鲁教版七年级数学上册第三章勾股定理第2课时勾股定理的验证课件

第三章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的验证基础过关全练知识点2勾股定理的验证1.(2023浙江湖州长兴期中)意大利著名画家达·芬奇用一张

纸片剪拼出不一样的空洞,而两个空洞的面积是相等的,如图

所示,若设左边图中空白部分的面积为S1,右边图中空白部分

的面积为S2,小聪同学得出了以下四个结论:①S1=a2+b2+ab;②

S2=c2+ab;③S1=S2;④a2+b2=c2.其中正确的有

(

)A.1个

B.2个C.3个

D.4个D解析由题意得S1=S2=a2+b2+2×

ab=a2+b2+ab=c2+ab,∴a2+b2=c2,故①②③④正确,故选D.2.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其

中两个全等的直角三角形的边AE和EB在一条直线上.证明

中用到的面积相等的关系是

(

)A.S△EDA=S△CEBB.S△EDA+S△CEB=S△CDEC.S四边形CDAE=S四边形CDEBD.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCDD解析从整体看,可按梯形的面积公式计算梯形的面积.从部

分看,直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积和,故选D.3.(情境题·数学文化)(2023江苏扬州中考)我国古代数学家赵

爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为

“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形和一个小正方

形组成的.如图,直角三角形的直角边长为a、b,斜边长为c,若

b-a=4,c=20,则每个直角三角形的面积为

.

96解析根据勾股定理可知a2+b2=c2=202,∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面

积,∴c2=4×

ab+(b-a)2,即400=2ab+42,整理得2ab=384,∴每个直角三角形的面积为

ab=96.故答案为96.4.(2024山东泰安肥城期中)中国古代数学家们对于勾股定理

的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位.现用

4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,请你利用这个图形解决下列问题.(1)试说明a2+b2=c2.(2)如果大正方形的面积是12,小正方形的面积是4,求(a+b)2.解析

(1)由题意可得大正方形的面积为c2,每个直角三角形

的面积为

ab,小正方形的面积为(b-a)2,∴c2=4×

ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2,即c2=a2+b2.(2)易知(b-a)2=4,4×

ab=12-4=8,∴2ab=8,∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=4+2×8=20.知识点3勾股定理的简单应用5.(2023重庆七中期中)如图,一棵大树在一次强台风中于离

地面10m处折断倒下,倒下部分的树梢到树的距离为24m,则

这棵大树折断处到树顶的长度是

(

)

A.10m

B.15m

C.26m

D.30mC解析

如图,易知△ABC是直角三角形,AB=10m,AC=24m,∴BC2=AB2+AC2=102+242=676,∴BC=26m,∴这棵大树折断处

到树顶的长度是26m.

6.一个直角三角形菜园,一条直角边长为5m,斜边长为13m,

则这个菜园的面积为

(

)A.30m2

B.32.5m2

C.26m2

D.60m2A解析由题意得另一条直角边长的平方=132-52=144,所以另一条直角边长为12m,所以这个菜园的面积为

×5×12=30(m2).故选A.7.(2023广东揭阳普宁期末)如图,某自动感应门的正上方A处

装着一个感应器,离地面的距离AB=2.4米,当人体进入感应器

的感应范围内时,感应门就会自动打开.当身高为1.8米的市

民(CD)正对门缓慢走到离门0.8米的地方时(即BC=0.8米),感

应门自动打开,此时人头顶离感应器的距离AD等于

米.

1解析如图,过点D作DE⊥AB于点E,∵AB=2.4米,BE=CD=1.8米,ED=BC=0.8米,∴AE=AB-BE=2.4-1.8=0.6(米),在Rt△ADE中,由勾股定理得,AD2=AE2+DE2=0.62+0.82=1,∴AD=1米.∴人头顶离感应器的距离AD等于1米.故答案为1.能力提升全练8.(新考法)(2023山东日照中考,9,★★☆)已知直角三角形的

三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个

较小的正方形放置在最大的正方形内,如图,设三个正方形无

重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则(

)A.S1>S2

B.S1<S2C.S1=S2

D.S1,S2大小无法确定C解析∵直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,∴该直角三角形的斜边为c,∴c2=a2+b2,∴c2-a2-b2=0,∴S1=c2-a2-b2+b(a+b-c)=ab+b2-bc,∵S2=b(a+b-c)=ab+b2-bc,∴S1=S2,故选C.9.(2024山东淄博高新实验中学期中,10,★★☆)有一个面积

为1的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两

个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,

再经过一次“生长”后,变成了如图所示的图形,如果继续

“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,则“生长”了2023

次后形成的图形中所有的正方形的面积和是

(

)DA.22023

B.22024

C.2023

D.2024解析由题意得,正方形A的面积为1,易知正方形B的面积+

正方形C的面积=1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有的

正方形的面积和为2,同理可得,“生长”了2次后形成的图形

中所有的正方形的面积和为3,“生长”了3次后形成的图形

中所有的正方形的面积和为4,……∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024,故选D.10.(2022江苏苏州月考,24,★★☆)勾股定理神秘而美妙,它

的证法多样,其巧妙各有不同.当两个全等的直角三角形按如

图所示的方式摆放时,连接CD,可以用面积法来证明勾股定

理,请写出证明过程.

证明如图,连接DB,作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,由题意可知,△ADE≌△BAC,∠DEA=∠ACB=90°,∴∠ADE=∠BAC,∠DAE+∠ADE=90°,AC=DE=b,∴∠DAE+∠BAC=90°,即∠BAD=90°,易证△CDF≌△DCE,∴DF=CE=b-a,

=S△ADB+S△DCB=

c2+

a(b-a),

=S△ACD+S△ABC=

b2+

ab,∴

b2+

ab=

c2+

a(b-a),∴a2+b2=c2.素养探究全练11.(几何直观)2002年国际数学家大会的会徽是一个“弦

图”(如图1),它是由4个全等的直角三角形(不是等腰三角形)

拼接而成的.如图2,在线段AE和CG上分别取点P和点Q,使AP

=CQ,连接DP,BP,DQ,BQ,构成了一个“压扁”的弦图.问题:

线段AE,CG上是否存在不同于端点的点P,点Q,使得“压

扁”的弦图(四边形PBQD)中,4个直角三角形的面积依然满

足S1=S2=S3=S4?

(

)C

A.存在且唯一

B.存在多个C.不存在

D.无法确定解析因为△BCG≌△CDH≌△DAE≌△ABF,所以CG=DH=AE