工程力学 第5版 课件 第7章 动力学普遍定理

第七章动力学普遍定理动力学基本方程及其动静法是解决动力学问题的基本方法之一，但是在实际运用中，通过使用几个动力学普遍定理，可以省却前期的推导，在引入一些导出的物理量后，能更直观且简单地解决某些特定类型的问题。引入这些概念，也有助于更深入地理解物体机械运动的一些特性。第七章动力学普遍定理7.1动量定理7.2动量矩定理7.3

动能定理7.4功率与功率方程第七章动力学普遍定理7.1动量定理第七章动力学普遍定理7.1动量定理质点动量定理质点的质量与其速度的乘积称为质点的动量.某瞬时质量为m的质点的动量p

:动量的单位:kg·m/s质点的动量是矢量，方向与质点速度的方向一致。动量的量纲:MLT-17.1动量定理质点动量定理物体运动状态的改变不仅与作用其上的力有关，还与力作用的时间有关。把力与其作用时间的乘积称为冲量，反映力在一段时间内对物体作用的累积效果。冲量是矢量，用I表示，方向与力一致。若力F

为常矢量,则:若力F

随时间变化,则在微小时间段内:单位:N·s牛顿·秒7.1动量定理质点动量定理一个质量为m

的质点受到力F

的作用，根据牛顿第二定律质点的加速度：

上述公式表明作用在质点上的力F

等于质点动量的变化率

将上式从t1

至t2

积分，可得7.1动量定理质点系动量定理在直角坐标系下进行投影，可得若作用在质点上的力有多个，则需要考虑每个力的冲量，则有7.1动量定理质点动量定理中国古代·东汉·王充《论衡·状留篇》“是故湍濑之流，沙石转而大石不移。何者?大石重而沙石轻也”“是故车行于陆，船行于沟，其满二重者行迟，空而轻者行疾。”7.1动量定理质点系动量定理质点系的动量定义为质点系中各质点的动量的矢量和。根据质点系质心的矢径：两边对时间求导：以上可写为：质点系的动量等于质点系的质量乘以质心的速度，瞬时量。7.1动量定理质点系动量定理【问题】求图示均质杆的动量【解答】7.1动量定理质点系动量定理在考虑多个质点构成的质点系的问题时，可以将质点系中每一个质点加以单独考虑，对单个质点可写出下式：将各个质点的上式进行矢量累加得到：7.1动量定理质点系动量定理由于质点之间的相互作用力总是成对出现，等值、反向，同一直线向直角坐标系投影得到7.1动量定理质点系动量定理如作用于质点系的外力的矢量和等于0，则在运动过程中质点系的动量保持不变；如作用在质点系的外力矢量和在某一轴上投影恒为零，则在运动过程中质点系的动量在该轴上的投影保持不变。

以上结论称为质点系动量守恒定律7.1动量定理质点系动量守恒定律是自然界的普遍客观规律之一，在工程技术上应用十分广泛，例如枪炮的“后座”、火箭和喷气式飞机的反推作用等的都可以用动量守恒定律来加以解释。7.1动量定理【例题】锤子重W=300N，自高度H=1.5m静止自由下落击打工件.当锤击打工件时，工件发生变形，击打变形的时间为t=0.01s.计算锤击打工件的平均作用力的大小。7.1动量定理【求解】分析作用在锤上的力:F*

工件对锤的平均反力从

T0

至

T1从

T1

至

T27.1动量定理【例题】如图所示，物块A

的质量等于m1物块B的质量等于m2.若物块A

的加速度等于a并忽略轮的质量，计算铰O

处的反力。7.1动量定理【解答】根据运动关系:动量向坐标轴的投影:7.2动量矩定理第七章动力学普遍定理7.2动量矩定理均质对称圆盘绕质心转动其动量：

质点系的动量不能描述质点系相对于质心的运动状态，动量定理也不能阐明这种运动的规律，而必须用其他理论来解决这个问题。7.2动量矩定理动量矩的概念质点对轴的动量矩如图所示，设有质点M，其质量为m，它在与轴z

垂直的平面N

内的速度为v，动量为mv，称质点的动量mv与质点至z

轴距离r

的乘积为质点对固定轴z的动量矩，以Mz(mv)表示，即7.2动量矩定理动量矩的概念质点对轴的动量矩质点对轴的动量矩可以想象成把质点的动量视为一个“力”，考虑这个“力”对轴之矩。对固定轴的动量矩是代数量。通常规定：从z轴的正向看去，使质点绕z轴作逆时针转动的动量矩为正，反之为负。（右手定则，类似于空间力对轴的矩的正负号规定）单位:kg·m2/s7.2动量矩定理动量矩的概念质点系及刚体对轴的动量矩

质点系中各质点对固定轴z的动量矩的代数和称为质点系对固定轴z的动量矩。7.2动量矩定理动量矩的概念定轴转动刚体对转轴的动量矩:

定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。7.2动量矩定理质点动量矩定理设在平面内质点M绕与平面N垂直的z轴作圆周运动，已知质点的质量为m，某瞬时的速度为v，加速度为a，其动量为mv。根据动力学基本方程F=ma，将此式向点M处的圆周的切线方向投影，得7.2动量矩定理质点动量矩定理上式虽然是从一特例中推导出来的，但是具有普遍意义。它表明质点对某一固定轴的动量矩对于时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。这就是质点的动量矩定理的微分形式。7.2动量矩定理质点动量矩定理*严格推导由于：并且根据动量定理:则可得：7.2动量矩定理质点系动量矩定理由n个质点组成的质点系，取其中任一质点Mi，此质点的动量为mivi，作用在该质点上内力的合力为Fi(i)，外力的合力为Fi(e)。由前述质点动量矩定理有7.2动量矩定理质点系动量矩定理质点系对某一固定轴的动量矩对于时间的导数，等于质点系所有外力对同一轴之矩的代数和。这就是质点系的动量矩定理。Lz为常量，质点系动量矩守恒7.2动量矩定理质点系动量矩定理【例题】图示提升装置，滚筒直径为d，它对转轴的转动惯量为J，作用于滚筒上的主动力偶矩为T，被提升重物的质量为m，求重物上升的加速度。7.2动量矩定理质点系动量矩定理【求解】7.2动量矩定理质点系动量矩定理

离心调速器的水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各连接质量为m

的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕轴z的角速度为w0。如某瞬时此细线拉断后，杆AC与BD各与铅垂线成q角，如图所示。不计各杆质量，求此时系统的角速度。【例题】7.2动量矩定理质点系动量矩定理

系统所受外力有小球的重力及轴承的约束力，这些力对轴z之矩都等于零，故考虑用动量矩守恒求解。选整个系统为对象，受力分析则系统对轴z动量矩守恒Lz=常量开始时系统动量矩细线拉断后的动量矩根据7.3动能定理第七章动力学普遍定理7.3动能定理7.3动能定理

能量转换与功之间的关系是自然界中各种形式运动的普遍规律，在机械运动中则表现为动能定理。动能定理从能量的角度来分析质点和质点系的动力学问题。能量有各种形式，如电能、热能、机械能等，各种能量可以相互转化，例如：机床的电动机接上电源后开始转动，电能转化为机械能；机床在加工时，运动部件因摩擦发热，机械能转化为热能；零件之间相互碰撞发出声响，机械能转化为声能；各种能量相互转化的关系以及机械能量的增减都与功有关。在机械运动中，功是度量力在一段路程上对物体作用的累积效应，力作功的结果使物体的机械能发生变化。7.3动能定理外力做功力的功是力在其作用点所经过的一段路程中对物体的作用效果的度量。1.常力的功功是标量，其可以为正、负或零。功是过程量。单位：焦耳量纲：dimW=MLT-2L=ML2T-27.3动能定理外力做功2.变力的功在微段路程ds:力F在微小位移中作的功称为元功,用dW表示7.3动能定理外力做功3.合力的功设质点M受力系F1，F2，……，Fn的作用，其合力质点M在合力FR作用下沿有限曲线M1M2所作的功：7.3动能定理外力做功4.常见力的功-重力的功对于质点系而言:h:质点系质心起止位置间的高度差7.3动能定理外力做功4.常见力的功-弹性力的功胡克定律：弹簧作用于质点的弹性力F的大小与弹簧变形量d(伸长或压缩)成正比F=kdk:弹簧的刚度系数，单位：N/m弹性力的功等于弹簧的起始变形量与终止变形量的平方差和刚度系数的乘积的一半看，而与质点运动的路径无关。7.3动能定理外力做功4.常见力的功-动摩擦力做功当质点受动摩擦力作用从M1运动到M2的过程中，由于动摩擦力的方向总是与质点运动的方向相反，根据摩擦定律，Ff=mFN，在一般情况下，动摩擦力做负功。动摩擦力做功的大小与质点的运动路径有关，即若法向反力FN为常量s12为质点从M1运动到M2所经路程的曲线距离7.3动能定理外力做功4.常见力的功-作用在转动刚体上的力做的功(力偶做的功)若Mz(F)是一个常量假设力偶M

作用在刚体上:若M

是常量7.3动能定理外力做功4.常见力的功-内力做功由于质点系的内部作用力总是成对出现，且等值反向共线，它们的合力为零，对任意一点的力矩之和也为零，所以力和力矩作用的外效应是相互抵消的。需要注意的是，将物体视为变形体，或离散质点系的质点之间的距离发生变化时，质点系的内部相互作用力也将做功，所以质点系内力做功一般不为零。对于刚体而言，由于刚体内部质点之间的距离在外力作用下始终保持不变，所以刚体中内力做功之和等于零。7.3动能定理外力做功4.常见力的功-约束力做功

在许多理想情况下，约束力的功(或功之和)等于零，这样的约束称为理想约束。在本书范围内，即在静力学中已介绍过的不计摩擦的约束、不计自重的刚杆、不可伸长之绳索皆为理想约束。此外，作纯滚动的轮子对作用在轮上位于轮、地接触处的摩擦力来说，因该点为瞬心，其速度为零，瞬时无位移，故摩擦力做功为零。但对作用于轮上的滚阻力矩，因为轮有转角，所以滚阻力矩做功一般不为零。7.3动能定理外力做功【例题】重9.8N的滑块放在光滑的水平槽内，一端与刚度系数k=50N/m的弹簧连接，另一端被绕过定滑轮C的绳子拉住。滑块在位置A时，弹簧具有拉力2.5N。滑块在20N的绳子拉力作用下由位置A运动到位置B，试计算作用于滑块的所有力的功之和。已知AB=200mm，不计滑轮的大小与轴承摩擦。7.3动能定理外力做功取滑块作为研究对象，在任一瞬时(至A点x距离)进行受力分析弹性力做功，先计算A、B处弹簧的变形量7.3动能定理外力做功拉力FT做功，先计算夹角余弦计算做功所有的力做功7.3动能定理动能1.质点的动能定义

设质点的质量为m,某瞬时速度为v,则该质点的动能等于它的质量与速度二次方的乘积的一半，用Ek表示。

恒为正值，是一个与速度方向无关的正标量

单位：N·m(J)量纲：dimEk=ML2T-27.3动能定理动能2.质点系的动能

质点系内各质点的动能的总和，称为质点系的动能。

有限个离散质点构成的质点系可以算出每个质点的动能，进行代数相加。

刚体是由无数个质点组成的质点系，刚体在作不同运动时，其上各点的速度分布不同，因此刚体的动能应按照刚体的运动形式来做计算。7.3动能定理动能

平动刚体的动能等于刚体的质量与其质心速度平方乘积的一半。可将平动刚体视为一个全部质量集中在质心的质点来计算其动能。

平动刚体，其每一个瞬时刚体内各质点的速度都相同，以刚体质心的速度vC作为代表，可得：3.平动刚体的动能7.3动能定理动能4.定轴转动刚体的动能

定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量和角速度平方乘积的一半。

设刚体在某瞬时绕固定轴z转动的角速度为w，则与转动轴相距ri、质量为mi的质点的速度vi=riw，因此可得：7.3动能定理动能5.平面运动刚体的动能

刚体作平面运动时，其任一瞬时的速度分布可以看成是绕其速度瞬心做瞬时转动，因此，其瞬时的动能可按定轴转动的形式来计算：平面运动刚体的动能等于刚体随质心平动动能与绕质心转动动能之和。7.3动能定理动能【例题】

杆AB

以逆时针的角速度w

=2.5rad/s作定轴转动，计算四连杆机构在图示位置时系统的动能。单位长度的质量为:2kg/m，各杆均为均质杆。7.3动能定理动能【例题】1.计算相关速度:杆BC

的质心G

的速度7.3动能定理动能2.计算动能7.3动能定理动能【例题】

求质量为m，半径为r的均质圆轮在光滑平面上作纯滚动时的动能，设某瞬时圆轮质心的速度为v.7.3动能定理动能方法1方法27.3动能定理动能定理

质点的动能定理质点的动能定理建立起了质点的动能和作用力之间的关系得到

上式称为质点动能定理的微分形式，即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。7.3动能定理动能定理

质点的动能定理积分

质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。

若力做正功，质点动能增加，接收能量；若力做负功，质点动能减少，输出能量。7.3动能定理动能定理

质点的动能定理【例题】为测定车辆运动阻力系数K(K为运动阻力F的大小与正压力之比)，将车辆从斜面A处无初速度释放下滑。车辆滑到水平面后继续运行到C处停止。如已知斜面长度为l，高度为h，斜面(在水平面上)的投影长度为s'，水平面上车辆的运行距离为s，如图所示。求车辆运动时的阻力系数K值。7.3动能定理动能定理

质点的动能定理【求解】7.3动能定理动能定理

质点的动能定理【例题】

质量为m的物体，自高处自由落下，落到下面有弹簧支撑的板上，如图所示。设板和弹簧的质量都可以忽略不计，弹簧刚度系数为k，求弹簧的最大压缩量。7.3动能定理动能定理

质点的动能定理【解答】外力只有重力和弹性力做功根据动能定理7.3动能定理动能定理人们开始走动或起跑时，什么力使人的质心加速运动？什么力使人的动能增加？产生加速度的力一定做功吗？1、地面对人穿的鞋的摩擦力使其质心加速运动2、动能增加是体内肌肉内力做功的结果，如同汽车动能的增加，是汽车内发动机气缸燃料的燃烧，使汽车获得前进的动能3、产生加速度的力不一定做功，例如本例中的摩擦力（作用点并无位移），另外单摆中绳子的拉力等7.3动能定理动能定理

质点系的动能定理对于质点系中的任意一个质点Mi由此对于整个质点系经过积分运算质点系动能的微分，等于作用于质点系全部力所作的元功之和质点系在某一段运动过程中，动能的改变量等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功之和。7.3动能定理动能定理

质点系的动能定理空心圆轮A:m1,R1实心圆柱B:m2,R2当在空心圆轮上施加一个主动力矩M

且斜面的倾角为

a,圆柱B作纯滚动.求当圆柱质心C运动了s距离后其速度的大小，系统初始状态为静止.【例题】7.3动能定理动能定理

质点系的动能定理【求解】分析受力及运动分析外力做功圆柱B只滚不滑,因此摩擦力F做功等于0。（理想约束）7.3动能定理动能定理

质点系的动能定理分析系统的动能:7.3动能定理动能定理

质点系的动能定理

应用动能定理7.3动能定理动能定理

质点系的动能定理

进一步问，如何求质心C的加速度？7.3动能定理动能定理

质点系的动能定理【例题】曲柄连杆机构如图所示。已知曲柄OA=r，连杆AB=4r，C为连杆之质心，在曲柄上作用一个不变转矩M。曲柄和连杆皆为均质杆，质量分别为m1和m2。曲柄开始时静止且在水平向右的位置。不计滑块的质量和各处的摩擦，求曲柄转过一周时的角速度。7.3动能定理动能定理

质点系的动能定理【解答】7.4功率与功率方程第七章动力学普遍定理7.4功率与功率方程单位时间内力所做的功，称为功率，以P表示。功率是衡量机械性能的一个重要指标。其数学表达式为：功率等于切向力和力作用点速度的乘积。功率的单位是W(瓦特)1W=1J/s7.4功率与功率方程实例1机床加工零件时，切削力越大，切削速度越高，则要求机床的功率越大。每台机床、每部机器能够输出的最大功率是一定的，因此用机床加工时，如果切削力较大，那么必须选择较小的切削速度，