1≥0，则上式中全为z的负幂次项，z=0处不收敛;若N1<0，N2>0，则上式中既存在着z的正幂次项，又存在着z的

负幂次项，则z=0、z=∞处不收敛。对于其他的z值，级数处处收敛。

2.右边序列的收敛域

对于右边序列x(n)，它的ZT表示式为

幂级数的收敛域为|z-1|<R，因此，右边序列ZT的收敛域是z平面上以原点为圆心的某个圆的外部。若N1<0，则ZT的幂级数的级数表示式中既包括z的正幂次

项，又有负幂次项，从而在z=∞时级数不收敛;反之，若N1≥0，即x(n)为因果序列，则收敛域包括z=∞。

3.左边序列的收敛域

对于左边序列x(n)，其ZT可作如下表示:

上式是一个以z为变量的幂级数，易知其收敛域为，即左边序列ZT的收敛域为z平面上以原点为圆心的某个圆的内部。若N2>0，则ZT的幂级数的级数表示式中既包括z的正幂次项，又有负幂次项，从而在z=0时级数不收敛;若N2≤0，则x(n)的收敛域包括z=0。

4.双边序列的收敛域

对于双边序列x(n)，其ZT可表示如下:

由上式可知，双边序列的Z变换可分解为左边序列和右边序列的Z变换之和，根据前面的讨论，收敛域分别为和，即X(z)的收敛域是二者收敛域的公共部分。

若，则X(z)的收敛域为，若

，则X(z)不存在。

【例2.3.3】

计算序列x(n)=-u(-n-1)的ZTX(z)，并确定X(z)的收敛域。

解

将上例与例2.3.2比较，可以发现，尽管这两个序列不同，但它们ZT的表达式是一样的，所不同的仅仅是收敛域。由此可以看出收敛域的重要性，这正是我们重视ZT收敛域

的原因，它表明Z变换是由表达式和收敛域两部分组成的，缺少任何一部分都不能给出完整的Z变换。表2.3.1给出了序列Z变换的收敛域。

为方便使用，表2.3.2给出几个基本序列的Z变换。表2.3.1序列Z变换的收敛域表2.3.2基本序列的Z变换2.3.4逆Z变换

在离散时间系统的分析中，逆Z变换的计算也很重要，求逆Z变换的方法如下：

1.留数法或围线积分法

按照逆Z变换的定义式：

由复变函数积分的理论知，可用留数计算X(z)的逆Z变换x(n)。X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示，假设有M个极点，根据留数定理有

(2.3.5)式中，Res［X(z)zn-1，zk］表示被积函数X(z)zn-1在极点zk的留数。求逆Z变换就是求围线c内所有极点的留数之和。如果极点zk是单阶极点，则极点的留数可用下式计算:

(2.3.6)

如果极点zk是L阶极点，则极点的留数可用下式计算:

(2.3.7)

式(2.3.7)中对于L阶极点，需要求L-1次导数，比较复杂。如果围线c内有高阶极点，围线c外没有高阶极点，则可以根据留数辅助定理改求围线c外的所有极点留数之和，使求解得

以简化。设X(z)zn-1在围线内有L1个极点z1k，围线外有L2个极点z2k，L=L1+L2，有

(2.3.8)

式(2.3.8)成立的条件是X(z)zn-1分母的阶次比分子的阶次高二阶或二阶以上。

【例2.3.4】

已知序列x(n)的Z变换为

，|z|>|a|，试用留数法求x(n)。

解由于收敛域是|z|>|a|且包含∞，因此x(n)是因果序列。

当n≥0时，z=a是围线c内的极点，z=0不是极点，因此

当n<0时，z=a、z=0是围线c内的极点，其中z=0是一个n阶极点。因为X(z)zn-1满足式(2.3.8)成立的条件，所以可以通过求围线c外的极点留数代替求围线c内的极点留数。

本例围线c外没有留数，因此x(n)=0，n<0(由于x(n)是因果序列，同样有x(n)=0，n<0)。

2.部分分式法

由于常用序列的ZT都已计算出来且列成了表，因此可以很方便地通过查表2.3.2求逆Z变换。

但是，有时X(z)的表达式比较复杂，无法直接查表，这时可以将复杂的X(z)分解成若干较简单的部分，然后查表求出各部分的IZT，最后相加得到所需要的结果。部分分式法展开就是常用的一种分解方法。设X(z)是有理函数，则

(2.3.9)

(1)M<N，设X(z)有N个一阶极点，有

(2.3.10)式中，Am是X(z)在一阶极点zm处的留数，即

(2)M≥N，有

(2.3.11)式中

Matlab信号处理工具箱中提供了计算留数的库函数“residuez”，调用格式为

［r，p，c］=residuez(b，a)其中，b和a是式(2.3.9)中分子和分母系数向量；p是X(z)的极点向量；r是极点向量中各个极点对应的留数向量；c是式(2.3.11)中的多项式系数向量，仅在M≥N时存在。

【例2.3.5】

用Matlab的留数库函数求

的逆Z变换。

解

Matlab程序为

b=［0，5］;a=［1，1，-6］;［r，p，c］=residuez(b，a);运行程序结果为

r=［-1，1］;p=［-3，2］，c=［0］;

即极点为z1=-3，z2=2，在极点z1处的留数为-1，在极点z2处的留数为1，即有

查表2.3.2得

x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1)

3.长除法或幂级数法

对有理分式形式的X(z)，由ZT的定义式有

(2.3.12)可以看到，右侧的级数是分子多项式除以分母多项式的结果。因此，可以用X(z)的分母多项式D(z)去除分子多项式N(z)，这样得到的商就是以x(n)作系数的z(对应左边序列

)或z-1(对应右边序列)的多项式，把相应的系数取出，就得到了x(n)。这种方法通常称为长除法或幂级数法。

如果N(z)和D(z)是高次多项式，则由长除后的商式寻找出x(n)的规律就会很难，但只要不断除下去，就可得到尽可能多的x(n)的值。如果所需的x(n)值很多，则可编程上机

运算。能在计算机上做数值运算，这是长除法求IZT的优点。2.3.5Z变换的性质

1.线性性质

对于任意给定的常数a和b，有

ZT［ax1(n)+bx2(n)］=a·ZT［x1(n)］+b·ZT［x2(n)］

(2.3.13)

ZT的收敛域为两部分的公共区域。

2.时移性质

对于任意给定的整数m，有

ZT［x(n-m)］=z-m·ZT［x(n)］(2.3.14)

移位序列ZT的收敛域基本上和原序列的收敛域相同，若m<0，收敛域可能要排除∞点，若m>0，则可能要排除z=0点。

3.尺度变换性质

设X(z)=ZT［x(n)］，对于任意常数a≠0，有

ZT［an·x(n)］=X(a-1z)

(2.3.15)

若X(z)的收敛域为，则X(a-1z)的收敛域为，即。

4.微分性质

设X(z)=ZT［x(n)］，则有

(2.3.16)

5.共轭性质

若X(z)=ZT［x(n)］，则有

ZT［x*(n)］=X*(z*)

(2.3.17)

由于ZT的收敛域都是关于实轴对称的，因此共轭运算不影响结果的收敛域。

6.折卷性质

设X(z)=ZT［x(n)］，则有

ZT［x(-n)］=X(z-1)

(2.3.18)

若X(z)的收敛域为，则X(z-1)的收敛域为

。

7.线性卷积性质

设g(n)=x(n)*y(n)，则有

ZT［g(n)］=ZT［x(n)］·ZT［y(n)］(2.3.19)

ZT［g(n)］的收敛域是ZT［x(n)］的收敛域与ZT［y(n)］的收敛域的公共部分。

8.帕斯瓦尔(Parseval)定理

(2.3.20)

若X(z)的收敛域为，Y(z)的收敛域为，，则有。

9.相乘性质

设X(z)、Y(z)和G(z)分别是序列x(n)、y(n)和g(n)的ZT，若g(n)=x(n)·y(n)，则有

(2.3.21)上述积分中，围线c须选在X(v)和Y(z/v)的公共收敛域。设X(z)和Y(z)的收敛域分别为，，则G(z)的收敛域为。

为方便使用，表2.3.3对常用的Z变换的性质给出了总结。表2.3.3Z变换的性质2.4.1LTI离散时间系统的频率响应与系统函数

复指数序列和正弦序列在离散时间信号和系统中起着特别重要的作用。下面首先研究复指数序列和正弦序列作为LTI系统输入时，系统输出所具有的特点，进而给出LTI

系统的频率响应。2.4LTI离散时间系统的频域分析

1.LTI离散时间系统的频率响应

1)单位复指数序列作为LTI系统的输入

设LTI系统的输入为单位复指数序列，即

x(n)=ejωn，-∞<n<+∞，-∞<ω<+∞

则系统输出

(2.4.1)由于

(2.4.2)

因此

(2.4.3)式(2.4.3)表明，对于LTI系统，若输入为单位复指数序列，则输出也是复指数序列。输出序列和输入序列频率相同，幅度和相位不同，其复增益由系统单位脉冲响应的序列傅里叶变换决定。

2)LTI系统的频率响应、幅频响应与相频响应

为了表征LTI系统的上述性质，提出了频率响应的概念。设LTI系统的输入为单位复指数序列，则称系统对于复指数输入的复增益为系统的频率响应，记为H(ejω)，即

(2.4.4)所以，LTI系统的频率响应是系统单位脉冲响应的序列傅里叶变换，若H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)，则称|H(ejω)|是系统的幅频响应，θ(ω)是系统的相频响应。因此，由式(2.4.3)可以看出，|H(ejω)|表示系统对不同频率信号的增益。由于稳定序列的傅里叶变换存在，因此稳定的LTI系统的频率响应也存在。在今后关于频率响应的讨论中，一般设系统是稳定的。

【例2.4.1】

设某一LTI系统的单位脉冲响应h(n)=0.6nu(n)，试计算系统的频率响应、幅频响应和相频响应。

解由h(n)的序列傅里叶变换可得系统的频率响应为

因此，相应的幅频响应为

相应的相频响应为

离散LTI系统具有周期性的频率响应，这是它与连续时间系统的重大区别。

3)正弦序列作为LTI系统的输入

若LTI系统的输入序列为正弦序列

x(n)=A0sin(ωn+θ0)，-∞<n<+∞

(2.4.5)

式中，A0、ω和θ0分别为正弦序列的幅度、数字角频率和初相位，则由欧拉公式有

(2.4.6)即输入正弦序列等价于输入两个复指数序列。设频率响应为H(ejω)，由式(2.4.6)得到系统的输出序列为

(2.4.7)对于系统的单位脉冲响应为实序列的情形，由序列傅里叶变换的对称性质可知，频率响应H(ejω)是关于原点共轭对称的，即

H(ejω)=H*(e-jω)

(2.4.8)

因此

|H(ejω)|=|H(e-jω)|

(2.4.9)

θ(ω)=-θ(-ω)

(2.4.10)

由式(2.4.7)可得

(2.4.11)

式(2.4.11)表明，对单位脉冲响应为实序列的LTI系统，如果输入为正弦序列，则输出也是正弦序列，并且输出序列和输入序列的数字角频率相同。输出序列的幅度等于输入序列的幅度和系统幅频响应在该数字角频率处的幅度的乘积，而输出序列的初相位等于输入序列的初相位和系统相频响应该数字角频率处的相位的和。因此，正弦序列通过LTI系统仍然是正弦序列，只是幅度和初相位发生了变化。

【例2.4.2】

设某一LTI系统，其频率响应为

若输入为

求对全部n的输出y(n)。

解由于H(ejω)=H*(e-jω)，所以根据SFT的共轭对称性可知，h(n)为实数。

ω0=15π/4模2π后

因此

4)一般稳定序列作为LTI系统的输入

对于一般稳定序列x(n)作为系统输入的情形，由序列傅里叶变换的线性卷积性质，输出序列y(n)可由下式得到:

(2.4.12)

2.LTI离散时间系统的系统函数

由序列傅里叶变换和Z变换的关系可知，对于稳定系统，其频率响应H(ejω)为H(z)在单位圆上的取值，即

H(ejω)=H(z)|z=ejω

设X(z)、

Y(z)、H(z)分别是x(n)、y(n)和h(n)的Z变换，根据ZT的线性卷积性质可得

Y(z)=X(z)H(z)

(2.4.13)式(2.4.13)表明，LTI系统输出序列的ZT是输入序列和单位脉冲响应序列ZT的乘积。

由此可以看出，若知道了H(z)，则系统的输入、输出关系就完全确定了。因此，H(z)是确定系统性能的又一重要物理量，我们称H(z)为系统的系统函数或Z传递函数。

由于H(z)是h(n)的Z变换，因此由Z变换的定义式可得

同时

(2.4.14)

由于h(n)仅与系统本身的结构和参量有关，与输入和输出序列无关，因此LTI系统的系统函数H(z)也仅与系统本身的结构和参量有关，与系统的输入输出无关。H(z)从Z变换域描述了LTI系统的性能。2.4.2系统函数的收敛域和极点分布与

系统因果性和稳定性的关系

1.系统函数的收敛域与系统因果性和稳定性的关系

因果LTI系统的单位脉冲响应为因果序列。由于因果序列Z变换的收敛域为以原点为中心的某个圆的外部，即因此因果系统的系统函数H(z)的收敛域也是。

我们可以由H(z)的收敛域判断LTI系统的因果性，也就是说，当且仅当H(z)的收敛域为时，LTI系统是因果的。对于稳定的LTI系统，其单位脉冲响应是稳定序列，即

因此，系统的系统函数H(z)满足下述条件:

(2.4.15)即H(z)在单位圆|z|=1上绝对收敛。显然，若H(z)在单位圆上绝对收敛，则h(n)必定是绝对可求和的，也就是说系统必然稳定。由此可见，从z变换域来看，系统稳定的充要条件是系统函数的收敛域包括单位圆，即

(2.4.16)

容易看出，若LTI系统既是因果的，又是稳定的，则它的系统函数的收敛域必定同时满足以上所给出的两个条件，即

(2.4.17)

2.系统函数的极点分布与系统因果性和稳定性的关系

由于线性时不变系统的系统函数H(z)是复变函数，因此也可以由H(z)的极点位置判断系统的因果性和稳定性。由前面的讨论易知，因果系统的极点必在以原点为圆心的某个圆

内，而稳定系统的极点必定不在单位圆上。若系统为因果稳定的，则H(z)的极点必定在单位圆内。

【例2.4.3】

设因果LTI系统的系统函数如下，试判断系统的稳定性。

解由于系统是因果的，容易看出，只要H(z)的极点在单位圆内，系统就是稳定的。

由于系统的二阶极点为zx=0.5，在单位圆内，因此本系统是稳定的。2.4.3系统函数的零极点分布对系统

频率响应特性的影响

将系统函数H(z)因式分解可得

(2.4.18)式中，A=影响系统函数的幅度大小；cr为系统的零点；dr为系统的极点；影响系统特性的正是cr、dr。将式(2.4.18)分子分母同乘以zN+M，得

(2.4.19)设系统稳定，则H(ejω)=H(z)|z=ejω，并且有

(2.4.20)图2.4.1频率响应的几何表示在z平面上，单位圆上的点B表示ejω，矢量表示为，ejω-cr可用由零点cr指向单位圆上ejω点的向量

来表示，而ejω-dr可用极点dr指向ejω的向量

表示，如图

2.4.1所示，即

和分别称为零点矢量和极点矢量。

令，则有

(2.4.21)

(2.4.22)

(2.4.23)式中，分别为零极点矢量模。由式(2.4.22)和(2.4.23)可见，幅频响应由从各零点、极点指向点的向量幅度来确定，而相频响应则由这些向量的幅角来确定，当频率ω由0到变化时，这些向量的终端点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此算出幅频响应和相频响应，从而估算出整个系统的频率响应来。对极点而言，当单位圆上的B点转到某个极点附近时，矢量最短，出现最小值，|H(ejω)|在这附近出现峰值。极点dr越靠近单位圆，振幅特性的峰值越大，当dr出现

在单位圆上时，=0，振幅特性将出现无穷大，系统不稳定。

对零点而言，当单位圆上的B点转到某个零点附近时，

最短，振幅特性在零点附近形成谷点。当零点在单位圆上时，该零点所在频率上的振幅特性为零。零点还可以位于单位圆以外，不影响稳定性。

处于坐标原点的零、极点不影响系统的幅频响应。

利用系统零、极点特性来分析系统的幅频响应时，仅对低阶系统有效，而对于高阶系统，由于零、极点个数多，相互之间影响关系不直接，因此不容易画出系统的幅频响应。

【例2.4.4】

已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频响应。

解

极点z=0处的N阶极点，不影响频率响应，零点

k=0，1，2，…，N-1，即N个零点等间隔分布在单位圆上，如图2.4.2(a)所示。图2.4.2例2.4.4系统的零、极点分布和幅频响应(a)梳状滤波器的零、极点分布；(b)梳状滤波器的幅频响应由图2.4.2(b)所示幅频响应可见该滤波器为梳状滤波器，在ω=2πk/N(k=0，1，…，N-1)处的信号分量被滤除，可用来消除电网谐波及分离电视接收机中亮度和色度信号。由图2.4.2(b)可见，该滤波器的过渡带较宽，在ω=2πk/N附近的信号衰减较大。在5.4.3小节中，

我们将介绍另外一种梳状滤波器，可以实现较陡的过渡带。

【例2.4.5】

已知某LTI系统的，根据系统零极点位置的变化，用Matlab分析系统的幅频响应。

解系统的零点为a1、a2，极点为b1、b2。

(1)假设零点a1=0.5ej0.6π，a2=0.5e-j0.6π，极点b1=0.5ej0.1π，b2=0.5e-j0.1π，用Matlab画出系统的零极点位置和幅频响应。

Matlab程序如下：

a1=0.5*exp(j*0.6*pi);

a2=0.5*exp(-j*0.6*pi)；

b1=0.5*exp(j*0.1*pi);

b2=0.5*exp(-j*0.1*pi)；

z=［a1，a2］′；

p=［b1，b2］′;

figure;zplane(z，p);

［b，a］=zp2tf(z，p，1);

w=0：0.005*pi：pi;

h=freqz(b，a，w);

hmax=max(abs(h));

w=w/pi;运行程序，输出波形如图2.4.3所示，为低通滤波器。由图可见，由于零、极点均离单位圆较远，因此在零极点处幅频响应的峰值和谷值不明显。

图2.4.3例2.4.5图示一(a)零、极点分布图;(b)系统幅频响应

(2)假设零点a1=ej0.6π，a2=e-j0.6π，极点b1=0.9ej0.1π，b2=0.9e-j0.1π，即和假设(1)相比，零、极点更靠近单位圆，输出波形如图2.4.4所示。由图可见，由于零点在单位圆上，因此在零点ω=0.6π处幅频响应为谷值，在极点ω=0.1π处幅频响应为峰值。图2.4.4例2.4.5图示二(a)零、极点分布图;(b)系统幅频响应

(3)假设零点a1=ej0.2π，a2=e-j0.2π，极点b1=0.9ej0.1π，b2=0.9e-j0.1π，即零点位置靠近极点位置，输出波形如图2.4.5所示。由图可见，此时低通滤波器的过渡带与假设(2)相比要陡。图2.4.5例2.4.5图示三(a)零、极点分布图;(b)系统幅频响应这种通过零点和极点的几何位置分析系统频率响应的方法，为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。

由式(2.4.20)可见，当系统的零点或极点在单位圆内，B点在单位圆上逆时针旋转一圈时，零点或极点矢量相位变化2π；当零点或极点在单位圆外，B点在单位圆上逆时针旋转一圈时，零点或极点矢量相位无变化。一般情况下，M≠N，不妨假设M=Mi+Mo，

N=Ni+No，Mi、Ni为单位圆内的零、极点个数，Mo、No为单位圆外的零、极点个数。当B点在单位圆上逆时针旋转一圈时，系统相频响应的变化为

Δarg［H(ejω)］=2πMi-2πNi+2π(N-M)一般情况下，我们要求系统为因果的，极点不能在单位圆外，所以No=0。因此

Δarg［H(ejω)］=-2πMo

当Mi=M，Mo=0时，Δarg［H(ejω)］=0，即当系统的全部零、极点都在单位圆内，B点在单位圆上逆时针旋转一圈时，系统的相位变化最小，称为最小相位系统。

反之，当Mi=0，M=Mo时，Δarg［H(ejω)］=-2πMo，

即H(z)的全部零点在单位圆外，系统的相位变化最大，则系统为最大相位系统。最小相位系统有很多优点。首先，在幅频响应相同的因果稳定系统中，最小相位系统的相位延迟是最小的；其次，最小相位系统的逆系统仍是最小相位系统;还可以证明，

任何一个非最小相位系统H(z)均可由一个最小相位系统Hmin(z)和一个全通系统Hap(z)级联而成。正是这些优点使得最小相位系统得到了广泛应用。在5.4.4小节将对最小相位系统进行详细的讲解。

【例2.4.6】

已知某最小相位系统的零点为0.9ej0.12π、0.9e-j0.12π、0.7ej0.3π、0.7e-j0.3π，极点为0.95ej0.01π、0.95

e-j0.01π、0.95ej0.1π、0.95e-j0.1π，保持该系统的极点不变，对上述四个零点分别取倒数得到一个最大相位系统。

(1)用Matlab画出两个系统零极点位置;

(2)用Matlab画出两个系统的幅频响应;

(3)假设两个系统的输入信号为x(n)=sin(0.08πn)，用Matlab画出输出信号。

解

Matlab程序与例2.4.5类似，不再给出。

(1)如图2.4.6所示，(a)图为最小相位系统的零、极点位置，(b)图为最大相位系统的零、极点位置。图2.4.6零、极点位置比较(a)最小相位系统;(b)最大相位系统

(2)如图2.4.7所示，(a)图为最小相位系统的幅频响应，(b)图为最大相位系统的幅频响应。

(3)如图2.4.8所示，(a)图为最小相位系统的输出，(b)图为最大相位系统的输出。图2.4.7幅频特性比较(a)最小相位系统;(b)最大相位系统图2.4.8系统的输出比较(a)最小相位系统;(b)最大相位系统由图2.4.6~图2.4.8可见，例2.4.6中最小相位系统和最大相位系统的幅频响应相同，但从输出上看，最小相位系统的输出延迟比最大相位系统的小，即在幅频响应相同的因果稳定系统中，最小相位系统的相位延迟是最小的。

2.4.4利用Z变换求解系统的输出

在第1章中，我们介绍了通过线性卷积和差分方程的递推解法求解离散LTI系统的输出。本节介绍利用Z变换求解系统的输出。设LTI系统的N阶差分方程为

(2.4.24)

输入信号x(n)是因果的，系统初始条件为y(-1)，y(-2)，…，y(-N)。对式(2.4.24)进行Z变换，得

(2.4.25)式中，等号右边第一项与系统初始状态无关，只与输入信号有关，称为系统的零状态响应;第二项与输入信号无关，只与系统初始状态有关，称为系统的零输入响应。零状态响应实际上就是直接对式(2.4.24)进行双边Z变换的结果。Y(z)为全响应。

【例2.4.7】

用Z变换重做例1.3.6。已知描述某LTI系统的差分方程为y(n)=1.5x(n)+0.7y(n-1),输入序列x(n)=δ(n)，初始条件为y(-1)=1，求系统输出y(n)。

解对给定的输入信号和差分方程进行Z变换，得到

代入初始条件得

因此系统输出为

y(n)=2.2×0.7nu(n)

【例2.4.8】

设某一LTI系统的单位脉冲响应与输入序列分别为

试用ZT计算输出序列y(n)(-∞<n<+∞)。

解查表2.3.2得

令x1(n)=(1/3)nu(n)，x2(n)=0.5nu(n)，则x(n)=x1(n)+0.5x2(-n-1)。

查表2.3.2得

由ZT的折卷和时移性质可得

由ZT的线性性质可得

用部分分式展开，可得

查表2.3.2得

2.5.1采样信号与模拟信号的关系

离散时间信号可以由模拟信号通过采样得到，相应地，连续时间信号的频谱可以用数字信号的频谱表示和计算。在第3章和第4章引入离散傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变

换(FFT)后，连续时间信号的频谱最终就可以用DFT、FFT计算。下面就分别从时域、频域讨论离散时间信号和模拟信号的关系。2.5离散时间信号与模拟信号时域和频域的关系

1.采样信号与模拟信号的时域关系

离散时间信号可以由连续时间信号通过采样得到。对连续时间信号xa(t)，若用如下的周期单位冲激信号

(2.5.1)

和xa(t)相乘，即

(2.5.2)则称为xa(t)的理想采样信号(注意：此时采样信号仍为连续时间信号)，而由xa(t)得到的过程叫做理想采样。、xa(t)和分别如图2.5.1(a)、(b)、(c)所示。T称为采样周期，Fs=1/T称为采样频率，Ωs=2π/T称为采样角频率。图2.5.1采样过程示意图由式(2.5.2)，可以得到

(2.5.3)

由于δa(t-nT)只有在t=nT不为零，因此有

(2.5.4)

2.采样信号与模拟信号的频域关系

设xa(t)和的傅里叶变换分别为Xa(jΩ)和(jΩ)，根据连续时间信号与所学的知识，时域相乘的傅里叶变换为频域相乘，故

(2.5.5)

因为

所以

(2.5.6)由式(2.5.6)可以清楚地看出，采样信号的傅里叶变换

是周期为Ωs的周期函数，并且除了幅度乘以常数因子1/T外，是由Xa(jΩ)平移相加得到的。设Xa(jΩ)最

高非零频率分量的角频率为Ωmax，如图2.5.2(a)所示，则若采样角频率Ωs<2Ωmax，将出现如图2.5.2(b)所示的频率交叠，这样，由就不能无失真地得到Xa(jΩ)，不能由采样信号恢复原信号xa(t)了。图2.5.2采样信号与模拟信号的频域关系示意图显然，为了避免这种交叠现象，应该要求Ωs≥2Ωmax(即奈奎斯特采样定理)，这种情况如图2.5.2(c)所示。从

图中可以看出，在Ωs≥2Ωmax的条件下，当|Ω|≤Ωs/2时，

和Xa(jΩ)除幅度不同外(前者是后者幅度的1/T)，形状是完全相同的。因此可由得到Xa(jΩ)，即由

采样信号恢复原信号xa(t)。

3.模拟信号的恢复

为了恢复信号xa(t)，可让采样信号通过一理想的模拟低通滤波器，频率响应如下:

(2.5.7)

其频率响应如图2.5.3所示。图2.5.3理想模拟低通滤波器的频率响应由图2.5.2(c)和图2.5.3可以清楚地看出，当Ωs≥2Ωmax

时

(2.5.8)上式表明，在Ωs≥2Ωmax的条件下，采样信号通过理想低通滤波器后的输出就是原信号xa(t)。这意味着，应用这种方法可以恢复原信号xa(t)。

由式(2.5.7)，运用连续傅里叶反变换，可以得到理想低通滤波器的单位脉冲响应

(2.5.9)

由式(2.5.8)，根据傅里叶变换的卷积性质，可得

式(2.5.10)给出了信号xa(t)的样值xa(nT)和原信号的函数关系。2.5.2离散时间信号与模拟信号的关系

1.离散时间信号与模拟信号的时域关系

令

x(n)=xa(nT)=xa(t)|t=nT

(2.5.11)

即如果不考虑量化的影响，可以认为离散时间信号x(n)可以由连续时间信号xa(t)的样值构成。当然量化效应总是存在的，这一点将在8.6节进行讨论。反过来，采样信号可由序列x(n)得到，由式(2.5.3)和式(2.5.11)，可以得到

(2.5.12)

2.离散时间信号与模拟信号的频域关系

离散时间信号x(n)的序列傅里叶变换和连续时间信号xa(t)的连续傅里叶变换有密切的关系。根据序列傅里叶变换的定义，有

由式(2.5.6)得

上式表明，只要把模拟频率换成数字频率，连续时间信号的连续傅里叶变换和离散时间信号x(n)的序列傅里叶变换是相同的，即

(2.5.13)式(2.5.13)给出了离散时间信号x(n)和模拟信号xa(t)的频域关系，可以看出，如果在时域对信号抽样，则其频域的特征就是频谱的周期延拓，这也是傅里叶变换的最基本特征。

离散信号和模拟信号的频域关系如图2.5.4所示。图2.5.4离散信号和模拟信号的频域关系(a)原信号频谱;(b)采样信号的频谱;(c)离散时间信号的频谱从图2.5.4可以清楚地看出，根据数字角频率和模拟角频率的关系式ω=ΩT，模拟信号的频谱图中的Ωs映射到离散信号频谱图中的2π，相应地，Ωs/2→π，Ωmax→ωmax。2.5.3A/D及D/A转换

我们周围的很多信号，如声音和图像信号大都是非电信号。为了将非电信号转换成电信号，要用到各种相应的传感器。各种信号的传感器是不同的，麦克风是最普通的声音传

感器;光的变化可通过半导体器件记录，如电荷藕合器件(CCD)，其载流能力随着入射光的强度而变化;其他传感器还有应力传感器、压力传感器和流量传感器等。这些传感器的

输出通常为与被测信号成比例的模拟电信号(电压或电流)，为了能够用数字信号的处理方法对其进行处理，模拟电信号必须转换成数字信号，即为模/数(A/D)转换。

1.模／数(A/D)转换

A/D转换一般分两步，第一步是采样。采样通常为等间隔采样，在每一个采样点对模拟信号进行采样，且将该采样值保持到下一个采样点，这一过程称为采样保持(Sampleand

Hold)。为了避免混叠，应满足采样定理。

第二步是对采到的模拟值进行量化(Quantization)和数字化。采样保持期间有足够的时间完成这一步。

对每个采样点采样结束后，转换器尽快选择与采样保持电平最接近的量化电平，然后分配一个二进制数字代码来标识这个量化电平，至此，便完成了模／数转换过程。图2.5.5模／数转换过程示意图上述过程如图2.5.5所示，图2.5.5(a)所示为某模拟信号;图2.5.5(b)为图2.5.5(a)中模拟信号的采样保持信号，图中竖的虚线标明采样点；图2.5.5(c)给出了图2.5.5(b)的数字信号，

这个数字信号表示每个采样点的量化电平，用每个采样点上顶端带小圆圈的竖线表示。数字信号只在采样点这些离散时间点上有值。需要注意的是，由于计算机对信号的存储是数字方式，因此图2.5.5(c)中的数字信号值一般与该采样点的模拟信号值不可能完全一致(产生量化误差)。计算机所用的数值以二进制形式存储于存储单元中。二进制的位数取决于A/D转换器的位数。假设将取值-2.5~+1.5V的模拟电压值转换为2比特的数字信号，在2比特系统中，只有00、01、10、11这4种可能的数字值。而这些代码必须能代表任意可能的输入电压值。例如，-2.5~-1.5V的值可能编码为00，而-1.5~-0.5V的电压编码为01，依此类推。由于许多不同的电压值具有同一个代码，所以大多数A/D转换器会引入量化误差(QuantizationError)。量化时所用的比特数越多，量化误差越小，但不可能完全避免。

由此可见，A/D转换器得到的数字信号有两个重要特点：第一，所采到的数字信号的精度是由A/D转换器的位数决定的;第二，数字信号仅在采样时刻有值，在采样点之间没有定义，这就是我们强调离散时间信号x(n)只在整数n上才有定义的原因。

2.数/模(D/A)转换

对A/D转换后的信号，用数字信号处理的方法处理完成后，如果需要输出的是模拟信号，还要将数字信号转换为模拟信号的形式，称为数/模(D/A)转换。例如，数字信号不适合驱动扬声器，为了再现声音，需要输出模拟信号。D/A转换一般也分两步。第一步是把数字信号转换为与其成比例的模拟信号，也就是将数字信号保持一个采样周期，称为零阶保持(ZeroOrderHold，ZOH)。零阶保持信号是模拟信号，但其阶梯形状与最初被采样的模拟信号不一致。因此，D/A转换的第二步就是平滑该零阶保持信号，该过程如图2.5.6所示。图2.5.6(a)所示为数字信号，每个采样点处的高度对应数字代码得到的模拟电压;图2.5.6(b)所示为对应的零阶保持信号;图2.5.6(c)所示为最终的模拟信号。图2.5.6数／模转换过程示意图作为总结，图2.5