中考数学专项复习：反比例函数与一次函数和几何综合（热考题型）-解析版

专题02反比例函数与一次函数和几何综合

【思维导图】

◎考点题型1一次函数与反比例函数图像综合判断

例.（2022•重庆一中八年级期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数＞=Qx+b（ab。0）的图象与反

比例函数＞=兹（。6片0）的图象大致可以是（）

X

【答案】c

【分析】根据一次函数图象所在象限，确定出a,6的符号，再根据反比例函数图象所在的象限，确定出

a,6的符号，至此找出一次函数和反比例函数a,6的符号一致的选项即可.

【详解】解：A.由一次函数图象知a,6异号，由反比例函数图象知a,6同号，故该选项错误，不符合题

思；

B.由一次函数图象知a,b同号，由反比例函数图象知a,6异号，故该选项错误，不符合题意；

C.由一次函数图象知a,6异号，由反比例函数图象知a,6异号，故该选项正确，符合题意；

D.由一次函数图象知a,6异号，由反比例函数图象知a,6同号，故该选项错误，不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系.解题的关键在于确定出a,6的符号，明

确系数与函数图象的关系.

变式1.（2022•山东青岛•八年级期末）反比例函数>=与一次函数了=6-3在同一坐标系中的大致图象

X

可能是（）

【答案】c

【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象

限.

k

【详解】解：由反比例函数产与一次函数支履-3可知，

x

当左>0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、三、四象限，

当人<0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过二、三、四象限，

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质

是解题的关键.

变式2.（2022•河南南阳•八年级期中）已知加邦，b<0,则下列图中能正确表示一次函数尸ZMX+6和反比

例函数y=依的图象的是（）

【分析】根据一次函数的图象确定机和6的符号，进一步确定反比例函数的图象即可.

【详解】解：A.根据一次函数图象可知，m>0,b<0,

・••反比例函数经过第一、三象限，

故A选项不符合题意；

B.根据一次函数图象可知，m<0,b<0,

・••反比例函数经过第二、四象限，

故B选项不符合题意；

C.根据一次函数图象可知，m＜0,b＞0,

与已知6＜0相矛盾.

故C选项不符合题意；

D.根据一次函数图象可知，m＞0,b＞0,

.•.反比例函数经过第一、三象限，

故D选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的图象，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与参数的关系

是解题的关键.

变式3.（2022・湖南•中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数夕=丘+1（左片0）和了=«（无片0）的图像大致

X

是（）

【分析】分左＞0或左＜0,根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案.

【详解】解：当后＞0时，一次函数＞=履+1经过第一、二、三象限，反比例函数＞=8位于第一、三象

X

限；

k

当左＜0时，一次函数＞=依+1经过第一、二、四象限，反比例函数》=—位于第二、四象限；

x

故选：D.

【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图像与性质，熟练掌握左＞0,图像经过第一、三象限,

k＜0,图像经过第二、四象限是解题的关键.

◎考点题型2一次函数与反比例函数的交点问题

例.（2022•辽宁朝阳•中考真题）如图，正比例函数y=ax（0为常数，且存0）和反比例函数（左为

X

常数，且厚0）的图象相交于/（-2,M和8两点，则不等式办〉人的解集为（）

X

A.x<-2或x>2B.-2<x<2C.-2<x<0或x>2D.x<-2或0<x<2

【答案】D

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得3（2,•,“），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结

论.

k

【详解】解：・・•正比例函数产依（。为常数，且在0）和反比例函数尸一（左为常数，且小））的图象相交

x

于4（-2,加）和5两点，

•••B（2,•m）,

k

・•・不等式ax>-的解集为xV-2或0<x<2,

x

故选：D.

【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用.

变式1.（2022•浙江金华•八年级期末）如图，在平面直角坐标系工帆中，直线》="+左（成*0）与x轴交

于点/、与〉轴交于点2,过点/作/C_Lx轴，交反比例函数*=：（x>0）的图象于点C,过点C作CZ）_Ly

轴于点。，与直线》=*+上交于点E,若CE=DE,则左与。的关系正确的是（）

A.2a+k=0B.2a-k=0C.2a+3k=0D.2a-3k=0

【答案】A

【分析】先求出/坐标，可以得到C的坐标，由CE=DE,可以得E的坐标，把E的坐标代入直线即可得

出答案.

【详解】解：对于>左#0）,

当x=0时，y=k；当j=0时，x,

a

・,•点4的坐标为（-5o],

・・・4C，x轴,且点。在反比例函数歹=々％>0）的图象上，

X

二点c的坐标为',

CE=DE,CD_Ly轴，

・・•点E的坐标为,

把aj代入y=空+k（akw0）得：

—a=ax.2-1+左，解得：2a+k=Q.

故选：A

【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，利用图象中各个点的坐标之间的关系是解此题的

关键.

k

变式2.（2022•浙江宁波•八年级期末）如图，反比例函数必=—和一次函数为=x+6图像交于/,3两

x

点，/点坐标为（1,2）,当弘〉为时，x的取值范围为（）

A.x<-2或0<x<lB.-2<x<0或x>lC.x<-l或0<x<2D.-l<x<0或x>2

【答案】A

k

【分析】把/点坐标代入％=一中求出发得到反比例函数解析式，把/点坐标代入%=x+6中求出6得到

x

一次函数解析式，然后把解析式联立成方程组，解方程组求得2的坐标，通过观察图像即可求得当

时，x的取值范围.

k

【详解】解：把/（1,2）代入必=一得左=2,

x

・••反比例函数解析式为必=4,

X

把/(1,2)代入歹2=%+6得2=1+6,解得6=1,

・•・一次函数解析式为%=X+1,

_2

X=1x=-2

联立乂=1，解得I或

*=x+l

■■B(—2,-1),

观察图像，当必>%时，x的取值范围为x<-2或0cx<1,

故选：A.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函

数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系

数法求函数解析式.

变式3.（2022•河南南阳•八年级期中）已知一次函数与反比例函数力=与上在同一直角坐标系

X

中的图象如图所示，则当肩x十6<刍■时，x的取值范围是（）

X

B.-l<x<0或x>3C.-l<x<0D.x>3

【答案】B

【分析】根据图象知，两个函数的图象的交点是（-1,3）,（3,-1）.由图象可以直接写出当乃〈力时所对

应的x的取值范围.

【详解】解：根据图象知，一次函数”=依+6与反比例函数处=务的交点是（-1，3）,（3,-1）,

X

:当力<力时，或x>3；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题.解答此题时，采用了“数形结合”的数学思

想.

◎考点题型3一次函数与反比例函数的实际应用

2

例.（2022•江苏•九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，函数》=而与歹=—的图象交于/,8两

3

点，过点5作y轴的平行线，交函数y=—―的图象于点C,连接4G则A45C的面积为（）

A.2.5B.5C.6D.10

【答案】B

\y=kx

【分析】由12,可得4,8的坐标，再求解。的坐标，再直接利用三角形的面积公式进行计算即可.

iy=-

IX

ly=kx

【详解】解：Q,I2,

iy=-

IX

!42k|

解得：1k或ik，经检验符合题意；

\y=41k\y=-叵

15y/2k2V2I

—X-------------X--------------

=5

故选B.

【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，坐标与图形的面积，二次根式的运算，一元二次方

程的解法，求解48的坐标，再表示C的坐标是解本题的关键.

变式1.（2021•山东・禹城市龙泽实验学校九年级阶段练习）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物

实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度丁（微克/毫升）与服药时间x小时之间函

数关系如图所示（当4VXV10时，丁与x成反比例）.血液中药物浓度不低于6微克毫升的持续时间为

【答案】A

【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用夕=6分别得出x的值，进而得出答案.

【详解】解：当g烂4时，设直线解析式为：y=履，

将（4,8）代入得：8=4鼠

解得：k=2,

故直线解析式为：y=2x,

当4OW10时，设反比例函数解析式为：y=3,

X

将（4,8）代入得：8=:，

4

解得：a=32,

故反比例函数解析式为：y=丝32；

因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=2x（0<x<4）,

32

下降阶段的函数关系式为（4<x<10）.

当y=6,则6=2x,解得：x=3,

当尸6,贝1]6=%，解得：

--3=（小时），

33

__7

•••血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间w小时

故选/.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键.

33

变式2.（2022•贵州遵义・二模）小亮为了求不等式士>x+2的解集，绘制了如图所示的反比例函数、=三与

xx

一次函数y=x+2的图像，观察图像可得该不等式的解集为（）

A.x<—3B.x>\C.-3<x<1D.x<-3或0<x<l

【答案】D

【分析】结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集.

【详解】解：观察函数图像，发现：

当x<-3或0<x<l时，反比例函数图像在一次函数图像的上方，

3

・,・不等式—>x+2的解集为x<-3或0<x<l.

x

故选：D.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函

数解析式.

k

变式3.（2022•江苏南京•模拟预测）如图，反比例函数》=—（际0）与正比例函数y=wx（m^O）的图像

x

交于点4点左/Clx轴于点C,ADlx轴于点。，S^CO+SABDO=2,贝殊=_.

【答案】-2

【分析】首先由题意可得点力和点8关于原点对称，再根据三角形全等可得=S△皿。=1,最后根据

k的几何意义可得答案.

【详解】解：•.•点/、3是反比例函数与正比例函数的交点,

.•.点/和点2关于原点对称，

：.OA=OB,

在—OC和△50。中，

Zco=/BDO

<ZAOC=/BOD,

OA=OB

.'.AAOC=ABOD(AAS)f

S/\ACO+S^BDO=2,

.C—1

,•_1，

•・•反比例函数图像位于第二象限，

1・k=-2・

故答案为：-2.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握函数的性质和解析式与面积的关系是解

题的关键.

◎考点题型4一次函数与反比例函数的其它综合应用

例.(2022•重庆市第七中学校一模)如图，在平面直角坐标系中，一次函数%=履+6(左#0)图象与反比

例函数乃='(俏wO)图象交于4,2两点，与x轴交于点C,已知点点5的横坐标为-2.

]>

(1)求一次函数与反比例函数的解析式，

(2)若点。是x轴上一点，且S/B0=6,求点。坐标；

(3)当乂2%时，直接写出自变量x的取值范围.

14

【答案】(1)一次函数解析式为弘=彳》-1,反比例函数解析式为%=—

2x

(2)(-2,0)或(6,0)；

(3)-2<x<0^%>4

【分析】(1)把点/(4,1)代入乃=?(加HO)可得反比函数解析式，从而得到点3的坐标为(-2,-2),再

把点4(4,1),B(-2,-2)代入乃=船+/后x0),可求出一次函数解析式，即可求解，

(2)设直线N8交x轴于点£,根据S/BDMS/EO+JBE。，即可求解;

(3)根据图象即可求得.

(1)

解：把点/(4,1)代入为=：(加二0)得：m=4,

4

・••反比例函数解析式为%=—；

•••点3的横坐标为-2,

・・•点2的坐标为(-2,-2),

把点4(4,1),B(-2,-2)代入力=—+6(左一。),得:

4左+b=1

-2k+b=-2,解得：\2,

b=-l

・•・一次函数解析式为必=；X-1;

(2)

解：如图，设直线N3交x轴于点E,

对于弘=gx-l,当乃=0时，x=2,

,点E(2,0),

设点。的坐标为(。，0),贝！］。£=|2-4,

..C—CIVV—A

,O4BD-3AED丁u^BED'3ABD~v'

-x1x|2-+-x2x|2-=6,

解得：a=-2或6,

二点。的坐标为(-2,0)或(6,0)；

(3)

解：观察图象得：当-24x<0或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方或两图象相交,

二.当必2%时，自变量x的取值范围为-2<x<0或x>4.

【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点

的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键.

k

变式1.(2022•浙江宁波•八年级期末)如图，已知反比例函数》=—20,人为常数)的图象与一次函

x

数了=如+6的图象交于4(1,3)、8(私1)两点.

(1)求反比例函数及一次函数的表达式；

(2)已知点尸(",0),过点尸作平行于〉轴的直线，交一次函数图象于点且点M第一象限内，交反比例

函数图象于点N.若点尸到点M的距离小于线段尸N的长度，结合函数图象直接写出〃的取值范围.

3

【答案］⑴尸一;y=f+4

X

⑵0<"<1或">3

【分析】(1)由反比例函数图象过点可求出反比例函数的表达式，再求出点2的坐标，然后将两点坐

标代入>=狈+6,可求一次函数的表达式；

(2)根据题意找出一次函数落在反比例函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围即可.

(1)

解：•••反比例函数尸匕心0)图象经过/(1,3),

X

.•"=1x3=3,

・•・反比例函数的表达式是广二3

x

•••反比例函数V=：的图象过点8(m.l),

.,•加=3,

.•.2(3,1),

3=a+b

把4(1,3),8(3,1)代入了=办+6,得

l=3a+b"

a-1

解得

b=4

・•・一次函数的表达式是V=r+4；

(2)

若尸M</W,根据图象，可得〃的取值范围是0<〃<1或3c”.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问

题是本题的关键.

33

变式2.(2022・河南鹤壁•八年级期末)如图，直线刃=2x-1与双曲线”=一相交于点4(-,2),B

x2

3

⑴根据图象直接写出2x-1>—的解集为；

(2)过点4作/。1歹轴于点C,连接BC,求A45C的面积；

(3)过点。的直线交48与点若直线CD将ZU5C分成了面积相等的两个三角形，求出直线CD的解析

式.

3

【答案】(l)x>,或・1<XVO

⑵？

(3)y——10x+2

【分析】(1)根据一次函数与反比例函数图象交点确定不等式的解集即可求解;

3

(2)根据题意求得/c=5,进而根据三角形面积公式进行计算即可求解;

(3)根据三角形中线的性质以及中点坐标公式求得点。的坐标，继而待定系数法求解析式即可求解.

(1)

33

直线%=2x-1与双曲线竺=—相交于点/(彳，2),5(-1,-3)

x2

33

2x-1>—的解集为：x>大或

x2

(2)

-.-AC±y^,/g,2),8(-1,-3)

3

,4c上的IWJ%=心一%=2-(-3)=5

S^BC=|^C-A=1x|x5=^

(3)

当。为48的中点时，直线CD符合题意.

3

5(-1,-3)

2

2_1

■■AB的中点。的坐标为(J2-3)

2,2

即。(L-L又「C(0,2)

42

设加=丘+6，则

f1,1

—k+bL=——

<42

b=2

[k=-10

解得..

[b=2

••・直线CD的解析式为：y=T0x+2

【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，求直线围成的三角形的面积，待定系数法求一次函数

解析式，掌握以上知识是解题的关键.

变式3.(2022•河北石家庄•九年级期末)如图，在直角坐标系中，点/(3,°)和点8是一次函数y=x-2和

反比例函数y='图像的交点.

X

(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；

(2)利用图像，直接写出当x-2>”时x的取值范围；

X

口F

(3)。为线段48上一点，作CDIIy轴与反比例函数图像交于点。，与x轴交于点E,当〒=3时，直接写

EC

出点。的坐标.

3

【答案】⑴反比例函数表达式为产―，5(-1,-3)；

x

m

(2)当x-2>一时，-l<x<0或x>3；

x

(3)点C的坐标(1+收，-1+收)或(1-亚，-1-收)或(1,-1).

【分析】(1)由一次函数y=x-2求得/的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式，解析式联立

成方程组，解方程组求得8的坐标；

(2)根据图象即可求得；

3

(3)设C(x,x-2)则。(x,-),根据题意列方程即可得到结论.

x

(1)

解：把4(3,q)代入y=x-2可得,

a=l,即4(3,1),

••」=£，解得加=3,

・••反比例函数表达式为严巳，

x

•••^(-1,-3)；

(2)

解：由图象可得,

m

当x-2>一时，-IVxVO或x>3；

x

(3)

3

解：设E(x,0),贝iJC(x,x-2),D(x,-),

x

DE

---=3,

EC

•,■1-|=3|x-2|,

X

3

当一=3(x—2)时，

x

解得X=1士也，

•••点C的坐标(1+后，1+及)或(1-亚，-1-也)，

3

当一=3(2-x)时,

x

解得xj=x2=l,

・・•点C的坐标(1,-1),

综上所述，点C的坐标(1+亚，-1+收)或(1-拒，-1-收)或(1,-1).

【点睛】本题是反比例函数的综合题，反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函

数、反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关

键.

◎考点题型5反比例函数与几何综合

例.(2022•江苏扬州•八年级期末)如图，已知点A在正比例函数y=-2x图像上，过点A作N8_Lx轴于点

B,四边形N2CD是正方形，点D在反比例函数了=(图像上.

(1)若点A的横坐标为一2,求上的值；

(2)若设正方形ABCD的面积为m,试用含m的代数式表示左值.

【答案】⑴左=-24

3

【分析】(1)先求出A的横坐标，就可以得到。的坐标，即可求上的值；

(2)由正方形/BCD的面积为机，求出边长为赤，再表示出。和A的纵坐标为标，进而求出。的坐

k

标，代入反比例函数y=—即可.

(1)

解：=当％=-2时，y=4f

/.A的坐标为(-2.4),

：.AD=AB=BC=DC=4,0B=2,

•••D的坐标为(-6.4),

k

•・・点。在反比例函数歹=人图象上，

x

.k.

——=4,

—6

左=—24；

(2)

解：.•・正方形43co的面积为加，

AD=AB=BC=DC=4m,

・•・。和A的纵坐标为标，

4的坐标为,

OC=OB+BC=^~,

2

...D的坐标为,y/m),

代入得

X

k7=xy=--3m.

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握利用正方形的边长相

等来表示出各个点坐标.

变式1.(2022•福建泉州•八年级期末)如图，矩形O4BC的边CM、0c分别在x轴、丁轴的正半轴上，点

8在反比例函数歹=2(》＞0)的图象上，且8c=2.将矩形CU8C以点A为旋转中心，顺时针旋转90。后得

X

k

到矩形E4DE,函数丁=一的图象刚好经过E尸的中点N,交DE于点M.

X

(1)求该反比例函数关系式;

(2)求A08收的面积.

Q

【答案】(1)1

32

⑵了

kk

【分析】(1)根据题意得出点8的坐标为(2,5),进一步求得N(2+；,2),代入曲线方程中即可得出

左的值，便可得出反比例函数的解析式；

(2)根据k的值可得出点“、点B的坐标，根据反比例函数系数k的几何意义得出S4OBM=S—OB+S梯

彩ABMD-S4DOM=S梯形ABMD,故可得出△03/的面积.

(1)

k

・•・矩形0/8。的边CM、0c分别在x轴、了轴的正半轴上，点8在反比例函数y=£(x>0)的图象上，且

X

BC=2,

k

・.•点3的坐标为(2%),

/.AB=—,

2

・•・将矩形OABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°后得到矩形FADE,

:.DE=BC=2,EF=AB=~,

2

:.OD=2+-,

2

k

••,函数>=上的图象刚好经过EF的中点N,

X

.•.N(2+。，2),

4

解得左二8,

Q

・•.反比例函数的解析式为歹=—;

(2)

,：k=8,

「.00=2+4=6,5(2,4),

84

把x=6代入歹=一得，y=-,

x3

•S^OBM~^\AOB+S梯形3Vg—^\DOM~S梯形为5Mo,

•'•SAOBM=；（4+|J（6_2）=,.

【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，坐标与图形的变化-旋转，反比例函

数图象上点的坐标特征，反比例函数系数左的几何意义，求得3、M的坐标是解题的关键.

变式2.（2022•浙江宁波•八年级期末）如图，菱形/BCD的顶点/、2分别在y轴与x轴正半轴上，C、D

k

在第一象限，NC〃x轴，反比例函数》=—的图象经过顶点。.

⑴若4(0,2),5(1,0)

①求反比例函数的解析式；

k

②证明：点C落在反比例函数＞=士的图象上；

（2）若％=18。，NABD=30°,求菱形N3CO的边长.

4

【答案】⑴①"一；②见解析

X

（2）6

【分析】（1）①过点。做y轴垂线交于点尸，由N3CD为菱形得ADL/C,BE=DE,进而求得

AO=BE=DE=2,从而求得。（1,4）即可求出反比例函数的解析式；②过点C做x轴垂线交于点G,先

求得C（2,2）,即可判断C落在反比例函数了=勺的图象上；

X

(2)设/E=a,则3E=6a，AB=2a,仄而求得BD=2BE=2后,得。(a,2百a)进而有

26«2=186，解得。=3,即可求解.

(1)

①解：过点。做y轴垂线交于点R

•••4BCD为菱形,

BDVAC,BE=DE,AE=AC

易证四边形/OBE、/切厂为矩形

AO=BE=DE=2,

4

r.y=一

X

②证明：过点C做X轴垂线交于点G,

易证四边形NEBO、NCGO为矩形

AO=CG=2,AC=2AE=2

••.C(2,2),

・•.C落在反比例函数＞=&的图象上；

X

(2)

施轨VZABD=30°,ACLBD,DB=2BE,AC=2AE,

・•.设AE—a,贝IjBE—gtz，AB=2a,

：.BD=2BE=2,

；.D(a,2也Q

，：D在反比例函数上,

•••2岳2=18百，

a=3（a>0）,

AB-2a—6,

菱形/BCD的边长为6.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，求反比例函数的解析式以及反比例函数的性质，熟练

掌握菱形的性质是解题的关键.

变式3.（2022•江苏泰州•八年级期末）对于平面直角坐标系xOy中的图形”和点尸，给出如下定义：将图

形M绕点尸顺时针旋转90。得到图形N,图形N称为图形"关于点尸的“直忆图形”.例如，图中点。为点

C关于点尸的“直产图形”.

3

（i）y=-三的图像关于原点。的“直忆图形”的