中考数学平行四边形的综合压轴题及答案

中考数学一一平行四边形的综合压轴题专题复习及答案

一、平行四边形

1.（1）、动手操作：

如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C.处，折痕为EF,若

NABE=20。，那么NE广。'的度数为一.

（2）、观察发现：

小明将三角形纸片ABC（AB>AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为

AD,展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF,展

平纸片后得到AAEF（如图③）.小明认为AAEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理

由.

（3）、实践与运用：

将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC

边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F

重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求NMNF的大

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得NAEB=70。，根据折叠重合的角相

等，得NBEF=NDEF=55。，根据平行线的性质得到NEFC=125°,再根据折叠的性质得到

ZEFC'=NEFC=125°；

（2）根据第一次折叠，得NBAD=NCAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD,根据等角

的余角相等，得NAEG=NAFG,则AAEF是等腰三角形；

（3）由题意得出：NNMF=NAMN=NMNF,MF=NF,由对称性可知，MF=PF,进而得出

AMN0&MPF,得出3ZMNF=180°求出即可.

试题解析：（1）、・•・在直角三角形ABE中，ZABE=20°,

ZAEB=70°,

ZBED=110",

根据折叠重合的角相等，得NBEF=NDEF=55°.

•，-ADIIBC,

ZEFC=125°,

再根据折叠的性质得到NEFC=ZEFC=125°.；

（2）、同意，如图，设AD与EF交于点G

由折叠知，AD平分NBAC,所以NBAD=NCAD.

由折叠知，ZAGE=ZDGE=90°,

所以NAGE=ZAGF=90",

所以NAEF=ZAFE.

所以AE=AF,

即△AEF为等腰三角形.

(3)、由题意得出：NNMF=NAMN=NMNF,

MF=NF,

由折叠可知，MF=PF,

NF=PF,

而由题意得出：MP=MN,

又：MF=MF,

AMNaAMPF,

ZPMF=ZNMF,而NPMF+zNMF+zMNF=180°,

即3NMNF=180°,

ZMNF=60°.

考点：1.折叠的性质；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的

判定

2.如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点（不与点

A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,

折痕为EF,连接BP、BH.

（1）求证：ZAPB=NBPH；

（2）当点P在边AD上移动时，求证：APDH的周长是定值;

（3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长.

【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析.（3）2.

【解析】

试题分析：（1）根据翻折变换的性质得出NPBC=NBPH,进而利用平行线的性质得出

ZAPB=ZPBC即可得出答案；

（2）首先证明△ABP2△QBP,进而得出4BCH2△BQH,即可得出

PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

（3）过F作FM_LAB,垂足为M,则FM=BC=AB,证明△EFM2ABPA,设AP=X,利用折

叠的性质和勾股定理的知识用x表示出BE和CF,结合二次函数的性质求出最值.

试题解析：（1）解：如图1,

•••PE=BE,

二ZEBP=ZEPB.

文:ZEPH=ZEBC=90",

ZEPH-ZEPB=ZEBC-ZEBP.

即NPBC=ZBPH.

又：ADIIBC,

/.ZAPB=ZPBC.

/.ZAPB=ZBPH.

(2)证明：如图2,过B作BQ_LPH,垂足为Q.

图2

由(1)知NAPB=ZBPH,

又:ZA=ZBQP=90°,BP=BP,

在小ABP和4QBP中，

ZAPB=NBPH

{ZA=ZBQP=90°,

BP=BP

/.△ABP至△QBP(AAS),

/.AP=QP,AB=BQ,

又「AB=BC,

BC=BQ.

又NC=ZBQH=90。，BH=BH,

在^BCH和4BQH中，

BC=BQ

{ZC=ZBQH=9Q°,

BH=BH

：.△BCHV△BQH(SAS),

CH=QH.

/.△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.

•△PDH的周长是定值.

(3)解：如图3,过F作FM_LAB,垂足为M,贝UFM=BC=AB.

又；EF为折痕,

/.EF±BP.

/.ZEFM+ZMEF=ZABP+ZBEF=90°,

/.ZEFM=ZABP.

又：ZA=ZEMF=90°,

在小EFM和^BPA中，

NEFM=ZABP

[ZEMF=ZA,

FM=AB

：.△EFMV△BPA(AAS).

EM=AP.

设AP=x

在RtAAPE中，(4-BE)2+x2=BE2.

2

x

解得BE=2+—,

8

x2

CF=BE-EM=2+——x,

8

V21

BE+CF=——x+4=-(x-2)2+3.

44

当x=2时，BE+CF取最小值,

AP=2.

考点：几何变换综合题.

3.如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从

点D出发，点P沿DfA以lcm/s的速度向终点A运动.点Q沿DfB玲D以2cm/s的速度

运动，回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将APQN绕QN的中点旋

转180。得到AMNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm?),点P运

动的时间为t(s)(0<t<3).

(1)当点N落在边BC上时，求t的值.

(2)当点N到点A、B的距离相等时，求t的值.

(3)当点Q沿D玲B运动时，求S与t之间的函数表达式.

(4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF

与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值.

3型

【答案】(1)2(2)2(3)S=S新PQMN=2SAPNQ=2t2；424(4)

15

t=亍

t=l或7

【解析】

试题分析：(1)由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；

(2)当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；

333

(3)当04仁百时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当为仁'时，四

边形PQMN与4ABC重叠部分图形为五边形PQFEN.

312

(4)MN、MQ与边BC的有交点时，此时耳<t<5,列出四边形PEMF与四边形PQMN的

面积表达式后，即可求出t的值.

试题解析：(1)△PQN与^ABC都是等边三角形，

•••当点N落在边BC上时，点Q与点B重合.

/.DQ=3

/.2t=3.

3

t=2；

(2)••・当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上,

PD=DQ,

3

当ovt<2时,

此时,PD=t,DQ=2t

/.t=2t

t=0(不合题意，舍去)，

3

当2«tV3时，

止匕时，PD=t,DQ=6-2t

/.t=6-2t,

解得t=2；

综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；

(3)由题意知：此时，PD=t,DQ=2t

当点M在BC边上时，

/.MN=BQ

PQ=MN=3t,BQ=3-2t

/.3t=3-2t

3

解得t=5

3

如图①，当0虫出时，

式9小

PNQ=4PQ2=4t2；

小

2

,,S=S菱形PQMNTZSAPNQ=t2，

33

如图②，当Mt呈时，

设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,

MN=PQ=3t,NE=BQ=3-2t,

ME=MN-NE=PQ-BQ=5t-3,

V△EMF是等边三角形，

SAEMF=4ME2=4(5t-3)2

S=S菱形PQMN-S△MEF=­2~(5t—3)2

S__7火215媳9\3

424

（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,

312

此时弓<t<5,

15

t=l或7

回①

考点：几何变换综合题

4.在△ABC中，AB=BC,点0是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A,

O,C重合）.过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接0E,0F.

（1）如图1,请直接写出线段0E与0F的数量关系；

（2）如图2,当NABC=90。时，请判断线段0E与0F之间的数量关系和位置关系，并说明

理由

【答案】（1）OF=OE；（2）OF_LEK,OF=OE,理由见解析；（3）0P的长为#一0或

2石

亍.

【解析】

【分析】（1）如图1中，延长E0交CF于K,证明AAOE2ACOK,从而可得OE=OK,再

根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长E0交CF于K,由己知证明△ABE空△BCF,△AOE^△COK,继而可

证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OFLEK,OF=OE；

（3）分点P在A0上与C0上两种情况分别画图进行解答即可得.

【详解】（1）如图1中，延长E0交CF于K,

ZEAO=ZKCO,

OA=OC,ZAOE=ZCOK,△AOE合△COK,/.OE=OK,

•••AEFK是直角三角形，:OF=LEK=OE；

2

ZABE+ZBAE=90°,ZABE+ZCBF=90°,/.ZBAE=ZCBF,

AB=BC,.〔AABEB△BCF,BE=CF,AE=BF,

•••△AOE合△COK,AE=CK,OE=OK,FK=EF,

AEFK是等腰直角三角形，OFLEK,OF=OE；

（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K,作PH_LOF于H,

在RtAEFK中，tanNFEK=正，/.ZFEK=3O°,ZEKF=60°,

3

1

，EK=2FK=4,0F=-EK=2,

2

△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2,

在RtAPHF中，PH=-PF=1,HF=V3,0H=2-6，

0P=Jr+（2—6）2=瓜-亚.

如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，ZPOF=ZPFO=30°,

ZBOP=90°,

33

综上所述：OP的长为遥—逝■或2叵.

3

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰

直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

5.在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点0(0,0)，点A(5,0),点B(0,

3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点。，B,C的对应点分别

为D,E,F.

(1)如图①，当点。落在BC边上时，求点。的坐标；

(2)如图②，当点。落在线段BE上时，AD与BC交于点、H.

①求证△ADB^△AOB；

②求点H的坐标.

(3)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为AKDE的面积，求S的取值范围(直接写出结

果即可).

图①图②

【答案】(1)D(1,3)；(2)①详见解析；②H(―,3)；(3)

30-3取<§<30+3用

4——4,

【解析】

【分析】

(1)如图①，在RtAACD中求出CD即可解决问题；

(2)①根据HL证明即可;

②，设AH=BH=m,贝!JHC=BC-BH=5-m,在RtAAHC中，AH2=HC2+AC2,构建方程求出

m即可解决问题；

(3)如图③中，当点D在线段BK上时，ADEK的面积最小，当点D在BA的延长线上

时，ADEK的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；

【详解】

(1)如图①中，

图①

A(5,0),B(0,3),

04=5,08=3,

•••四边形AOBC是矩形，

AC=OB=3,OA=BC=5,NOBC=NC=90°,

•••矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，

AD=AO=5,

在R3ADC中，CD=y/Q一AC?二%

BD=BC-CD=1,

.D(1,3).

(2)①如图②中，

图②

由四边形AOE尸是矩形，得到N/WE=90。,

•.,点。在线段BE上，

ZADB=90°,

由(1)可知，AD=AO,5LAB=AB,Z>408=90°,

Rt4ADB^Rt4AOB(HL).

②如图②中，ADB^AAOB,得到NBAD=NBAO,

又在矩形AOBC中，。川1BC,

：.ZCBA=Z.OAB,

：.ZBAD=NCBA,

：.BH=AH,设AH=BH=m,贝!|HC=BC-BH=5-m,

在RtAAHC中，•••AH2=HC2+AC2,

.m2=32+(5-m)2,

17

..m~—，

5

17

BH=—,

5

17

H(—,3).

5

(3)如图③中，当点。在线段BK上时，AOEK的面积最小，最小值=g・DE・DK=；x3x

，匚南、30-3西

(5--------)=-----------------，

当点。在B4的延长线上时，△DEK的面积最大，最大面积二工XDEXKO=LX3X

22

(5+V34)_30+3A/34

4.

综上所述，30-3734^30+3V34

44

【点睛】

本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等

知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决

问题.

6.已知：在菱形ABC。中，E,F是B。上的两点，S.AEWCF.

求证：四边形AECF是菱形.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得ABUCD,AB^CD,ZADF=NCDF,由"SAS"可证△A。心△CDF,可得

AF=CF,由△ABEVACOF,可得AE=CF,由平行四边形的判定和菱形的判定可得四边形

AECF是菱形.

【详解】

证明：,四边形ABC。是菱形

ABWCD,AB=CD,NADF=NCDF,

-：AB=CD,NADF=NCDF,DF=DF

：.△ADF^△CDF(SAS)

AF=CF,

■：ABWCD,AEWCF

ZABE=NCDF,ZAEF=ZCFE

:.NAEB=NCFD,NABE=NCDF,AB=CD

：.△ABE^△CDF(AAS)

AE=CF,且AEIICF

•四边形AECF是平行四边形

又,：AF=CF,

•四边形AEC尸是菱形

【点睛】

本题主要考查菱形的判定定理，首先要判定其为平行四边形，这是菱形判定的基本判定.

7.如图，四边形ABCD中，ADIIBC,ZA=90°,BD=BC,点E为CD的中点，射线BE交AD

的延长线于点F,连接CF.

(1)求证：四边形BCFD是菱形；

(2)若AD=1,BC=2,求BF的长.

AD

£

----------------VC

【答案】(1)证明见解析(2)2班

【解析】

(1)-，-AFWBC,：.ZDCB=ZCDF,ZFBC=NBFD,

,点E为CD的中点，，OE=EC,

NFBC=NBFD

在4BCE与AFOE中，<ZDCB=ZCDF,

DE=EC

：.△BCE竺△FDE,：.DF=BC,

又,「OFIIBC,：.四边形BCOF为平行四边形，

BD=BC,：.四边形BCFD是菱形；

(2),四边形BCFO是菱形，,BD=OF=8C=2,

22

在RtABA。中，AB=y/BD-AD=^3>

-：AF=AD+DF=l+2=3,在RtABAF中，BF=AB?+AF2=2币.

8.如图，在RtAABC中，ZB=90°,AC=60cm,ZA=60°,点D从点C出发沿CA方向以

4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀

速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t

秒(0<t<15).过点D作DF_LBC于点F,连接DE,EF.

(1)求证：AE=DF；

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；

(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.

【答案】(1)见解析；(2)能，t=10；(3)t=”■或12.

2

【解析】

【分析】

(1)利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角ACDF中，利用直角三角形的性质求得

DF的长，即可证明；

（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方

程求得t的值；

（3）ADEF为直角三角形,分3EDF=90°和NDEF=90°两种情况讨论.

【详解】

解：（1）证明：,在RtAABC中，ZC=900-ZA=30",

11

/.AB=—AC=—x60=30cm，

22

•/CD=4t,AE=2t,

又；在RtACDF中，ZC=30°,

1

DF=-CD=2t,DF=AE；

2

（2）能，

DFIIAB,DF=AE,

•四边形AEFD是平行四边形，

当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即60-4t=2t,解得：t=10,

.,.当t=10时,AEFD是菱形；

（3）若ADEF为直角三角形，有两种情况：

①如图1,ZEDF=90",DEIIBC,

图1

则AD=2AE,即60-4t=2x23解得：t=—,

2

②如图2,ZDEF=90°,DE±AC,

图2

则AE=2AD,即2t=2(60—4t),解得：t=12,

综上所述，当1=—或12时，ADEF为直角三角形.

2

9.在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且NEAF=NCEF=45。.

⑴将AADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AABG（如图①），求证：△AEG2△AEF；

⑵若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；

⑶将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF,

BE,DF之间的数量关系.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF2=2BE2+2DF2.

【解析】

试题分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG,NEAF=NGAE=45°,故可证△AEGVAAEF；

（2）将AADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AABG,连结GM.由（1）知

△AEG2AAEF,则EG=EF.再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出

CE=CF,BE=BM,NF=〃DF,然后证明NGME=90°,MG=NF,利用勾股定理得出

EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；

（3）将4ADF绕着点A顺时针旋转90。，得到△ABG,根据旋转的性质可以得到

△AD0△ABG,则DF=BG,再证明△AEG2△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换

得到EF=BE+DF.

试题解析：⑴丫AADF绕着点A顺时针旋转90。，得到△ABG,

AF=AG,ZFAG=90",

•••ZEAF=45",

ZGAE=45°,

在小AGE与^AFE中,

AG=AF

,Z.GAE=FAE=45°

AE=AE

（2）设正方形ABCD的边长为a.

将△ADF绕着点A顺时针旋转90。,得到AABG,连结GM.

则以AD这AABG,DF=BG.

由(1)知丁AEG2△AEF,

EG=EF.

,,,ZCEF=45°,

ABME、ADNF、ACEF均为等腰直角三角形，

CE=CF,BE=BM,NF=』DF,

a-BE=a-DF,

BE=DF,

/.BE=BM=DF=BG,

/.ZBMG=45°,

/.ZGME=45°+45°=90°,

/.EG2=ME2+MG2,

,,,EG=EF,MG=3BM=/DF=NF,

/.EF2=ME2+NF2；

(3)EF2=2BE2+2DF2.

如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，

将AADF绕着点A顺时针旋转90。，得到AAGH,连结HM,HE.

由(1)知丁AEHC△AEF,

则由勾股定理有(GH+BE)2+BG2=EH2,

即(GH+BE)2+(BM-GM)2=EH2

又EF=HE,DF=GH=GM,BE=BM,所以有(GH+BE)2+(BE-GH)2=EF2,

即2(DF2+BE2)=EF2

图③

考点：四边形综合题

10.图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均

为1,每个小正方形的顶点叫做格点.

（1）在图1中画出等腰直角三角形MON,使点N在格点上，且NMON=90。；

（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形ABCD,使正方形ABCD面积等于（1）中等腰直

角三角形MON面积的4倍，并将正方形ABCD分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角

形和一个正方形，且正方形ABCD面积没有剩余（画出一种即可）.

图1图2

【答案】（1）作图参见解析；（2）作图参见解析.

【解析】

试题分析：（1）过点。向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN即可；

（2）根据勾股定理画出图形即可.

试题解析：（1）过点。向线段OM作垂线，此直线与格点的交点为N,连接MN,如图1

（2）等腰直角三角形MON面积是5,因此正方形面积是20,如图2所示；于是根据勾股

定理画出图3：

考点：1.作图-应用与设计作图；2.勾股定理.

11.如图①，四边形ABC。是知形，AB=1,3C=2,点七是线段上一动点（不与

瓦C重合），点尸是线段胡延长线上一动点，连接上,跖,。£砂交A。于点G.设

BE=x,AF=y,己知》与X之间的函数关系如图②所示.

图①图②

（1）求图②中y与x的函数表达式；

（2）求证：/）EIOF；

（3）是否存在无的值，使得△DEG是等腰三角形?如果存在，求出X的值;如果不存在，

说明理由

5、5—、六,3

【答案】（1）y=-2x+4（0<x<2）；（2）见解析；（3）存在，x=—或------或一.

422

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法可得y与x的函数表达式；

（2）证明△CDE-△ADF,得NADF=NCDE,可得结论;

（3）分三种情况：

①若DE=DG,则NDGE=NDEG,

②若DE=EG,如图①，作EHIICD,交AD于H,

③若DG=EG,贝此GDE=ZGED,

分别列方程计算可得结论.

【详解】

(1)设―/cx+b,

由图象得：当x=1时，y=2,当x=0时，y=4,

k+b=2[k=-2

代入得:4，得4

[b=4[b=4

.y=-2x+4(0<x<2)；

(2)BE=x,BC=2

.CE=2-x,

CE2-x_1CD1

,AF-4-2x-2，AD-2

CECD

'AF~AD'

-四边形ABC。是矩形，

ZC=ZDAF=90°,

/.△CDE-△ADF,

••NADF--Z.CDE,

/.ZADF+NEDG=NCDE+NEDG=90°,

/.DE±DF；

(3)假设存在x的值，使得△DEG是等腰三角形，

①若DE=DG,贝此DGE=ZDEG,

■■■四边形ABCD是矩形，

ADWBC,Z8=90°,

/.NDGE=NGEB,

NDEG—Z.BEG,

在4。£5和4BEF中，

ZFDE=ZB

<ZDEF=ZBEF,

EF=EF

：.△DEF*△BEF(AAS),

DE=BE=x,CE=2-x,

在RtACDE中，由勾股定理得：1+(2-x)2=x2,

5

X~4；

②若DE=EG,如图①，作EHIICD,交AD于“，

(图①)

ADWBC,EHWCD,

.四边形CDHE是平行四边形，

/.ZC=90°,

•四边形是矩形，

:.EH=CD=\,DH=CE=2-x,EHA.DG,

/.HG=DH=2-x,

AG=2x-2,

EHIICD,DCWABf

...EHIIAF,

「.△EHGs△FAG,

EH_HG

AF-AG?

1_2-x

4—2x2x—2

-x_5-75_5+7?（舍）

••xi----，x2----〈古J

③若DG=EG,贝此GDE=NGED,

■：ADWBC,

NGDE=NDEC,

NGED—Z.DEC,

,/ZC=NEDF=90°,

「.△CDE-△DFE,

CE_DE

~CD~~DF"

'：△CDE-△ADF,

DECDI

DF-AD-2

CE_1

~CD~2

13

•2-x——,X——,

22

综上，x=.或5-6或&.

422

【点睛】

本题是四边形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似和全等

的性质和判定，矩形和平行四边形的性质和判定，勾股定理和逆定理等知识，运用相似三

角形的性质是解决本题的关键.

12.如图①，在矩形A3CD中，点P从A3边的中点E出发，沿着石—6—C速运动，

速度为每秒2个单位长度，到达点C后停止运动，点。是AD上的点，AQ=10,设

APAQ的面积为y,点。运动的时间为，秒，y与£的函数关系如图②所示.

(1)图①中，BC=_,图②中机=.

⑵当t=l秒时，试判断以尸。为直径的圆是否与边相切?请说明理由：

⑶点P在运动过程中，将矩形沿尸。所在直线折叠，贝打为何值时，折叠后顶点A的对应

点A'落在矩形的一边上.

图①

117

【答案］⑴8,18,20乂2)不相切,证明见解析;(3)t=一、5、—.

23

【解析】

【分析】

(1)由题意得出AB=2BE,t=2时，BE=2x2=4,求出AB=2BE=8,AE=BE=4,t=ll时，

2t=22,得出BC=18,当t=0时，点P在E处，m=AAEQ的面积=▲AQxAE=20即可；

2

(2)当t=l时，PE=2,得出AP=AE+PE=6,由勾股定理求出PQ=2后，设以PQ为直径的

圆的圆心为。',作O'N_LBC于N,延长NO,交AD于M,则MN=AB=8,O'MIIAB,

MN=AB=8,由三角形中位线定理得出O'M=LAP=3,求出O'N=MN-O'M=5＜：圆O的半径，

2

即可得出结论；

(3)分三种情况：①当点P在AB边上，A，落在BC边上时，作QF_LBC于F,则

QF=AB=8,BF=AQ=1O,由折叠的性质得：PA'=PA,A'Q=AQ=10,NPA'Q=NA=90。，由勾股定

理求出A'F=，A'02_Q尸2=6,得出A'B=BF-A'F=4,在RtAA'BP中，BP=4-2t,PA'=AP=8-

(4-2t)=4+2t,由勾股定理得出方程，解方程即可；

②当点P在BC边上，A，落在BC边上时，由折叠的性质得：A'P=AP,证出NAPQ=NAQP,

得出AP=AQ=A'P=10,在RtAABP中，由勾股定理求出BP=6,由BP=2t-4,得出2t-4=6,解

方程即可；

③当点P在BC边上，A，落在CD边上时，由折叠的性质得：A'P=AP,A'Q=AQ=10,在

RtADQA'中，DQ=AD-AQ=8,由勾股定理求出DA'=6,得出A'C=CD-DA'=2,在RtAABP和

RtAA'PC中，BP=2t-4,CP=BC-BP=22-2t,由勾股定理得出方程，解方程即可.

【详解】

(1)•.•点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，

AB=2BE,

由图象得：t=2时，BE=2x2=4,

AB=2BE=8,AE=BE=4,

t=ll时，2t=22,

BC=22-4=18,

当t=0时，点P在E处，m=AAEQ的面积=-AQxAE=-xl0x4=20；

22

故答案为8,18,20；

(2)当t=l秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下:

当t=l时，PE=2,

AP=AE+PE=4+2=6,

•••四边形ABCD是矩形，

ZA=90°,

PQ=J+AD?=A/102+62=2A/34，

设以PQ为直径的圆的圆心为O',作O'N_LBC于N,延长NO,交AD于M,如图1所示:

则MN=AB=8,O'MIIAB,MN=AB=8,

O'为PQ的中点，

O"M是CAPQ的中位线,

1

O'M=-AP=3,

2

O'N=MN-O'M=5<734，

•••以PQ为直径的圆不与BC边相切；

（3）分三种情况：①当点P在AB边上，A,落在BC边上时，作QF_LBC于F,如图2所

图2

贝QF=AB=8,BF=AQ=1O,

四边形ABCD是矩形，

二ZA=ZB=ZBCD=ZD=90°,CD=AB=8,AD=BC=18,

由折叠的性质得：PA'=PA,A'Q=AQ=10,NPA'Q=NA=90。，

■-A，F=A/A22-GF2=6,

A'B=BF-A'F=4,

在RtAA'BP中,BP=4-2t,PA'=AP=8-(4-2t)=4+2t,

由勾股定理得:42+(4-2t)2=(4+2t)2,

解得：t=—；

2

②当点P在BC边上，A，落在BC边上时，连接AA1如图3所示:

由折叠的性质得：A'P=AP,

/.ZAPQ'=NA'PQ,

ADIIBC,

ZAQP=NA'PQ,

ZAPQ=NAQP,

AP=AQ=A'P=10,

在RtAABP中，由勾股定理得：BP=7102-82=6>

文:BP=2t-4,

.2t-4=6,解得：t=5；

由折叠的性质得：A'P=AP,A'Q=AQ=10,

在RtADQA'中，DQ=AD-AQ=8,

由勾股定理得：DA三J102—82=6,

A'C=CD-DA'=2,

在RtAABP和RtAA'PC中，BP=2t-4,CP=BC-BP=18-(2t-4)=22-2t,

由勾股定理得：AP2=82+(2t-4)2,A'P2=22+(22-2t)2,

82+(2t-4)2=22+(22-2t)2,

17

解得：t=二；

3

117

综上所述，t为一或5或一时，折叠后顶点A的对应点A，落在矩形的■边上.

23

【点睛】

四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆

的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识.

13.猜想与证明：

如图1,摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B、C、G三点在一条直线上，CE在边

CD上，连接AF,若M为AF的中点，连接DM、ME,试猜想DM与ME的关系，并证明你

的结论.

拓展与延伸：

(1)若将"猜想与证明"中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不

变，则DM和ME的关系为.

(2)如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上，点M仍为AF

的中点，试证明（1）中的结论，仍然成立.

证明见解析.

试题分析：延长EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到ADIIEF,得到△FME和

△AMH全等，得到HM=EM,根据RtAHDE得到HM=DE,则可以得到答案；（1）、延长

EM交AD于点H,根据ABCD和CEFG为矩形得到ADIIEF,得到△FME和^AMH全等，得

到HM=EM,根据R3HDE得至l」HM=DE,则可以得到答案；（2）、连接AE,根据正方形

的性质得出NFCE=45°,ZFCA=45。，根据RTAADF中AM=MF得出DM=AM=MF,根据

RTAAEF中AM=MF得出AM=MF=ME,从而说明DM=ME.

试题解析：如图1,延长EM交AD于点H,•.•四边形ABCD和CEFG是矩形，,ADIIEF,

ZEFM=ZHAM,

又NFME=NAMH,FM=AM,

rZEFM=HAM

在小FME和4AMH中，＜FM=AM

ZFME=ZAMH

/.△FME&△AMH(ASA)

HM=EM,

在RTAHDE中，HM=DE,

/.DM=HM=ME,

/.DM=ME.

(1)、如图1,延长EM交AD于点H,

•••四边形ABCD和CEFG是矩形，

ADIIEF,

ZEFM=NHAM,

又「NFME=NAMH,FM=AM,

rZEFM=HAM

在AFME和AAMH中，FM=AM

ZFME=ZAMH

△FME之△AMH(ASA)

HM=EM,

在RTAHDE中，HM=EM

DM=HM=ME,

/.DM=ME,

(2)、如图2,连接AE,

四边形ABCD和ECGF是正方形，

ZFCE=45°,ZFCA=45",

AE和EC在同一条直线上，

在RTAADF中，AM=MF,

/.DM=AM=MF,

在RTAAEF中，AM=MF,

AM=MF=ME,

DM=ME.

14.如图1,若分别以AABC的AC、BC两边为边向外侧作的四边形ACOE和BCFG为正方

形，则称这两个正方形为外展双叶正方形.

（1）发现：如图2,当NC=90。时，求证：AABC与△OCF的面积相等.

（2）引申：如果NCN90。时，（1）中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若

不成立，请说明理由；

（3）运用：如图3,分别以△ABC的三边为边向外侧作的四边形ACOE、BCFGABMN

正方形，则称这三个正方形为外展三叶正方形.已知△ABC中，4C=3,BC=4.当

zc=。时，图中阴影部分的面积和有最大值是.

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.

【解析】

试题分析：（1）因为AC=DC,ZACB=ZDCF=90",BC=FC,所以△ABC合△DFC,从而

△ABCVADFC的面积相等；

（2）延长BC到点P,过点A作APLBP于点P；过点D作DCUFC于点Q.得到四边形

ACDE,BCFG均为正方形，AC=CD,BC=CF,NACP=NDCQ.所以△APS△DQC.

于是AP=DQ.又因为SAABC='BC・AP,SADFC=-FC»DQ,所以SAABC=SADFC;

22

（3）根据（2）得图中阴影部分的面积和是△ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和

有最大值，则三角形ABC的面积最大，当△ABC是直角三角形，即NC是90度时，阴影部

分的面积和最大.