中考数学复习：圆重难点题型专训（十大题型）（解析版）

专题09圆重难点题型专训（十大题型）

旨【题型目录】

题型一圆的基本概念辨析

题型二求圆中弦的条数

题型三求过圆内一点的最长弦

题型四圆的周长和面积问题

题型五点与圆的位置关系

题型六三角形的外接圆

题型七确定圆的条件

题型八圆中角度的计算

题型九圆中线段长度的计算

题型十求一点到圆上点距离的最值

【知识梳理】

41经典例题一圆的基本概念辨析】

【例1】（2023秋•河北保定•九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所

对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项.

【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误；

（2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误；

（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误；

（4）直径是圆中最长的弦，正确，

综上所述，四个说法中正确的只有1个，

故选：A.

【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键.

■【变式训练】

1.0023春・安徽•九年级专题练习）圆。的直径4B=26cm,点C是圆。上一点（不与点/、5重合），作CO，43

于点若CZ）=12cm,则4。的长是（）

A.8cmB.18cmC.8cm或18cmD.16cm

【答案】c

【分析】分两种情况画出图形，由勾股定理求出5cm,则可得出答案.

【详解】解：当点。在03上，如图，连接OC,

圆。的直径AB=26cm,

0A=OC=13cm,

CD1AB,

•・•NODC=90。,

DO=yj0C2-CD2=A/132-122=5(cm),

.•.4D=O/+OD=13+5=18(cm)；

当点。在线段04上时，如图，

同理可得出ND=/O-OD=13-5=8（cm）,

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

2.（2023春・山东济南•九年级校考开学考试）如图，正方形中，AB=4,£点沿线段40由/向。

运动（到。停止运动），尸点沿线段由C向3运动（到3停止运动），两点同时出发，速度相同，连接

EF,作8PLE产于P点，则在整个运动过程中尸点的运动轨迹长为

【答案】岳

【分析】连接8。，交EF于点O,利用全等三角形的判定与性质得到点。为正方形的中心，利用8尸，£尸

得到整个运动过程中尸点的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用圆的周长的公式解答即可.

【详解】解：如下图，连接8。，交EF于点O,

由题意得：AE=CF,

•••四边形23CD为正方形，

二.AD=BC,AD\\BC,

乙m0=乙FBQ乙CEO=ABFQAD-AE=BC-CF,

DE=BF,

“EH^xBFO,

:.OD=OB,OE^OF,

-O为正方形ABCD的中心，

正方形ABCD中，AB=4,

BC=CD=%ABCD=90°,

BD=Ja：2+B=J42+42=472，

BO=2桓，

■：BP1EF,

ABPO=90°,

整个运动过程中P点的运动轨迹为以05为直径的半圆,

•••整个运动过程中P点的运动轨迹：;X2也r=也兀,

故答案为：及兀■

【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，点的轨迹的性质，圆，利用正方形的性

质和全等三角形的判定与性质确定出点的轨迹是解题的关键.

3.（2023春・广东河源•九年级校考阶段练习）如图所示，48为。。的直径，CD是O。的弦，AB,的

延长线交于点E,已知=ZAEC=20°.求//OC的度数.

【答案】60°

【分析】连接。D.由=4B=2OD可得OD=DE,根据“等边对等角”得到NOOE=NE=20。，

Affif^CDO=ADOE+AE=40°.又OC=OD,得到/C=/ODC=40。，进而求得4OC=/C+/E=60。.

【详解】连接OD.

AB=IDE,AB=2OD,

OD=DE,

ZDOE=ZE=20°,

ZCDO=ZDOE+ZE=40°.

OC=OD,

ZC=NODC=40°,

:.ZAOC=ZC+ZE=60°.

【点睛】本题主要考查圆的直径与半径关系，等腰三角形的性质，三角形的外角，熟练运用等腰三角形等

边对等角的性质是解题的关键.

,31经典例题二求圆中弦的条数】

【例2】（2023•浙江•九年级假期作业）如图，点A,O,。，点C,D,E以及点B,O,C分别在

一条直线上，则圆中弦的条数为（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

【答案】A

【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案.

【详解】解：图中的弦有BC,CE共2条.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键.

【变式训练】

1.（2023秋•江苏•九年级专题练习）点A、0、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中弦的条数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】试题分析：弦是连接圆上任意两点的线段，根据定义作答.

解：由图可知，点A、B、E、C是OO上的点，

图中的弦有AB、BC、CE,一共3条.

故选B.

考点：圆的认识.

2.(2023秋•九年级课时练习)如图，圆中有一条直径，—条弦，圆中以A为一个端点的优弧有—条，劣

弧有一条.

A

【答案】1344

【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条,

故答案为1,3,4,4.

3.(2023•浙江•九年级假期作业)如图，08c是。。内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求

(1)在图1中，画山一条与8c相等的弦；

(2)在图2中，画出一个与。3C全等的三角形.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】(1)连结CO并延长交。。于£,连接20并延长交。。于。，连结ED,再证/WOC三

(SAS),可得8c=。£；

(2)连结/。并延长交。。于04=04,连结2。并延长交。。于9，OB=OBr,连结CO并延长交。O

于C\OC=OC',利用边角边判定方法先证△BOC三△夕OC(SAS),可得BC=B，C；同理可证△80/三△夕O©

(SAS),可得48=，夕，同理可证ZUOC三八4。。(SAS),可得NC=/。，利用三边对应相等判定方法可

证A42C三(SSS).

【详解】解：(1)如图1,DE为所作；

连结C。并延长交。。于E,连接30并延长交。。于。，连结ED,

：OB=OD=OE=OC,

在△BOC和ZiDOE中,

OC=OE

</COB=ZEOD,

OB=OD

:△BOSADOE(SAS),

(2)如图2,为所作.

连结NO并延长交。。于4,OA=OA\连结8。并延长交。。于"，OB=OBr,连结CO并延长交。。于C,

oc=oc,

在△BOC和△皮OC中，

oc=oc

<ZCOB=/C'OB，,

OB=OB'

•••△B0CW0C(SAS),

:・BC=BC；

同理可证△BCM三△BOZ'(SAS),

：,AB=AB,

同理可证ZUOC三(SAS),

:.AC=AC,

在A4BC和A4577中，

AB=A,B,

<AC=A,C,,

BC=B'C

.-.ZU5C=A^^V(SSS).

B,

图2

【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性

质与三角形全等判定与性质是解题关键.

1经典例题三求过圆内一点的最长弦】

【例3】(2023秋•全国•九年级专题练习)如图，点8的坐标分别是/(4,0),B(0,4),点C为坐标

平面内一动点，2C=2,点M为线段NC的中点，连接则0M的最大值为()

A.72+1B.V2+—C.2A/2+1D.2A/2--

【答案】C

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的02上，通过画图可知，C在2。与圆2的交点时,

(W最小，在。3的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论.

【详解】解：如图，

・・・点C为坐标平面内一点，BC=2,

；.C在03上，且半径为2,

取。D=O/=4,连接8,

■.■AM=CM,OD=OA,

；.0M是&ACD的中位线，

：.OM*CD,

当（W最大时，即CD最大，而D,B,C三点共线时，当C在。8的延长线上时，0M最大,

•：0B=0D=4,乙8OD=90°,

:・BD=A6,

・•.CZ）=4亚+2,

.-.OM=^CD=2y/2+\，即（W的最大值为2a+1；

故选：C.

【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定0M为最大值时点C的位置是

关键，也是难点.

【变式训练】

1.（2023秋・浙江•九年级专题练习）A、8是半径为5c加的。。上两个不同的点，则弦的取值范围是

（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<^5<10

【答案】D

【分析】根据圆的基本性质可直接进行求解.

【详解】•••圆中最长的弦为直径，

.-.0<J5<10.

二故选D.

【点睛】本题主要考查弦的概念，正确理解圆的弦长概念是解题的关键.

2.（2023秋•全国•九年级专题练习）下列说法中正确的有_（填序号）.

（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积

相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧.

【答案】（1）（3）（4）

【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可.

【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；

（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长

度相等，弯曲程度也要相同；

（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；

（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；

（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是

直径.

故答案为：（1）（3）（4）.

【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键.

3.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图所示，48为。。的一条弦，点C为。。上一动点，且

NBG4=30。，点E,尸分别是4C,8C的中点，直线E尸与。。交于G,H两点,若。。的半径为7,求

GE+FH的最大值.

【答案】GE+FH的最大值为受.

【分析】由GE+切和E尸组成的弦G”,在。。中，弦G〃最长为直径14,而E尸可求，所以GE+W

的最大值可求.

【详解】连结4。，BO,

■：NBC4=30°ZBOA=60°

为等边三角形，AB=7

■:点E,尸分别是4C,8c的中点

17

.­.EF=-AB=~,vG〃为。。的一条弦

721

••.G〃最大值为直径14.•.GE+9的最大值为14-/=5.

【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题.

二31经典例题四圆的周长和面积问题】

【例4】（2023春・山东泰安•九年级校考期中）如图两个半径都是4cm的圆外切于点C,一只蚂蚁由点/开

始依/、B、C、D、E、F、C、G、/的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上

不断爬行，直到行走2006兀cm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（）

A.。点B.E点、C.尸点D.G点

【答案】A

【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可.

【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即9x2x7rx4=27icm,又知绕行8段为一循环,

4

则爬行一圈的路程为2兀x8=16兀cm,

v2006K=125x16KKK6TI,6兀+2兀=3,

・•・行走200671cm后才停下来，那一个点为D点，

故选：A.

【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复

的圈数，再由余数确定最终的位置.

W【变式训练】

1.（2023春•四川•九年级专题练习）如图，在A4B。中，ZAOB=90°,ZBAO=30°,30=6,。。的面积

为12万，点、M,N分别在。。、线段43上运动，则九W长度的最小值等于（）

A.—B.—C.V3D.2百

42

【答案】C

【分析】过点。作OC，48,交。。于点P,当点”与点P重合，点N与点C重合时，血W长度的最小即

为线段尸。的长度，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出/。=6括，再由等面积法确定

OC=3拒,由圆的面积得出,=2退=OP,结合图形即可得出结果.

【详解】解：过点。作。交。。于点P,当点M与点P重合，点N与点C重合时，长度的最

.-.AB=2BO=n,

•••AO=NAB°-BO。=6A/3，

.­.-AOxBO=-ABxOC,

22

解得：OC=3拒,

r。。的面积为12打,设半径为r,

nr1=12万

厂==。尸，

PC=OC-OP=M,

即跖V长度的最小值为6，

故选：C.

【点睛】题目主要考查圆与三角形综合问题，包括含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，圆

的面积等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键.

2.（2023秋・甘肃天水•八年级校考期末）如图，已知在应48。中，乙4c8=90。，分别以NC,BC,AB为

直径作半圆，面积分别记为S，S2,S3,若邑=9兀，则S/+S2等于.

【答案】97r.

【分析】根据勾股定理和圆的面积公式，可以得到S1+S2的值，从而可以解答本题.

【详解】解：•.・乙4cB=90。,

：.AC2+BC2=AB2,

2x

■­•S]=ii（。）y,S2=n（磐）2x1~,S3=n（半）2x：,

222，22

2X2X=S

■•■S1+s2=7t（与）2x：+兀（?）7（与）7^

■■•S3=9TI,

.,.SI+S2=9H,

故答案为：971.

【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是利用数形结合的思想解答.

3.2023秋•上海徐汇•六年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号,

如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4,两个小圆的半径均为2,请计算图中阴影部分的周长和面

积.

【答案】阴影部分的周长为48.82,阴影部分的面积为40.82

【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可.

3

【详解】解：。阴影=2(4圆-尺小圆)+大圆+。小圆)+。小圆

3

=2x(4-2)+—x(2^x4+2^x2)+2^x2

=8+13万

«48.82；

3

s阴影二大圆+S小圆)+S小圆

3

=—(^x42+^X22^)+^X22

二13万

«40.82.

答：阴影部分的周长为48.82,阴影部分的面积为40.82.

【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键.

J【经典例题五点与圆的位置关系】

【例5】(2023秋・广东惠州•九年级校考阶段练习)如图，在RM48c中，/C=90。，/C=4,8c=7,点

。在边8c上，CD=3,。/的半径长为3,。。与相交，且点B在。。外，那么。。的半径长「可能是

【答案】B

【分析】连接40交。/于E,根据勾股定理求出4D的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位

置关系得出，•的范围即可.

【详解】解：连接/。交。/于E,如图1,

图1

在RtANCD中，由勾股定理得：AD=ylAC2+CD2=742+32=5-

贝i|DE=/D-/E=5-3=2,

BC=7,CD=3,

：.BD=l-3=4,

二。。与。/相交，且点3在。。外，必须2<r<4,

即只有选项B符合题意，

故选：B.

【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和

点与圆的位置关系的内容是解题的关键.

*【变式训练】

1.(2。23•山东泰安・统考三模)如图,抛物线＞*-4与x轴负半轴交于点/,P是以点°(。,3)为圆心，2

【答案】A

【分析】连接2尸，如图，先解方程;，-4=0得/(-4,0),8(4,0),再判断。。为“8尸的中位线得到

OQ=；BP,利用点与圆的位置关系，8尸过圆心C时，PB最小,如图，点P运动到P位置时，BP最小,

然后计算出即可得到线段。。的最小值.

【详解】解：连接AP,如图，

用军得网=4,x2=-4,

.-.A[-4,0),5(4,0),

•••0是线段尸/的中点,

为23P的中位线,

;.OQ=；BP,

当5尸最小时，。。最小，

而5尸过圆心。时，心最小，如图，点尸运动到P位置时，BP最小,

BC=A/32+42=5，

.-.BP'=5-2=3,

••・线段。。的最小值是;3.

故选：A.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点

到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.也考查了三角形中位线.确定尸'位置是解题的关

键.

2.（2023•河南南阳・统考一模）如图，点E是正方形28CZ）边2C上一动点（点E不与点8、C重合），连接

DE,过点/作交CD于尸，垂足为尸，连接尸C,已知正方形的边长为2,则尸C的最小值

【答案】V5-1

【分析】以《。为直径作。连接S,交。〃为点尸，根据点圆最值的性质，则尸C为最小距离，再根

据勾股定理计算即可.

【详解】解：•••"，"，

.・•点P的运动轨迹是以工。为直径的圆上一段圆弧上，

如图，取工。中点连接CH,交。〃为点尸，则尸C为所求，

•••正方形的边长为2,

.-.DC=2,DH=\,

C77=A/22+12=#＞，

■■CP=45-1.

故答案为：V5-1.

【点睛】本题考查了正方形的性质的应用，点圆最值的应用是解题关键.

3.(2023秋・江苏•九年级专题练习)在矩形NBCD中，AB=6,AD=8.

AI---------------\D

B'---------------1c

(1)若以A为圆心，8长为半径作则8、C、。与圆的位置关系是什么？

(2)若作。/,使8、C、。三点至少有一个点在。/内，至少有一点在。/外，则。/的半径/的取值范围

是一

【答案】(1)点B在。/内，点C在。/外，点。在。/上

(2)6<r<10

【分析】(1)根据点到圆的位置关系，比较与圆的半径之间的大小关系，即可得解;

(2)根据题意，和点到圆心的距离与圆的半径之间的关系，即可得解.

【详解】(1)解：连接ZC,

AB=6,AD=8,

AC=ylAB2+BC2=^62+82=10，

Qe/的半径为8,

AB<8,AD=8,AC>8

.,•点3在。/内，点C在ON外，点。在。/上；

（2）解：AB=6,4。=8,AC=10,

又，•・以点A为圆心作04,使B,C,。三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，

,。工的半径厂的取值范围是6<r<10.

故答案为：6<r<10.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系.熟练掌握点到圆心的距离d与圆的半径/之间的关系，判断点与圆的

位置关系，是解题的关键.

31经典例题六三角形的外接圆】

【例6】（2023秋•江苏•九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为4（-1,3）、8（-2,-2）、

C（4,-2）,则“3C外接圆半径的长为（）.

A.3V2B.273c.VioD.VB

【答案】D

【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设。8C的外心为由8,C的坐标可知/必在直线x=l

上，由图可知线段/c的垂直平分线经过点(1,0),由此可得过点加作于点。，连接MB,

由勾股定理求出MB的长即可.

【详解】解：设“8C的外心为

•.•8（-2,-2）、C（4,-2）,

-2+4

•O-M必在直线x=-----=1上,

2

由图可知，线段AC的垂直平分线经过点(1,0),

如图，过点初作于点。，连接MB,

中，MD=2,BD=3,

由勾股定理得：MB=s/MD2+BD2=A/22+32=V13.

即外接圆半径的长为JR.

故选D.

【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出A48c外心的位置是解题

的关键.

W【变式训练】

1.（2023春•全国•九年级专题练习）如图，。。是等边三角形/8C的外接圆，若。。的半径为2,则

的面积为（）

A.—B.V3C.2也D.3c

2

【答案】D

【分析】过点。作OA13C于点〃，根据等边三角形的性质即可求出C归和58的长，再根据垂径定理求出

2c的长，最后运用三角形面积公式求解即可.

【详解】解：过点。作OH1BC于点H,连接NO,BO,

・NBC是等边三角形,

.■./-ABC=60°,

为三角形外心，

■■.Z.OAH=30°,

：.OH=；OB=\,

-BH=4BO1-OH1=yj3，AH=-AO+OH=2+1=3

，BC=2BH=2M

：.SAARC——BCxAH=—x2^3x3=3A/3

故选：D

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能

进行推理计算是解决问题的关键.

2.（2023•广东东莞•模拟预测）如图，点。是等边"BC内部一动点，AB=6,连接4D,8,CD,若

ZABD=ZBCD,则AD的长度最小值是.

【答案】273

【分析】根据等边三角形的性质和求得NDBC+NBCD=60。,ZBDC=120°,如图，作

ABOC的外接圆。。，连接05、OD、OC、0A,根据圆周角定理可得Na=2N5DC=240。，从而求得

NBOC=120°,再根据等腰三角形的性质可得ZOBC=ZOCB=30°,ZABO=90°,再根据垂直平分线的判

定可得AO垂直平分BC,从而可得NBAO=4c=30°,再由直角三角形的性质可得BO=\AO,^BO=a,

则/。=2〃，在此△ZB。中，利用勾股定理求得a=2百，则5。=。。=2百，40=4百，再由三角形三边

关系可得当点4、D、。在一条直线上时，4。最小，即可求解.

【详解】解：是等边三角形，

.・.N4BC=N4CB=60。,AB=AC=BC=6,

•・•/ABD=/BCD,

・•・/ABC=ZABD+ZDBC=NDBC+/BCD=60°,

/./助。=180。-60。=120。，

如图，作△5OC的外接圆OO,连接03、OD、OC、OA,

•・・/a=2/5OC=240。，

NBOC=360°-240°=120°,

：OB=OC,

；,/OBC=/OCB=3G0,

.•.a450=60。+30。=90。，

又AB=AC,

・••/O垂直平分5C,

・•.ZBAO=-ZBAC=30°f

2

/.BO=—AO,

2

设30=a,则/O=2a,

在MA/B。中，AB-+BO1=AO1,HP62+a2=（2a）2,解得：a=2#）,

■-BO=OD=2s/3,AO=45

在△ADO中，AD>AO-DO,

二当点/、D、。在一条直线上时，40最小，

•—04-00=46-26=25

故答案为：2VL

【点睛】本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外接圆、等腰三角形的性质、圆周角定

理、勾股定理、三角形三边关系、垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.

3.（2023秋•全国•九年级专题练习）［探索发现］有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同

的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1,以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把

□△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆.

［理解应用］

我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题

(1)如图2.在A48c中，ZA=1O5°,试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆(不写作法，保留作图痕

迹).

(2)如图3,在AA8C中，zA=80°,zB=40°,AB=26，请求出aABC的最小覆盖圆的半径

［拓展延伸］

(3)如图4,在AA8C中，已知AB=15,AC=12,BC=9,半径为1的。。在AA8C的内部任意运动，则。。

覆盖不到的面积是

C

图1图2图3图4

【答案】⑴见解析；(2)r=2；(3)54-%.

【分析】(1)由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直

平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心0,

连接OC,则OC为半径，画图(见解析)即可；

(2)如图(见解析)，AABC的最小覆盖圆为A48c的外接圆，由已知条件可得/C=60。，则圆心角

ZAOB=2ZC=120°；连接OA、OB,过。作。8,由等腰三角形的性质可得

AH=BH=；AB,NAOH=60°,在RfAAOH中利用勾股定理求解即可；

(3)由已知条件可A48C是直角三角形，利用ZU8C的面积减去圆的面积即可得.

【详解】(1)由题意，这个三角形的最小覆盖圆就是三角形的外接圆.三角形外接圆的圆心在每条边的垂直

平分线上，又因三角形的三条垂直平分线必交于一点，故只需作两条边的垂直平分线，其交点即为圆心O,

连接OC,则OC为半径，画图如下：

(2)如图，M8C的最小覆盖圆为A48c的外接圆

连接OA、0B,过O作。"

♦.•//=80°,4=40°

;.NC=180。一N/-Z8=60°

:.ZAOB=2ZC=nO°(圆周角定理)

OA=OB,贝I]NOAB是等腰三角形

AH=BH=^AB=拒,NAOH=^ZAOB=60°

在PA4O“中，OA=2OH

由勾股定理得：OA2=OH2+AH2=-OA2+3

4

解得：OA=2

故AABC的最小覆盖圆的半径为2；

(3)VAB=\5,AC=n,BC=9

AB2=AC2+BC2

48c是直角三角形

S.,Rr=-ACBC=54

又'''Sgio=71

故所求的面积为54-%.

【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，理解题意，将其转化为三角形外接圆问题是解题关键.

j［经典例题七确定圆的条件】

【例7】（2023秋•九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（）

①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形

内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜

边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的

外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；

②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；

③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；

④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；

⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；

综上，真命题的个数为2个；

故选B.

【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定.熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形

的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023春•九年级课时练习）如图，PA、P3为OO的切线，切点分别为A、B,PO交AB于点C,PO

的延长线交OO于点D.下列结论不一定成立的是（）

A.AB均为等腰三角形B.48与尸D相互垂直平分

C.点A、B都在以尸。为直径的圆上D.PC为A3尸4的边22上的中线

【答案】B

【分析】连接OB,OC,令M为OP中点，连接MA,MB,证明RtZkOPB三Rt2\OPA,可得BP=AP,

ZOPB=ZOPA,ZBOC=ZAOC,可推出48尸/为等腰三角形，可判断A；根据△OBP与aOAP为直角三角形,

OP为斜边，可得PM=OM=BM=AM,可判断C；证明三△OAC,可得PC1AB,根据ABPA为等腰三

角形，可判断D；无法证明与PD相互垂直平分，即可得出答案.

【详解】解：连接OB,OC,令M为OP中点，连接MA,MB,

.B,C为切点，

,•.ZOBP=ZOAP=90°,

,•,OA=OB,OP=OP,

•••RtAOPBsRtAOPA,

；.BP=AP,zOPB=zOPA,zBOC=zAOC,

・・.△B4为等腰三角形，故A正确；

•・・△OBP与4OAP为直角三角形，OP为斜边，

.*.PM=OM=BM=AM

・•・点A、B都在以尸。为直径的圆上，故C正确;

vzBOC=zAOC,OB=OA,OC=OC,

.-.AOBC=AOAC,

••.zOCB=zOCA=90o,

•••PC1AB,

・•・△BPA为等腰三角形，

；.PC为的边48上的中线，故D正确；

无法证明AB与相互垂直平分，

故选：B.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆的性质，掌握知识点灵活运

用是解题关键.

2.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，在矩形N8CD中，E为月8的中点，尸为3C边上的任意一点，

把△P8E沿PE折叠，得到△班连接CF.若/B=10,BC=12,当CF取最小值时，AP的值等

于一

【答案】y

【分析】点尸在以E为圆心E4为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时尸C的值最小，根据折叠

的性质，得出AEBPWAEFP,再根据全等三角形的性质，得出斯_L尸尸，EB=EF,再根据勾股定理求出

CE,根据折叠的性质，可知灯=5P,再根据线段之间的数量关系，得出C尸=12-BP,再利用勾股定理,

列出方程，解出即可得出答案.

【详解】解：如图所示，点尸在以E为圆心，E4为半径的圆上运动，当E、F、C共线时时，此时CF的

值最小,

根据折叠的性质，&EBP沿AEFP,

EFLPF,EB=EF,

是48边的中点，/8=10,

/.AE=EB=EF=5,

AD=BC=n,

:.CE=NBE2+BC?=13,

:.CF=CE-EF=13-5=S.

由折叠可知：FP=BP,

:.CP=BC-BP=n-BP,

在RtZXC尸尸中，根据勾股定理得:

CF2+FP2=CP2,

82+BP2=(12-族丁,

解得2P=g.

故答案为：y.

【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短的综合运用，

熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

3.(2023秋•全国•九年级专题练习)已知等边。8C的边长为8,点尸是48边上的一个动点(与点/、B

不重合).

(1)如图1.当P8=34P时，ABPC的面积为；

(2)直线/是经过点P的一条直线，把。3c沿直线/折叠，点8的对应点是点

①如图2,当尸8=5时，若直线〃//C,求39的长度；

②如图3,当尸3=6时，在直线/变化过程中.请直接写出△NC8'面积的最大值.

【答案】(1)12百；(2)①5月；②4百+24

【分析】(1)先根据等边三角形的边长为8,计算等边ZU2C的面积，由同高三角形面积的比等于对应底边

的比，可得aPBC的面积；

(2)①如图2中，设直线/交3C于点E.连接8夕交尸E于。证明△PE8是等边三角形，求出。8即可

解决问题；

②如图3中，过点尸作P4垂直于NC,当8、P、”共线时，ZL4C夕的面积最大，求出尸，的长即可解决

问题.

【详解】解：(1)如图1中，

图1

•.•等边人＜8。的边长为8,

:.等边A4BC的面积="、82=16百，

4

,：PB=3AP,

.•.△APC的面积为3x166=12指；

4

故答案为：12百;

(2)①如图2中，设直线/交于点£连接85咬可于O,

-PEWAC,

:/BPE=U=60。,乙BEP=^C=6。。,

:NEB是等边三角形，

”8=5,且5,9关于尸E对称，

:.BBAPE,BB，=2OB,

・"80=30。，

・・・BB・56

②如图3中，过点尸作尸H垂直于NC,

图3

由题意可得：夕在以尸为圆心半径长为6的圆上运动,

当HP的延长线交圆P于点"时面积最大，

在4PH中,必8=8,PB=6,

■：PA=1,

,.ZPAH=6O°,

：.AH=1,PH=出,

:,BH=6+yfy，

•',S4^CB，的最大值=w乂8乂（6+G）=4G+24.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，勾股定理，含30。的直角

三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于

中考压轴题.

J【经典例题八圆中角度的计算】

【例8】1（2023・甘肃白银•校考三模）如图，A、B、C是圆。上的三点，且四边形是平行四边形,

。尸，OC交圆。于点尸，则40厂等于（）

c

【答案】B

【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到

答案.

【详解】解：

•••四边形48C。是平行四边形，

OC=AB,又OA=OB=OC,

OA-OB—AB,

.•・/08为等边三角形，

•••OFLOC,OC//AB,

--.OFA.AB,

ZAOF=ABOF=30°,

故选：B.

【点睛】本题考查的是圆内半径相等，平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握等腰

三角形的三线合一是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023•四川广元•统考一模）如图，4B为。。的直径，是的弦，48、的延长线交于点E,已

知AB=2DE,//EC=20。，则//OC的度数为（）

c

【答案】c

【分析】连接。。，根据等腰三角形的判定和性质，得至UZDOE=N/EC=20°,再根据三角形外角的性质,

得到"CO=480=40。，利用三角形内角和定理，得到/。。。=100。，即可求出//OC的度数.

【详解】解：连接。。，

AB=2DE,

:.OD=DE,

■：NAEC=20°,

NDOE=20°,

ZCDO=ZDOE+ZE=40°,

OC=OD,

.-.ZDCO=ZCDO=40°,

ZCOD=180°-ZDCO-ZCDO=100°,

ZAOC=180O-ZDOE-ZCOD=60°,

故选C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三

角形等边对等角的性质是解题关键.

2.（2023秋•全国•九年级专题练习）如图，在矩形48CD中，AB=6,BC=4,M,N分别是2C,CD上

的动点，连接/M,BN交于点、E,且NBND=2AMC.

BM〜

（1）AAEB=.

（2）连接CE,则CE的最小值为.

【答案】90。/90度2

【分析】（1）由NBND=ZAMC,/氏¥。+/氏\（=180。推出/可瓦0+/加。勿=180。，最后利用矩形的性质

即可得解；

（2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定CE最短长度，然后利用勾

股定理即可得解.

【详解】（1）•:NBND=NAMC,ZBND+NBNC=180°,

：.ZBNC+ZAMC=1^0°,

ZNEM+ZNCM=180°

•四边形/BCD是矩形，

；.NBCD=90°,ZNEM=90°,

N4EB=90°,

故答案为90。.

（2）•.・NNE8=90。，点K在以4B为直径的圆上，设4B的中点为O,则当。，E,C三点共线时，CE的值

最小，止匕时CE=OC-O£=OC—O2

AB=6,BC=4,

OB=—AB=3,

2

•••OC=NOB2+BC?=打+42=5，

：.CE=OC-OB=2,

故答案为2.

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的

关键.

3.(2023秋•全国•九年级专题练习)如图，在。。中，C为。。上一点，连接。C,BC.

(1)^ZAOC-ZABC=30°,求180C的度数;

(2)若力。的面积与JOC的面积之比为5：3,求学的值.

【答案】⑴此OC的度数为50。

BCV5

(/)=—

AB5

【分析】(1)设/BOC=无。，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到

/OBA=45°,ZOBC=90°-^x°,再根据44。。一//8。=30。建立方程求解即可；

(2)过C作C31O8于H^OA=OB=OC=5a,根据三角形面积之比求出=3(z,则由勾股定理得

OH=4a,进而得到28=02-08=。，再利用勾股定理求出BC、的长即可得到答案.

【详解】(1)解：设Z8OC=x。，

■.■OA=OB=OC,OA±OB,

1Rf)°—/ROC11

：.ZOBA=45°,/OBC=/OCB=——=------=90°——x°,

22

-ZAOC-ZABC=30°,

90°+x。-(45。+90°一;xj=30,

解得x=50,

/.ZBOC=50°；

(2)解：过。作于〃，设04=08=00=5。,

•••AAOB的面积与ASOC的面积之比为5:3,

-OAOB<

.2_____=3

,,12,

-OBCHJ

2

045

CH3

CH=3a,

•••OH=4OC1-CH1=4a>

：.BH=OB-OH=a,

在RLHBC中，由勾股可得3C=y]CH2+BH2=屈a，

在RtA048中，由勾股可得AB=yJOA1+OB2=5y[2a，

.BCy/5

••=.

AB5

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，正确作出辅助线构

造直角三角形是解题的关键.

一31经典例题九圆中线段长度的计算】

【例9】（2023•全国•九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1,4。两点皆在格线的交点

上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点2、C,使得O8C的外心为O,求3C的长度为何（）

I-----------1—I1—I----------1—I---1

II।।AII।।

i_____I_____L-.____I____I___I______I

IIIIIIII

IIIIIIII

I---------1---------I1--------I--------1------I-----------1

IIIIIIII

I_____I_____II____I____I___I______I

iiI