2024年高一数学第二学期期末试卷及答案（共三套）

…………○…………外…………○…………装…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2024年高一数学第二学期期末试卷及答案（共三套）2024年高一数学第二学期期末试卷及答案（一）一.选择题1.两直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，则它们之间的距离为（

）A.

4

B.

C.

D.

2.将边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（

）A.

1

B.

C.

D.

3.下列命题正确的是（

）A.

两两相交的三条直线可确定一个平面

B.

两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行

C.

过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行

D.

和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线4.在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（

）

①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；

②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；

③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线．A.

0

B.

1

C.

2

D.

35.已知直线l1：x+2ay﹣1=0，与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是（

）A.

0或1

B.

1或

C.

0或

D.

6.如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是（

）A.

（﹣3，﹣1）∪（1，3）

B.

（﹣3，3）

C.

[﹣1，1]

D.

[﹣3，﹣1]∪[1，3]7.若圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）上有且只有一点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，则实数m的值为（

）A.

4

B.

16

C.

4或16

D.

2或48.已知二面角α﹣l﹣β为60°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，CD⊂β，C∈l，∠ACD=135°，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（

）A.

B.

C.

D.

9.如图，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是（

）

A.

4

B.

5

C.

6

D.

710.点P是双曲线﹣=1的右支上一点，M是圆（x+5）2+y2=4上一点，点N的坐标为（5，0），则|PM|﹣|PN|的最大值为（

）A.

5

B.

6

C.

7

D.

811.m，n，l为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，则下列说法正确的是（

）A.

m⊥l，n⊥l，则m∥n

B.

α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β

C.

m∥α，n∥α，则m∥n

D.

α∥γ，β∥γ，则α∥β12.曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.

二.填空题13.如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为________．

14.若过定点M（﹣1，0）且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2﹣5=0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________．15.若点P在圆上，点Q在圆上，则|PQ|的最小值是________．16.直线x+7y﹣5=0分圆x2+y2=1所成的两部分弧长之差的绝对值为________．三.解答题17.已知△ABC三边所在直线方程：lAB：3x﹣2y+6=0，lAC：2x+3y﹣22=0，lBC：3x+4y﹣m=0（m∈R，m≠30）．（1）判断△ABC的形状；（2）当BC边上的高为1时，求m的值．18.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为等边三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．

（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．

答案解析部分一.<b>选择题</b>1.【答案】D

【考点】两条平行直线间的距离

【解析】【解答】解：∵直线3x+y﹣3=0与6x+my+1=0平行，

∴，解得m=2．

因此，两条直线分别为3x+y﹣3=0与6x+2y+1=0，

即6x+2y﹣6=0与6x+2y+1=0．

∴两条直线之间的距离为d===．

故答案为：D

【分析】根据两条直线平行的一般式的系数关系可求出m=2，进而得到两条直线的方程，再利用两条平行线间的距离公式可得结果。2.【答案】D

【考点】球的体积和表面积

【解析】【解答】解：∵边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D，

∴=1，AC=2，

取AC中点O，连结DO，BO，则DO=BO==1，

且DO⊥平面ABC，

∴VD﹣ABC==，

BD==，AB=BC=AD=DC=，

∴=，

=1，

∴四面体ABCD的表面积S=S△ADC+S△ABC+S△ABD+S△BCD

=2+，

∴四面体ABCD的内切球的半径r===2﹣．

故答案为：D．

【分析】利用已知条件把VD﹣ABC转化为四个小三棱锥的体积之和，每个小三棱锥的高就是内切球的半径，故得r=，即得结果。3.【答案】C

【考点】平面的基本性质及推论

【解析】【解答】解：对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；

对于B，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；

对于C，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故C正确；

对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．

故答案为：C．

【分析】根据平面的基本性质及推论得到A、B、C选项的反例即可。4.【答案】A

【考点】命题的真假判断与应用

【解析】【解答】解：当过平面α外的两点在垂直于平面α的直线上时，命题①不成立；

不共线三点在平面α，β的两侧时，②不成立；

无数条直线平行时，③不成立；

在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1与B1C1是异面直线，AA1在面ABCD中的射影是点，故④错．

故选A．

【分析】根据平面的性质以及推论可得到命题①②③④的反例，故不正确。5.【答案】C

【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系

【解析】【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，

它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．

当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，

由≠，解得：a=．

综上，a=0或，

故答案为：C．

【分析】分情况讨论当a=0时，两直线的斜率都不存在，但两直线平行是成立的。当a≠0时，两条直线平行斜率相等可得a的值，故a=0或

.6.【答案】D

【考点】圆的标准方程

【解析】【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8的圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，

由圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在点到原点的距离为，

∴2﹣≤|a|≤2+，

∴1≤|a|≤3解得1≤a≤3或﹣3≤a≤﹣1．

∴实数a的取值范围是[﹣3，﹣1]∪[1，3]．

故答案为：D

【分析】由题意可知，当圆心到直线的距离位于：半径减去到半径加上这个范围内时，总会存在这样的点到原点的距离为。7.【答案】A

【考点】直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：∵圆C：（x﹣5）2+（y+1）2=m（m＞0）

上有且只有一点到直线4x+3y﹣2=0的距离为1，

∴圆心（5，﹣1）到直线4x+3y﹣2=0的距离d=r+1，

∴d==+1，

解得m=4．

故答案为：A．

【分析】利用圆心到直线的距离d=r+1可求出m的值。8.【答案】B

【考点】异面直线及其所成的角

【解析】【解答】解：如图，过A点做AE⊥l，使BE⊥β，垂足为E，过点A做AF∥CD，过点E做EF⊥AE，连接BF，

∵AE⊥l∴∠EAC=90°

∵CD∥AF又∠ACD=135°

∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°

在Rt△BEA中，设AE=a，则AB=2a，BE=a，

在Rt△AEF中，则EF=a，AF=a，

在Rt△BEF中，则BF=2a，

∴异面直线AB与CD所成的角即是∠BAF，

∴cos∠BAF===．

故答案为：B．

【分析】由已知作出辅助线，找到两条异面直线所成的角是∠BAF，根据三个直角三角形的边的关系，由余弦定理可求出cos∠BAF的值。9.【答案】B

【考点】弦切角

【解析】【解答】解：由已知及弦切角定理可得：∠DCF=∠DAC①

又∠DAC=∠DBC，

所以：∠DCF=∠DBC②．

又AC平分∠BAD，

∠DCF=∠BAC③，

又∠BDC=∠BAC，

所以：∠DCF=∠BDC④，

又由弦切角定理可得：∠BAC=∠BCE，

所以：∠DCF=∠BCE⑤，

综上，图中与∠DCF相等的角的个数是5．

故答案为：B．

【分析】根据已知条件以及弦切角定理推导可得。10.【答案】D

【考点】双曲线的简单性质

【解析】【解答】解：双曲线﹣=1的右支中，∵a=3，b=4，c=5，

∴F1（﹣5，0），F2（5，0），

∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，

∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，

所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2||

=6+2

=8．

故选D

【分析】利用双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a=6故|MP|≤|PF1|+|MF1|即|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2||=811.【答案】D

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系

【解析】【解答】解：由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m∥n，在空间不成立，故错误；

若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行与可能相交，故错误；

m∥α，n∥α，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；

α∥γ，β∥γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α∥β，正确．

故答案为：D．

【分析】利用空间中直线与平面之间的位置关系可得出A、B、C选项的反例。12.【答案】D

【考点】直线与圆相交的性质

【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：

由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），

又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，

当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，

解得：k=；

当直线l过B点时，直线l的斜率为=，

则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．

故答案为：

【分析】根据题意作出图像，由已知可得：当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即得k的值；当直线l过B点时，直线l的斜率为，故直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围在这两个值之间即可。二.<b>填空题</b>13.【答案】10

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积

【解析】【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个俯视图为底面的三棱锥，

底面面积S=×5×4=10，

高h=3，

故体积V==10，

故答案为：10．

【分析】根据三视图可得该几何体是一个三棱锥,由已知利用三棱锥的体积公式可求出结果。14.【答案】（0，）

【考点】直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+2）2+y2=9，

∴圆心坐标为（﹣2，0），半径r=3，

令x=0，则，

设A（0，），又M（﹣1，0），

∴，

又∵直线过第一象限且过（﹣1，0）点，

∴k＞0，又直线与圆在第一象限内有交点，

∴k＜=，

则k的取值范围是（0，）．

故答案为：（0，）

【分析】首先求出圆与y轴的交点，即得kMA=，根据题意直线与圆在第一象限内的部分有交点，故直线的斜率

0<k＜.15.【答案】2

【考点】圆与圆的位置关系及其判定

【解析】【解答】解：据题意易求，又两圆的半径分别为1和2，

故|PQ|的最小值为：|C1C2|﹣2﹣1=2．

故答案为2．

【分析】先求出两个圆的圆心之间的距离，最小值就是这个距离减去两个圆的半径之和。16.【答案】π

【考点】直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：解：圆x2+y2=1的圆心（0，0）到直线x+7y﹣5=0的距离为：

d==，

故弦长为2=2=，

故弦所对的圆心角为，两段弧长之比为3：1，

两段弧长之差的绝对值是=π．

故答案为：π．

【分析】根据弦长和圆心到直线的距离可求出弦所对的圆心角为，由圆心角的大小进而得到两段弧的长度之比，故得到两部分弧长之差为π。三.<b>解答题</b>17.【答案】（1）解：直线AB的斜率为，直线AC的斜率为，

所以kAB•kAC=﹣1，

所以直线AB与AC互相垂直，

因此，△ABC为直角三角形

（2）解：解方程组，得，即A（2，6）．

由点到直线的距离公式得

当d=1时，，即|30﹣m|=5，

解得m=25或m=35．

【考点】三角形的形状判断

【解析】【分析】1、由已知的直线方程可分别求出直线的斜率，可求出kAB•kAC=﹣1，即得三角形的形状。

2、联立两条直线的方程先求出顶点A的坐标，再利用点到直线的距离公式求出d的表达式，令d=1求出m的值即可。18.【答案】（1）证明：如图所示，

连接B1C交BC1于O，连接OD，

因为四边形BCC1B1是平行四边形，

所以点O为B1C的中点，

又因为D为AC的中点，

所以OD为△AB1C的中位线，

所以OD∥B1A，

又OD⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD，

所以AB1∥平面C1BD．

（2）证明：因为△ABC是等边三角形，D为AC的中点，

所以BD⊥AC，

又因为AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BD，

根据线面垂直的判定定理得BD⊥平面A1ACC1，

又因为BD⊂平面C1BD，

所以平面C1BD⊥平面A1ACC1

（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，

∴S△BCD=×3×3=，

∴==••6=9．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定

【解析】【分析】1、根据已知条件作辅助线：连接B1C交BC1于O，连接OD，由题意可得OD∥B1A，利用线面平行的判定定理可得证。

2、利用线面垂直的性质定理和判定定理可得证。

3、利用等体积法转化顶点和底面可求出体积。2024年高一数学第二学期期末试卷及答案（二）本试卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.若实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.2.对变量有观测数据理据…，10），得散点图1：对变量有观测数据…，10），得散点图2，由这两个散点图可以判断（）A.变量x与y正相关，u与v正相关B.变量x与y正相关，u与v负相关C.变量x与y负相关，u与v正相关D.变量x与y负相关，u与v负相关3.从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）。设甲乙两组数据的平均数分别为，中位数分别为，，则（）A. B.C. D.4.执行下面的程序框图，如果输入a＝4，那么输出的n的值为（）A.2 B.3 C.4 D.55.公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为（）A. B. C.3 D.－36.下列命题中正确的是（）A.若两条直线都平行于同一个平面，则这两条直线平行；B.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直；C.若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面；D.若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线共面。7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A. B. C. D.28.在△ABC中，，BC边上的高等于，则cosA＝（）A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共30分）9.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________。10.若满足，则的最大值为_____________。11.如图所示，在某路段检测点，对180辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为如下频率分布直方图，则车速不小于90km/h的汽车约有__________辆。12.边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为__________。13.若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是_____________。14.数列中，如果对任意都有（k为常数），则称为等差比数列，k称为公差比，现给出下列命题：①等差比数列的公差比一定不为0；②等差数列一定是等差比数列；③若，则数列是等差比数列；④若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比；其中正确的命题的序号为___________。三、解答题（共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题12分）在△ABC中，角。（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）求的最大值。16.（本小题13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间。为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号12345A型待机时间（h）120125122124124B型待机时间（h）118123127120a已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等。（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率。17.（本小题13分）如图，在三棱柱中，⊥底面ABC，∠BAC＝90°，，。M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱上的动点。（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面；（Ⅱ）若P为线段的中点，求证：∥平面APM；（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直，若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由。四、填空题（每小题3分，共15分，请将答案填在题中的横线上）18.记为区间的长度，已知函数，其值域为，则区间的长度的最小值是__________。19.设三棱柱的体积为10，点P，Q分别是侧棱、上的点，且，则四棱锥的体积为__________。20.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（1，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有_______种（用数字作答）。21.函数在区间上的最大值是5，则实数a的取值范围是__________。22.设函数的最大值为M，最小值为m，则＝__________。五、解答题（共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23.（本小题11分）设，不等式的解集记为集合P。（Ⅰ）若，求m的值；（Ⅱ）当时，求集合P；（Ⅲ）若，求m的取值范围。24.（本小题12分）已知是递增的等差数列，为的前n项和，且成等差数列。（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求…的值；（Ⅲ）若集合中有且仅有2个元素，求实数的取值范围。25.（本小题12分）有限数列…，同时满足下列两个条件：①对于任意的；②对于任意的三个数中至少有一个数是数列中的项。（Ⅰ）若，且，求a的值；（Ⅱ）证明：2，3，5不可能都是数列中的项；（Ⅲ）求n的最大值。

【试题答案】一、选择题（每小题4分，共32分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）12345678DCBBCDAC二、填空题（每小题5分，共30分）9.12 10.9 11.5412. 13. 14.①③④三、解答题（共38分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.解：（Ⅰ）由余弦定理及题设，得。由正弦定理，得。（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠A＋∠B＝，因为0＜∠A＜，所以当∠A＝，取得最大值1。16.解：（Ⅰ），，由，解得。（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为，则。（Ⅲ）设A型号手机为；B型号手机为，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C。从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有25种。抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A1，B1），（A1，B4），（A3，B1），（A3，B4），共4种。因此，所以，所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是。17.解：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB＝AC，所以AM⊥BC，又因为∥，且⊥底面ABC，所以⊥底面ABC。因为AM底面ABC，所以⊥，又∩BC＝B，所以AM⊥平面。又因为平面APM，所以平面APM⊥平面。（Ⅱ）取中点D，连结由于D，M分别为的中点，所以DM∥，且，则四边形为平行四边形，所以∥AM。又平面APM，平面APM，所以∥平面APM。由于D，N分别为的中点，所以DN∥。又P，M分别为的中点，所以MP∥B1C。则DN∥MP，又平面APM，平面APM，所以DN∥平面APM。由于∩DN＝D，所以平面∥平面APM，由于平面，所以∥平面APM。（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，由平面APM，则BC1⊥PM。设，当⊥PM时，∠BPM＝∠，所以Rt△PBM∽Rt△∠，所以。由已知，所以，得，由于，因此直线与平面APM不能垂直。四、填空题（每小题3分，共15分，请将答案填在题中的横线上）18.3 19.10/3 20.10种 21.22.2解析：因为，所以，可构造，则的最大值为M－1，最小值为。又因为是奇函数，所以，即。五、解答题（共35分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）23.解：（Ⅰ）因为，所以方程的两根为－1和2。将代入上述方程，得，解得。（Ⅱ）不等式可化为，当时，方程的两根为和2。①当，即时，解得，②当，即时，解得或，③当，即时，解得或。综上，当时，；当时，；当时，。（Ⅲ）依题意，当时，不等式恒成立。当时，原不等式化为，即，适合题意。当时，由（Ⅱ）可得时，适合题意。当时，因为，所以。此时必有成立，解得。综上，若，则m的取值范围是。24.解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d。由，可得，由成等比数列，可得，所以解得（舍）或所以数列的通项公式为。（Ⅱ）解可得，所以数列中，其余各项均大于零，所以…＝…。（Ⅲ）设，，令，得，所以…又由，知，其余各项均大于零。在中，，且…计算得，所以，的取值范围是。25.解：（Ⅰ）由①，得，由②，当时，，12中至少有一个是数列1，2，a，6中的项，但，故，解得a。经检验，当时，符合题意。（Ⅱ）假设2，3，5是数列中的项，由②可知：6，10，15中至少有一个是数列中的项，则有限数列的最后一项，且。由①，，对于数，由②可知：；对于数，由②可知：。所以，这与①矛盾，所以2，3，5不可能是数列中的项。（Ⅲ）n的最大值为9，证明如下：（1）令，则符合①、②。（2）设…符合①、②，则：（i）中至多有三项，其绝对值大于1，假设中至少有四项，其绝对值大于1，不妨设是中绝对值最大的四项，其中。则对有，故均不是数列中的项，即是数列中的项。同理：也是数列中的项。但，所以，所以，这与①矛盾。（ii）中至多有三项，其绝对值大于0且小于1，假设中至少有四项，其绝对值大于0且小于1，类似（i）得出矛盾。（iii）中至多有两项绝对值等于1。（iv）中至多有一项等于0。综合（i），（ii），（iii），（iv）可知中至多有9项。由（1），（2）可得，n的最大值为9。2024年高一数学第二学期期末试卷及答案（三）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A． B． C． D．2．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则 D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定5．在等差数列{an}中，若a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于（）A．8 B．13 C．16 D．266．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A． B． C．或 D．或7．若ax2+x+a＜0的解集为∅，则实数a取值范围（）A．a≥ B．a＜ C．﹣≤a≤ D．a≤﹣或a≥8．设{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=30°，a=1．现在给出下列四个条件：①B=45°；②b=2sinB；③c=；④2c﹣b=0；若从中选择一个条件就可以确定唯一△ABC，则可以选择的条件是（）A．①或② B．②或③ C．③或④ D．④或①10．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A．2 B．8 C． D．11．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，，a1成等差数列，则的值为（）A． B． C． D．或12．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{an}的通项公式为an=，则其前n项的和Sn=______．14．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C.D.[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．[解法2]，．△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．你认为______是正确的（填“解法1”或“解法2”）15．已知f（x）=，则f（）+f（）+…f（）+f（1）+f（2）+…+f对正整数m的3次幂进行如下方式的“分裂”：仿此规律，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．（2）若对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．18．在等差数列{an}中，已知第10项等于17，前10项的和等于80．从该数列中依次取出第3项、第32项…第3n项，并按原来的顺序组成一个新数列{bn}．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．19．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（Ⅰ）写出y与x之间的函数关系式；（Ⅱ）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）．20．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC+c=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．21．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=2﹣（）n﹣1（n∈N*）．（Ⅰ）令bn=2nan，求证：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）令cn=an，求数列{cn}的前n项和Tn．22．如图，在等腰直角三角形△OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上．（1）若OM=，求PM的长；（2）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：当∠POM取何值时，△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．

参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．若数列的前4项分别是，则此数列的一个通项公式为（）A． B． C． D．【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】由数列的前4项分别是，可知：第n项的符号为（﹣1）n+1，其绝对值为．即可得出．【解答】解：由数列的前4项分别是，可知：第n项的符号为（﹣1）n+1，其绝对值为．因此此数列的一个通项公式为an=．故选：C．2．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣3＜a﹣b＜1C．若a＞b＞0，m＞0，则 D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd【考点】不等关系与不等式；命题的真假判断与应用．【分析】A．举出反例：取c=0时不成立；B．由1＜b＜2，可知﹣2＜﹣b＜﹣1，进而可求出a﹣b的范围；C．由不等式的性质可知正确；D．举出反例5＞2，﹣1＞﹣2，可否定之．【解答】解：A．取c=0时，虽然a＞b，但是ac2=bc2；B．∵1＜b＜2，∴﹣2＜﹣b＜﹣1，又﹣2＜a＜3，∴﹣4＜a﹣b＜2，故B不正确；C．∵a＞b＞0，∴，又∵m＞0，∴；D．虽然5＞2，﹣1＞﹣2，但是﹣5＜﹣4，故D不正确．综上可知：正确答案为C．故选C．3．已知集合P={0，m}，Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（）A．2 B．1 C．1或2 D．1或【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】先求出集合P，然后根据P∩Q≠∅，则集合P中含有集合Q的元素，从而求出m的取值．【解答】解：Q={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}={x|0＜x，x∈Z}={1，2}集合P={0，m}，P∩Q≠∅，集合P中含有集合Q的元素，∴m=1或2故选C4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【考点】三角形的形状判断．【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值进而求得A，判断出三角形的形状．【解答】解：∵bcosC+ccosB=asinA，∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=sin2A，∵sinA≠0，∴sinA=1，A=，故三角形为直角三角形，故选：A．5．在等差数列{an}中，若a3+a5+2a10=4，则此数列的前13项的和等于（）A．8 B．13 C．16 D．26【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质和已知可得a7=1，再由等差数列的求和公式和性质可得S13=13a7，代值计算可得．【解答】解：∵在等差数列{an}中a3+a5+2a10=4，∴2a4+2a10=4，∴a4+a10=2，∴2a7=2，解得a7=1，∴数列的前13项的和S13===13a7=13×1=13，故选：B．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为（）A． B． C．或 D．或【考点】余弦定理的应用．【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D7．若ax2+x+a＜0的解集为∅，则实数a取值范围（）A．a≥ B．a＜ C．﹣≤a≤ D．a≤﹣或a≥【考点】一元二次不等式的解法．【分析】理解题意，即该不等式无实解．【解答】解：∵ax2+x+a＜0的解集为∅，∴8．设{an}（n∈N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，an=sn﹣sn﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为Sn的最大值，故D正确；故选C．9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=30°，a=1．现在给出下列四个条件：①B=45°；②b=2sinB；③c=；④2c﹣b=0；若从中选择一个条件就可以确定唯一△ABC，则可以选择的条件是（）A．①或② B．②或③ C．③或④ D．④或①【考点】正弦定理．【分析】对于①，由正弦定理可得b，利用三角形内角和定理可求C，满足条件的三角形有1个；对于②，由正弦函数的图象和性质可知当时，B有两解，满足条件的三角形有2个；对于③，由正弦定理可得sinC，结合范围可求C的值有两解，故不正确；对于④，利用余弦定理即可整理解得唯一确定的c，b，满足条件的三角形有1个．【解答】解：∵A=，a=1．对于：①B=，由正弦定理可得：b==，C=π﹣A﹣B=，满足条件的三角形有1个，故正确；对于：②b=2sinB，B∈（0，），由正弦函数的图象和性质可知当时，即，1＜b＜2时，B有两解，满足条件的三角形有2个，故不正确；对于：③c=，由正弦定理可得：sinC==，由C∈（0，），可得：C=或，满足条件的三角形有2个，故不正确；对于：④2c﹣b=0，可得：b=，由余弦定理可得：1=（）2+c2﹣××c，整理解得：c=，b=2，满足条件的三角形有1个，故正确；故选：D．10．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc=16，则三角形的面积为（）A．2 B．8 C． D．【考点】正弦定理．【分析】先根据正弦定理求得sinC=代入三角形面积公式根据abc的值求得答案．【解答】解：∵=2R=8，∴sinC=，∴S△ABC=absinC=abc=×16=．故选C11．各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，，a1成等差数列，则的值为（）A． B． C． D．或【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【分析】设{an}的公比为q（q＞0且q≠1），由已知可解得q，而=，代入即可．【解答】解：设{an}的公比为q（q＞0且q≠1），由a3=a2+a1，得q2﹣q﹣1=0，解得q=，而===故选B12．设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b=a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2 B．a∧b≥2，c∨d≥2 C．a∨b≥2，c∧d≤2 D．a∨b≥2，c∨d≥2【考点】函数的值．【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知数列{an}的通项公式为an=，则其前n项的和Sn=．【考点】数列的求和．【分析】利用裂项法可得an=2（﹣），从而可得其前n项的和Sn的值．【解答】解：∵an==2（﹣），∴Sn=a1+a2+…+an=2[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2（﹣）=1﹣=．故答案为：．14．下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？[题]在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C.D.[解法1]△ABC有两解，asinB＜b＜a，xsin45°＜2＜x，即，故选C．[解法2]，．△ABC有两解，bsinA＜a＜b，，即0＜x＜2，故选B．你认为解法1是正确的（填“解法1”或“解法2”）【考点】进行简单的演绎推理．【分析】若a＜b，则A＜B，结合B=45°，可得△ABC只有一解，故可得结论．【解答】解：解法1正确∵若a＜b，则A＜B，∵B=45°，∴△ABC只有一解，故解法2不正确故答案为：解法115．已知f（x）=，则f（）+f（）+…f（）+f（1）+f（2）+…+f+f（）=2，从而求出答案．【解答】解：f（x）=，f（）==，∴f（x）+f（）=2，∴f（）+f（）+…f（）+f（1）+f（2）+…+f+f+f+f（2）]+f（1）=2×2015+1=4031，故答案为：4031．16．对正整数m的3次幂进行如下方式的“分裂”：仿此规律，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值是15．【考点】归纳推理．【分析】首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再看出每一组分裂中的第一个数是底数×（底数﹣1）+1，问题得以解决．【解答】解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，…发现奇数的个数与前面的底数相同，每一组分裂中的第一个数是底数×（底数﹣1）+1，∴153，分裂中的第一个数是：31=15×14+1=211，∴若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值是15．故答案为：15．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．（2）若对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）当m=0时，f（x）=mx2﹣mx﹣1=﹣1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则有，由此能求出m的取值范围．（2）由f（x）＜﹣m+5，知（x2﹣x+1）m﹣6＜0，由对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，知只需2（x2﹣x+1）﹣6＜0，解得﹣1＜x＜2．由此能求出x的取值范围．【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=mx2﹣mx﹣1=﹣1，对一切实数x，f（x）＜0恒成立；当m≠0时，若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，则有，∴﹣4＜m＜0，综上，m的取值范围是（﹣4，0]．（2）∵f（x）＜﹣m+5，∴mx2﹣mx﹣1＜﹣m+5，∴（x2﹣x+1）m﹣6＜0，∵对一切实数m∈[﹣2，2]，f（x）＜﹣m+5恒成立，且x2﹣x+1＞0，∴只需2（x2﹣x+1）﹣6＜0，解得﹣1＜x＜2．∴x的取值范围是（﹣1，2）．18．在等差数列{an}中，已知第10项等于17，前10项的和等于80．从该数列中依次取出第3项、第32项…第3n项，并按原来的顺序组成一个新数列{bn}．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．（Ⅱ），再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知，设{an}公差为d，∵第10项等于17，前10项的和等于80，则，解得a1=﹣1，d=2，∴an=﹣1+2（n﹣1）=2n﹣3．（Ⅱ），∴Tn=b1+b2+…bn=2（3+32+…+3n）﹣3n==3n+1﹣3n﹣3．19．某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元．（Ⅰ）写出y与x之间的函数关系式；（Ⅱ）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）．【考点】数列与函数的综合；函数模型的