中考数学复习：反比例函数应用（五大类型）（题型专练）（解析版）

专题02反比例函数应用（五大类型）

版型归的

【题型1行程与工程应用】

［题型2物理学中的应用】

【题型3经济学的应用】

【题型4生活中其他的应用】

【题型5反比例函数的综合】

敦型专练

【题型1行程与工程应用】

1.（2022•潍坊二模）列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间/（〃）与行驶

的平均速度vCkm/h）之间的反比例函数关系如图所示.若列车要在2.5〃内

到达，则速度至少需要提高到（）km/h.

v(km/h)

A.180B.240C.280D.300

【答案】B

【解答】解：设列车行驶完全程所需的时间/（丸）与行驶的平均速度v

（而/〃）之间的关系式为/=上，

V

把v=200时，/=3代入得：3=上，

200

.•"=600,

•••列车行驶完全程所需的时间/（丸）与行驶的平均速度v（«）之间的关系

式为r=600,

V

当f=2.5〃时，即2.5=迪,

v

...v=240,

故选：B.

2.（2022秋•浑南区期末）某工程队计划修建铁路，给出了铺轨的天数y（d）

与每日铺轨量x（.km/d'）之间的关系表：

J（"）120150200240300

x(kmld)108654

根据表格信息，判断出y是x的函数，则这个函数表达式是1=侬

【答案】尸31.

X

【解答】解：根据表中数据可知，孙=1200,

.•.V是x的反比例函数，即3；=丝丝，

X

故答案为：

X

3.（2023春•肇源县期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的

工程，所需天数了（天）与每天完成工程量x（米）是反比例函数关系，图象

如图所示：

（1）求了与X之间的函数关系式；

（2）若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该

工程队需要用多少天才能完成此项任务？

（2）该工程队需要用10天才能完成此项任务.

【解答】解：（1）设ylL,

•.•点（24,50）在其图象上,

，50=旦

24

.•#=1200,

•••所求函数关系式为

X

（2）由题意知，4台挖掘机每天能够开挖水渠30X4=120（米），

当x=120时，=1200_=10,

120

答：该工程队需要用10天才能完成此项任务.

【题型2物理学中的应用】

4.（2021秋•夏津县期末）已知蓄电池的电压为定值.使用电池时，电流/（Z）

与电阻火（Q）是反比例函数关系，图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的

电器的限制电流不能超过34那么电器的可变电阻R（Q）应控制在（）

A.REB.0VRW2C.心2D.0<7?Wl

【答案】C

【解答】解：设反比例函数关系式为：/=区，

R

把（2,3）代入得：左=2X3=6,

...反比例函数关系式为：1=殳,

R

当/W3时，则反W3,

R

42,

故选：C.

5.（2022•娄底模拟）如图，取一根长100c机的匀质木杆，用细绳绑在木杆的

中点。将其吊起来在中点0的左侧，距离中点25cm处挂一个重9.8N的物体,

在中点。右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态.如果把弹簧秤与

中点。的距离工（单位：cm）记作x,弹簧秤的示数尸（单位：N）记作外

A.1对B.2对C.3对D.4对

【答案】C

【解答】解：根据杠杆原理可得，尸吆=25X9.8,

•••把弹簧秤与中点。的距离上记作x,弹簧秤的示数厂记作修

.,.9=245（0<xW50）；

75X49=245,

10X24.5=245,

35X7.1=248.5,

40X6.125=245,

••・满足y与x的函数关系式有（5,49）,（10,24.5）,（40,6.125）,共

3对，

故选：C.

6.（2022秋•柳州期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间

成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数了与镜片焦距x之间的函数解析

式为（）

【答案】D

【解答】解：根据题意近视眼镜的度数了(度)与镜片焦距x(米)成反比例,

设尸K，

X

由于点(0.5,200)在此函数解析式上，

.•"=0.5X200=100,

••100，

X

故选：D.

7.(2022•山西)根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强?

(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其函数图象如图所示.当5=

0.25小时，该物体承受的压强夕的值为400Pa.

【答案】400.

【解答】解：设夕=K,

s

•函数图象经过(0.1,1000),

：.k=100,

当S=0.25小时，物体所受的压强夕=10°=400(Pa),

0.25

故答案为：400.

8.(2022•郴州)科技小组为了验证某电路的电压。(厂)、电流/(Z)、电阻

R(Q)三者之间的关系：/=U,测得数据如下：

R

R(Q)100200220400

I(A)2.21.110.55

那么，当电阻R=55Q时，电流/=44.

【答案】4.

【解答】解：把R=220,/=1代入/=卫_得:

R

］二—^-,

220

解得U=220,

.W=220,

R

把R=55代入/=丝1得：

R

/=220,=4,

55

故答案为：4.

9.（2023•鼓楼区校级模拟）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时,

气球内气体的气压夕（单位：千帕）随气体体积%（单位：立方米）的变化而

变化，P随匕的变化情况如表所示.

P1.522.534・・・

V644838.43224・・・

（1）写出一个符合表格数据的?关于厂的函数解析式等一

（2）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数解

析式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）由表格中数据可得尸r=96,

则「=组

V

故答案为：尸=的；

V

（2）由尸=144时，K=2,

3

.•.PW144时，-22,

3

当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积

至少为2立方米.

3

10.(2023•普兰店区模拟)竦州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气

球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压产

(kPa)是气体体积「(机3)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)试写出这个函数的表达式；

(2)当气球的体积为2〃时，气球内气体的气压是多少？

(3)当气球内的气压大于120人尸。时，气球将爆炸.为了安全起见，对气球

的体积有什么要求？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)设球内气体的气压产(kPa)和气体体积V(掰3)的关系式

为尸=K,

v

•图象过点(1.6,60)

・•・左=96

即。=丝

V

(2)当忆=2〃时，0=48(kPa)；

(3)当P>120灯a时，气球将爆炸，

...PW120,即晅W120,

V

-20.8.

.•.气球的体积应大于等于0.8m3.

11.(2022秋•府谷县期末)蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流/(Z)

是电阻R(Q)的反比例函数，其图象如图所示.

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)当R=10Q时，求电流/(/).

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）由电流/（Z）是电阻A（Q）的反比例函数，设/=上（左

R

W0）,

把（4,9）代入得：左=4X9=36,

•T36

（2）当H=10Q时，/=3.64

12.（2023•宜都市一模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以

撬动地球”.后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离

与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理

为：阻力X阻力臂=动力X动力臂（如图）.小伟欲用撬棍撬动一块石头，

已知阻力和阻力臂分别为1000N和1机.

（1）动力厂与动力臂/有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至

少需要多大的力？

（2）若想使动力F不超过a）中所用力的一半，则动力臂I至少要加长多少？

阻力动力

,,支点”

------V-------j

阻力臂动力臂

【答案】（1）动力厂与动力臂/的函数关系为F若上，动力臂为2米时，撬

动石头至少需要500N的力；

（2）动力臂至少要加长2M.

【解答】解：（1）由题意可得：ioooxi=&,

则4100°，

1

当动力臂为2米时，

则撬动石头至少需要：F若6=500（N），

答：动力/与动力臂/的函数关系为F二*,动力臂为2米时，撬动石头至

少需要500N的力；

（2）当动力R不超过题（1）中所用力的一半，即尸W250,

则华＜250，

解得：/24,

即动力臂至少要加长4-2=2（能），

答：动力臂至少要加长2匹

13.（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）

和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高了（单位：CM）是物距（小孔

到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=2.

（1）求y关于x的函数解析式.

（2）若火焰的像高为3cm,求小孔到蜡烛的距离.

(2)4cm.

【解答】解：（1）由题意设：y=K,

X

把x=6,y=2代入，得左=6X2=12,

•••夕关于x的函数解析式为：歹=丝；

（2）把y=3代入^=卫得，x=4）

•••小孔到蜡烛的距离为4cm

【题型3经济学的应用】

14.（2023春•大连月考）某种商品上市之初进行了大量的广告宣传，其日销售

量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与

上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当

日销售量为200#.

（1）求该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数解

析式；

（2）当上市的天数为多少时，日销售量为80件？

【答案】（1）当0<xW20时，y=lQx；

当x220时，y=4000；

X

（2）当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件.

【解答】解（1）当0VxW20时，设尸由，把（20,200）代入得自=10,

**y=10x；

当x»20时，设^=丝，把（20,200）代入得左2=4000,

X

••*vy=4-0--0--0，.

X

（2）当y=80时，80=10%,

解得：x=8,

当y=80时，80=400。,

X

解得：x=50,

故当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件.

15.（2023•未央区校级三模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日

销售量歹与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y

与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时,

当日销售量为200件.（1）写出该商品上市以后日销售量了（件）与上市的

天数x（天）之间的表达式.

（2）当上市的天数为多少时，日销售量为100件？

（2）10天或40天.

【解答】解⑴当0<xW20时，设尸后x,把（20,200）代入得后=10,

**y=10x；

当x》20时，设歹=丝，把（20,200）代入得左2=4000,

X

・v=4000.

X

（2）当.=100时,100=10%,

解得：x=10,

当y=100时，100=400。,

X

解得：x=40,

故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件.

16.（2022秋•阜平县期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发

现：商品的月总产量稳定在600件.商品的月销量。（件）由基本销售量与

浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工

（元/件）GW10）成反比例，且可以得到如下信息：

售价X（元/件）58

商品的销售量。（件）580400

（1）求。与x的函数关系式.

（2）若生产出的商品正好销完，求售价x.

（3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？

【答案】（1）Q=IOO3幽；（2）4.8元/件；（3）当x=10时，月销售额最

X

大，最大值为3400元.

'k

mq=580

【解答】解：（1）设|^=1[1+上（政）基本销售量），依题意得：，，

Xm4=400

Lo

解得：卜=100,

lk=2400

•'-Q=100+^^-（x<10）5

X

（2）当。=600时有：io。+迎=600，

X

解得：x=4.8,

，售价为4.8元.

（3）依题意得：月销售额=0北=100*+2400,

V100>0,

•，.0随x的增大而增大，

则当x=10时，月销售额最大，最大值为3400元.

17.（2023•沂源县一模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种

特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，综合

考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨2万元，销售结束后，经过统计得

到了如下信息：

信息1：设第x次线上销售水果了（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然

后每一次总比前一次销售量减少1吨；

信息2：该水果的销售单价P（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其

中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次线上销售的浮动价与销售场次

x成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次x成反比

信息3：

X（次）2824

P（万元）2.22.83

请根据以上信息，解决下列问题.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若夕=3.2(万元/吨)，求x的值；

(3)在这30次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多

少？

【答案】(1)歹与x之间的函数关系式为：y=40-x；(2)12或20；(3)

在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5万

【解答】解：(1)设第x次线上销售水果y(吨)，

•.•第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨；

二y与x之间的函数关系式为：y=40-x；

(2)设第1场〜第15场时0与x的函数关系式为0=依+6；第16场〜第30

场时P与x的函数关系式为pl+b，

依题意得2a+b=2.2,解这个方程组得，,

8a+b=8

又当x=24时，有3磺+2，解之得，%=24,

当14W15时，p±x+2=3.2.

解之得，x=12

当164W30时，p^^+2=3.2.

解之得，x=20

(3)设每场获得的利润为力(万元)，则有

22

当14W15时，1//=(40-x)(-^x+2-2)=-^-X+4X=--^-(X-20)+40-

所以当x=15时，%最大，最大为37.5万元；

当164W30时，w=(40-x)(—+2-2)^^.24,

当x=16时，%最大，最大为36万元,

所以在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5

万元

【题型4生活中其他的应用】

18.（2023•中山区模拟）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间了（分）

与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35,小明每分钟

至少应录入多少个字？

【答案】（l）y与x的函数表达式为^=酗；（2）小明每分钟至少录入100

X

个字.

【解答】解：（1）设^=上，

X

把（150,10）代入y=K得，10=

'x150

・•・左=1500,

•••歹与X的函数表达式为歹=侬_；

（2）•.,当y=35-20=15时，x=100,

'：k>0,

在第一象限内，y随x的增大而减小，

小明录入文字的速度至少为100字/分,

答：小明每分钟至少录入100个字

19.（2023春•姑苏区校级期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤,

在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格

调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位斤）

与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为v=1^0-.

x-30

【答案】尸幽.

x-30

【解答】解：・・•坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，

与（%-30）成反比例关系，

设尸—--（左＞0）,

x-30

•.,%=50时，»=80,

.*—=80,

50-30

解得，左=1600,

与x之间的函数表达式为：y=3，

x-30

故答案为：

x-30

20.（2023•乾安县一模）李老师把油箱加满油后驾驶汽车从县城到省城接客人,

油箱加满后，汽车行驶的总路程y（单位：加）与平均耗油量x（单位：

Llkm）之间的关系如图所示.

（1）求了与x的函数关系式.

（2）当平均耗油量为0.16£/Am时，汽车行驶的总路程为多少后〃？

（2）当平均耗油量为0.16〃府时，汽车行驶的总路程为437.5力〃.

【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为

将点(0.1,700)代入，得左=0.1X700=70,

•••y与x的函数表达式为了用.

JJ

X

（2）当x=0.16时，丫=70

y0.1643"b

当平均耗油量为0.16〃购时，汽车行驶的总路程为431.5km.

21.（2022•普宁市一模）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标

（后简称指标）随上课时间的变化而变化.上课开始时，学生随着运动，指

标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指

标开始下降.指标》随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0Wx<

10和10WxV20时，图象是线段；当20WxW40时，图象是反比例函数的一

部分.

（1）请求出当0Wx<10和20Wx<40时，所对应的函数表达式；

（2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要

学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？

（2）杨老师的教学设计能实现，理由见解析.

【解答】解：（1）设0-10分钟的函数解析式为了=区+6,20-40分钟的函

数解析式为y*，

X

・f10k+b=60k

lb=4020

：.Sk=2,左=1200,

lb=40

AO-10分钟的函数解析式为y=2x+40,20-40分钟的函数解析式为

1200.

yp,

(2)杨老师的教学设计能实现，

理由：将y=48代入y=2x+40中，得x=4,

将y=48代入y3上中，得x=25,

x

V25-4=21>18,

•••杨老师的教学设计能实现.

22.(2023•驿城区二模)某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大

棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，

大棚内的温度y(℃)与时间x(〃)之间的函数关系，其中线段25、BC表

示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段.

请根据图中信息解答下列问题：

(1)求这天的温度y与时间x(0WxW24)的函数关系式；

(2)解释线段5c的实际意义；

(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害.问这天内，恒温系统最

多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？

(2)线段3C表示恒温系统设定恒温为20℃；

(3)10小时.

【解答】解：(1)设线段解析式为y=Ax+b(左W0)

线段48过点(0,10),(3,15),

/fb=10,

l3k+b=15

心

解得k3，

上=10

，线段48的解析式为：y=5x+10(0WxV6),

"3

,.•5在线段ZB上当x=6时，y=20,

.•.5坐标为(6,20),

二线段8c的解析式为：歹=20—10),

设双曲线CD解析式为：丫扫(取户0),

VC(10,20),

Am=200,

双曲线CD的解析式为：y图^(10<x(24)，

X

.\y关于x的函数解析式为：

5

Yx+10(0<»:<6)

O

20(6<x：<10),

200

(10<x<24)

(2)线段5c表示恒温系统设定恒温为20C；

(3)把y=10代入y=200中,

X

解得：x=20,

A20-10=10(小时),

.•.恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害.

23.(2023•孟津县一模)西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校

所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中,

教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（mm）之间的函数关

系如图所示，其中当x<6时，y是x的正比例函数，当x>6时，>是x的反

比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）求当x26时，了与x的函数关系式；

（2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5zng的时间

超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？

也G26）；

X

（2）超过30分钟，故是有效消毒.

【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=K（左#0）,

X

将（15,4）代入，得15=X.

4

.,#=4X15=60,

...y与x的函数关系式为｝；=也GN6）；

X

（2）当x=6时歹=皎=10,

x

・•・点/的坐标为（6,10）；

由4点（6,10）可得。/所在直线表达式为》=旦=昂，

63

将y=1.5代入得区=1.5,

33

Ax=0.9,

将y=1.5代入y=也，得皎=1.5,

xx

Ax=40,

A40-0.9=39.1（分钟）,

超过30分钟，故是有效消毒.

24.（2022秋•铁锋区期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进

行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量了（毫克）与时间x

（分钟）成为正比例，药物燃烧后，了与x成反比例（如图），现测得药物8

分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的

信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式.

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公

室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；

（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于

10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

1y（毫克）

研8区分钟）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）设药物燃烧时了关于x的函数关系式为了=左算（白＞0）代

入（8,6）为6=8后

左1=3,

4

设药物燃烧后歹关于x的函数关系式为丁=丝（后＞0）,

X

,经过点（8,6）,

；.6=红，

8

；.左2=48,

•••药物燃烧时歹关于x的函数关系式为尸斗（04W8）药物燃烧后歹关于x

4

的函数关系式为^=更（x＞8）；

（2）结合实际，令^=望中yW1.6得x》30,

X

答：即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室;

(3)把y=3代入尸氏，得:x~4,

把y=3代入y=超，得：x=16,

x

V16-4=12>10,

所以这次消毒是有效的.

25.(2022秋•陵城区期末)泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃,然后停

止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x

(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)

与时间x(机％)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度

是20℃,降温过程中水温不低于20℃.

(1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：

(2)从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶

需要等待多长时间？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)停止加热时，设y=K,

X

由题意得：50=区，

18

解得：左=900,

*•*y--9-0-0，

X

当》=100时，解得：x=9,

二。点坐标为(9,100),

.••8点坐标为(8,100),

当加热烧水时，设y=ox+20,

由题意得：100=8。+20,

解得：a=10,

...当加热烧水，函数关系式为y=10x+20(0WxW8)；

当停止加热，得y与x的函数关系式为(1)y=100(8<xW9)；y=驷■

X

(9VxW45)；

(2)把y=90代入^=更幺得x=10,

x

因此从烧水开到泡茶需要等待10-8=2分钟.

26.(2023春•淮安区期末)我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热

时每分钟上升10℃,加热到100℃,停止加热，水温开始下降，此时水温

(℃)与开机后用时(min)成反比例关系.直至水温降至20℃时自动开机加

热，重复上述自动程序.若在水温为20℃时，接通电源后，水温了(℃)和

时间x(min)的关系如图所示.

(1)a=8,b=40.

(2)直接写出图中y关于x的函数表达式.

(3)饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？

(4)若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃,问学生

上午第一节下课时(8：40)能喝到50℃以上的水吗？请说明理由.

【答案】(1)8；40.

，10x+20(0<x<8)

⑵尸回(8«4。).

X

(3)学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16-3=13分钟.

(4)学生上午第一节下课时(8：40)不能喝到超过50℃的水.

【解答】解：(1)•.•开机加热时每分钟上升10℃,

.•.从20℃至U100℃需要8分钟，

设一次函数关系式为：y=krx+b,

将(0,20),(8,100)代入「=狂计6,得果=10,6=20.

.\y=10x+20(0WxW8),

设反比例函数关系式为：歹=K,

X

将(8,100)代入，得左=800,

*•*Vy—--8--0-0-，

X

当》=20时，代入关系式可得x=40；

故答案为：8；40.

，10x+20(0<x<8)

(2)由(1)中计算可得，歹=800

-----(84x440)

1x

(3)在y=10x+20(0WxW8)中，

令y=50,解得x=3；

反比例函数^=致^中，令y=50,解得：x—16,

x

学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16-3=13分钟.

(4)由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，

上午七点到上午第一节下课时(8：40)的时间是100分钟，是2个40分钟

多20分钟，

.,.822=40(℃),

20

.•.学生上午第一节下课时(8：40)不能喝到超过50℃的水.

27.(2023春•东城区校级期末)工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加

温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工

过程中，该材料的温度y(℃)时间x(机沅)变化的函数图象，已知该材料,

初始温度为15℃,在温度上升阶段，了与x成一次函数关系，在第5分钟温

度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系.

(1)写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：

①上升阶段：当0WxW5时，y=9x±15；

②下降阶段：当x>5时，^=300_.

X

(2)根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃,可以进行产品加工，请问在

图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)①上升阶段：当0Wx<5时，为一次函数，设一次函数表

达式为

由于一次函数图象过点(0,15),(5,60),

所以产5,

[5k+b=60

解得：。=15,

lk=9

所以y=9x+15,

②下降阶段：当x25时，为反比例函数，设函数关系式为：歹=典，

x

由于图象过点(5,60),所以机=300.

则尸独2；

x

故答案为：9x+15；=300

(2)当0WxV5时，j/=9x+15=30,得x=_|",

因为y随x的增大而增大，所以

当时，y=^00.=30,

x

得x=10,因为y随x的增大而减小，

所以xV10,

10-立=空，

33

答：可加工至方证.

3

【题型5反比例函数的综合】

28.(2023•赣榆区二模)在平面直角坐标系中，已知一次函数为=左述+6的图象

与坐标轴分别交于Z(5,0),B(0,1)两点，且与反比例函数的

图象在第一象限内交于P,。两点，连接。尸，△O4P的面积为S.

4

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)当了2＞为时，请你直接写出X的取值范围；

(3)若C为线段CM上的一个动点，当尸C+0c最小时，求△尸0c的面

积.

【答案】(1)一次函数的解析式为：H=-L+S,反比例函数的解析式为:

'22

为=2；

X

(2)0<%<1或x>4；

(3)旦.

5

【解答】解：(1)•••一次函数为=g+A与坐标轴分别交于Z(5,0),B

(0.5)两点，

2

5k[+b=0

b4

k=

解得i4

b=f

...一次函数的解析式为：为=-上什5.

22

•.,△04P的面积为5,

4

.".X*OA*vp=—,

2-4

•.•点尸在一次函数图象上，

...令-JLX+S=JL.解得元=4,

222

：.P(4,1).

2

•.•点尸在反比例函数J2=%的图象上，

X

.,.左2=4XJL=2.

2

.••一次函数的解析式为：％=-L+2，反比例函数的解析式为：m=2.

22x

(2)令一“1一无T-5一.乙■,解得x=l或x=4,

22x

：.K(1,2),

由图象可知，当竺>g时，x的取值范围为：OVx<l或x>4；

(3)如图，作点尸关于x轴的对称点P,连接0P,线段0P与x轴的

交点即为点C,

2

：.P'(4,-1),

2

：.PP'=1,

•••直线QP'的解析式为：y=-Ix+1L,

66

令y=0,解得x=,,

:.c（1Lo）,

5

-'-S^PQc=^-,（xc-xe）*PP'

=1X（IL-1）XI

25

=旦,

5

当尸C+QC最小时，APKC的面积为1_.

29.（2022秋•城固县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形O4BC的顶点幺

在y轴正半轴上，点C的坐标为（4,3）,反比例函数y支@卉0）的图象经

X

过点B.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在反比例函数的图象上是否存在点P,使得产的面积等于菱形0Z5C

的面积？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）yW；

X

（2）存在；尸（8,4）或尸（-8,-4）.

【解答】（1）解：延长5C交x轴于点。,

•.•四边形0Z3C是菱形，

J.OA//BC,OA=OC=BC=AB,

'.BD^x轴，

VC（4,3）,

.•.0D=4,CD=3,0C=V42+32=5-

OA=OC=BC=AB=5,

BD=BC+CD=OC+CD=8,

：.B（4,8）,

•.•点5在双曲线上，

...左=4X8=32,

...反比例函数的表达式为：y卫；

X

（2）解：存在；设尸点的横坐标为加，

-：S^OABC=BC-OD=5X4=20,

•*,SAOAP=70A-IXpI卷x51ml=20，

.•.加=±8,

当加=8时，p（8,—），即：P（8,4）,

8

当加=8时，p（-8,—），即：尸（-8,-4）；

综上，存在点P(8,4)或尸(-8,-4),使△CMP的面积等于菱形045。

30.(2023春•万州区期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与坐标

轴分别交于2、8两点，与反比例函数在第一象限交于点C(1,a),

点、D(7,b)是反比例函数一点，连接并延长交X轴于点£.

X

(1)求6的值；

(2)连接8E,若点尸是线段3E上一动点，连接CP当s^pcE今时，求

点P的坐标；

(3)若点/是x轴上一动点，点N为平面内一点，在(2)的条件下，是否

存在以幺、P、M、N四点为顶点的菱形？请直接写出点N的坐标.

【答案】(1)6=包

7

(2)P(2,3)；

(3)点N的坐标为(7,3)或(-3,3)或(2,-3)或(-9,3).

8

【解答】解：(1)•••点C(1,a)是直线y=2x+4与反比例函数的交点,

X

・・a=2+4=6，

:,k=1X6=6,

:点。(7,b)是反比例函数y工■上一点,

.”=旦；

7

(2)过点P作PQLx轴交CD于点Q,

直线CD的解析式为尸-尹竿,

•点E是直线CD与x轴的交点，

：.E(8,0),

直线BE的解析式为尸-lx+4,

设尸(a,-Afl+4),Q(a,-2,

277

'.PQ=-2升更-(-L+4)=-_§_(/+理

772147

：•S&PCE=S&PQC+S&PQE=Q(xg-Xc)，

."..L(-,5q+2」)—15；

21472

・・a=2,

：.P(2,3)；

(3)在直线y=2x+4与坐标轴分别交于Z、3两点,

：.A(-2,0),

VP(2,3),

--AP=yj(-2-2)2+32=5'

•.•以4、P、M、N四点为顶点的菱形,

：.AP=AM=5,

：.MX(3,0)或跖(-8,0),

•四边形4PNM是菱形，

C.PN//AM,PN=AM=5,

：.N1(7,3),M(-3,3)；

：.N3(2,-3),

如图4,当AM=PM,PN〃/河时,

；.NG=3,

过产作PQ±x轴于Q,

：.PQ=3,AQ=4,

设AM=PM=a,

a2=32+(4-a')2,

•a=25

8

：.AN=^_,

8

.,.^G=^AN2_NG2=Z,

o

：.0G=^-,

8

：.N4（一旦，3）,

8

综上所述，点N的坐标为（7,3）或（-3,3）或（2,-3）或（-9,

8

3）.

31.（2023春•洛江区期末）如图，已知反比例函数y「kL（x〈o）的图象与直线

X

y=k[x+b将于交于A（-1,6）、B（-6,m）两点，直线AB交x轴于点

拉，点C是x轴正半轴上的一点，

（1）求反比例函数及直线Z8的解析式；

（2）若必居。=25,求点C的坐标；

（3）若点C的坐标为（1,0）,点。为x轴上的一点，点E为直线ZC上的

一点，是否存在点。和点£,使得以点。、E、A.5为顶点的四边形为平行

四边形？若存在，直接写出£点的坐标；若不存在，请说明理由.

（2）C（3,0）；

（3）存在•点E的坐标为（_A,7）或（2，5）或（旦，-5〉

333

【解答】解：（1）将/（-1,6）代入y=上L,得6=也，

X-1

解得：k[=-6,

...反比例函数的解析式为：歹=-旦；

将B(-6,m)代入y=——>

x

得m—\,

：.B(-6,1),

,直线天=松+》经过/(-1,6)、3(-6,1)两点，

.6=~k2+b

,

…l=-6k2+b

解得：IQ]

lb=7

直线25的解析式为：尸x+7；

(2)在y=x+7中，令y=0,得x=-7,

：.M(-7,0),

・••点C是x轴正半轴上的一点，

.•.设C(x,0)(x>0),

：.MC=x-(-7)=x+7,

.：S”BC=S“MC-S4BMC=25,

：.XMC*(6-1)=25,即$(x+7)=25,

22

解得：x=3；

，点C的坐标为(3,0)；

(3)若点C的坐标为(1,0),点。为x轴上的一点，点E为直线NC上的

一点，是否存在点。和点£,使得以点。、E、幺、8为顶点的四边形为平行

四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)存在.点E的坐标为(_A,7)或(2，5)或(旦，-5〉

333

设直线AC的解析式为y=ax+c,

则[6=-a+c,

I0=a+c

解得：卜=-3,

lc=3

・•.直线ZC的解析式为：j=-3x+3；

设。Qt,0)、E(n,-3〃+3),

又4(-1,6)、B(-6,1),

当AB、DE为平行四边形的对角线时，AB、DE的中点重合，

.r-l-6=t+n

I6+l=_3n+3+0

f17

t=~

解得：，

4

,n=T

二E(4‘7)；

o

当4D、BE为平行四边形的对角线时，AD.BE的中点重合，

・ft-l=n-6

I6+0=-3n+3+l

f17

t=

解得-：v

2

n~^3

,・E(4，5)；

o

当ZE、5。为平行四边形的对角线时，AE、的中点重合，

・(n-l=t-6

I0+l=-3n+3+6

f23

千

解得t：

n=

k7

E告，-5)-

综上所述，点E的坐标为(得，7)或(［，5)或母，-5>

32.(2023•从化区二模)如图，在平面直角坐标系x0v中，一次函数y=ax+6

(aWO)的图象与x轴交于点Z(-2,0),与反比例函数y工>(x>0)交于

点,B(b,9).

(1)求反比例函数的表达式；

(