周期函数课件

1.4.2正、余弦函数的图像和性质2021/6/2711.正弦、余弦函数的图象和性质y=sinx(xR)

y=cosx(xR)

定义域值域周期性xRy[-1,1]T=2xyO1-1y=cosxy-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2021/6/2722.周期函数的定义

一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T

，使得当x

取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)

,那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。

对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。2021/6/273可知：函数y=sinx和y=cosx都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π。

由sin(x+2kπ)=sinx;cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)2021/6/274注意：（1）周期T为非零常数。（2）等式f(x+T)=f(x)对于定义域M内任意一个x都成立。（3）周期函数f(x)的定义域必为无界数集（至少一端是无界的）（4）周期函数不一定有最小正周期。举例：f(x)=1(x∈R),任一非零实数都是函数f(x)=1的周期，但在正实数中无最小值，故不存在最小正周期。2021/6/275的最小正周期2021/6/276例1求下列函数的周期：（1）y=3cosx;x∈R（2）y=sin2x，x∈R；

3.例题讲解2021/6/2772021/6/2782021/6/2792021/6/27102021/6/2711例1、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？4.周期函数应用

结论：定义在R上的函数f(x)满足f(x＋a)＋f(x)=0或f(x＋a)=-f(x)

则f(x)是周期为2a的周期函数.2021/6/2712例2、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时，f(x)=x－4，求f(10)的值.结论：定义在R上的函数f(x)满足f(x＋a)-f(x-b)=0或f(x＋a)=f(x-b)

则f(x)是周期为a+b的周期函数.2021/6/2713y-1xO1π2π3π4π5π6π-2π-3π-4π-5π-6π-πy=sinx2021/6/2714xyO1-1y=cosx2021/6/2715奇偶性

一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。奇函数的图像关于原点对称。

一般的，如果对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于y轴对称。2021/6/27161.正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

sin(-x)=-sinx(xR)

y=sinx(xR)是奇函数cos(-x)=cosx(xR)

y=cosx(xR)是偶函数定义域关于原点对称

正弦、余弦函数的奇偶性2021/6/2717

正弦函数的单调性

y=sinx(xR)xyo--1234-2-31

x···0·········sinx-1010-12021/6/2718

余弦函数的单调性

y=cosx(xR)x······0······cosx-1010-1yxo--1234-2-31

2021/6/2719单调性y=cosx在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.y=sinx在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z）上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一个闭区间[+2kπ，+2kπ](k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到-1.

2021/6/2720例3求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合（1）y=cosx＋1，x∈R；（2）y=－3sin2x，x∈R.2021/6/2721例4比较下列各组数的大小:例5求函数，x∈[－2π，2π]的单调递增区间.2021/6/27222021/6/2723当cosx=1即x=2kπ（k∈Z)时，y取到最大值3.解：由cosx≥0得：-+2kπ≤x≤+2kπ（k∈Z)∴函数定义域为[-+2kπ，+2kπ]

由0≤cosx≤1∴

1≤2+1≤3∴函数值域为[1，3]练：求函数y=2+1的定义域、值域，并求当x为何值时，y取到最大值，最大值为多少？2021/6/2724

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

奇函数偶函数[

+2k,

+2k],kZ单调递增[

+2k,

+2k],kZ单调递减[

+2k,

2k],kZ单调递增[2k,

2k+

],kZ单调递减函数余弦函数正弦函数求函数的单调区间：1.直接利用相关性质2.复合函数的单调性3.利用图象寻找单调区间奇偶性

单调性（单调区间）2021/6/2725

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

例2

求下列函数的单调区间：

(1)y=2sin(-x)解：y=2sin(-x)=-2sinx

函数在上单调递减[

+2k,

+2k],kZ函数在上单调递增[

+2k,

+2k],kZ

(2)y=3sin(2x-)

单调增区间为所以：解：单调减区间为2021/6/2726

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

解：

(4)解：定义域(3)y=(tan)sin2x

单调减区间为单调增区间为

当即为减区间。当即为增区间