广东省茂名市高州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

高州市2023—2024学年度第一学期期末教学质量监测九年级数学试卷说明：1．全卷满分120分，用时120分钟．2．答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．3．用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡上，不能用铅笔和红色字迹的笔书写．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在实数，0，1，中，最小的数是（）A. B.0 C.1 D.2.以下燕尾槽的主视图为（）A. B. C. D.3.在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（）A. B. C. D.4.“中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是（）A. B. C. D.5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.6.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（）A.9米 B.18米 C.27米 D.36米8.不等式组解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.9.将直线向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式是（）A. B.C. D.10.如图，在正方形中，为的中点，为上一点（不与，重合），将沿所在的直线折叠，得到，连接．当时，的值是（）A.1 B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11.因式分解：_____．12.请写出一个与是同类项的式子：________．13.若，则________．14.若，则的值为_______．15.如图，矩形对角线相交于点，沿着对角线折叠，使得点落在点处，其中点的坐标为长度为，则的纵坐标为________．三、解答题（一）：本大题共4小题，共28分．16.（1）计算：（2）用公式法解方程：17.先化简，再求值：，其中．18.教室里投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）19.如图，的顶点在直线上，已知，．（1）实践与操作：用尺规作图法作关于直线的对称图形；（2）应用与计算：在（1）条件下，若，求的长．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．20.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．21.生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群的数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：（只）．某研究小组考察了一湖泊中某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：年龄ABCD……个体数量92187xy……注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年．（1）年龄为，，的个体数量的平均数为125，年龄在，，，的个体数量的中位数是95，则________，________（其中）．（2）若将年龄为的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？（3）现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是和年龄的鱼的概率．22.综合与实践【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研．【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，．【计算与分析】图1图2图3图4（1）当伞完全张开后，求的长度；（2）当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住阴影部分的面积．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．23.年世界环境日的主题是“减塑捡塑”，某城市为营造干净整洁的生活环境，加大垃圾分类的投入力度，准备购买两种型号的垃圾桶．市场调查反映：型垃圾桶每组的单价比型垃圾桶每组的单价多元，用元购买型垃圾桶的组数与用元购买型垃圾桶的组数相同．（1）求两种型号垃圾桶每组的单价；（2）该城市计划购买两种型号垃圾桶共组，且型垃圾桶的组数不少于型垃圾桶组数的，求购买这组垃圾桶所需的最大费用．24.已知点在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点在轴上方，与轴的夹角为．（1）如图1，当点在轴上时，求点坐标；（2）①如图2，当时，与轴相交于点，若，求点的坐标；②如图3，当时，与轴相交于点，若，求点的坐标．

高州市2023—2024学年度第一学期期末教学质量监测九年级数学试卷说明：1．全卷满分120分，用时120分钟．2．答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．3．用黑色字迹钢笔或签字笔写在答题卡上，不能用铅笔和红色字迹的笔书写．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在实数，0，1，中，最小的数是（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考试实数比较大小，掌握实数比较大小的方法，无理数的估算方法是解题的关键．根据实数比较大小的方法“负数小于零，零小于正数”，无理数的估算的方法即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴最小的数是，故选：．2.以下燕尾槽主视图为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查三视图，根据从正面看到的图形为主视图，即可解题．【详解】解：由题知，从正面看燕尾槽其主视图为A，故选：A．3.在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查点的坐标关于坐标轴对称，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的特征是解题的关键；根据点的坐标关于坐标轴对称“关于谁对称，谁就不变，另一个互为相反数”，由此问题可求解．【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是；故选B．4.“中国天眼”是目前世界上唯一能观测深空的射电望远镜，其中心位置是一个正五边形，这个正五边形的内角和是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正多边形的内角和的计算公式：（且n为整数），根据多边形的内角和定理即可求解．【详解】解：正五边形的内角和为：，故选：C．5.下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘、除法法则，掌握运算法则是解决本题的关键．利用同底数幂的乘、除法法则、幂的乘方、合并同类项法则、逐个计算得结论．【详解】解：A．，故结论正确；B．，故结论错误；C．，故结论错误；D．，故结论错误．故选：A．6.式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，解一元一次不等式的方法，掌握二次根式中被开方数为非负数时解题的关键．根据二次根式被开方数为非负数即可求解．【详解】解：，∴，故选：．7.如图，两地被池塘隔开，小明先在外选一点，然后测出的中点．若的长为18米，则间的距离是（）A.9米 B.18米 C.27米 D.36米【答案】D【解析】【分析】本题主要考查三角形中位线的运用，理解并掌握中位线的性质是解题的关键，根据点是的中点，可得，由此即可求解．【详解】解：根据题意，是的中位线，∴，∴（米），故选：．8.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．【详解】解：由得，由得，解集在数轴上表示为：，则不等式组的解集为．故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．9.将直线向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：直线向上平移个单位得到的直线解析式是．故选：C．10.如图，在正方形中，为的中点，为上一点（不与，重合），将沿所在的直线折叠，得到，连接．当时，的值是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据正方形的性质，点是的中点，，可判定是等边三角形，由此可推出，，再根据含角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵为的中点，∴，∵沿所在的直线折叠，得到，∴，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，即，∵，∴，则，∴，在中，，∴，∵，∴，故选：．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．11.因式分解：_____．【答案】a(b-1)【解析】【分析】提公因式a即可．【详解】解：．故答案为．【点睛】本题考查了提取公因式法因式分解，解题关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．12.请写出一个与是同类项的式子：________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了同类项的知识．根据同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，写出符合题意的一个代数式即可．【详解】解：∵中，a的指数是1，b的指数是2，∴的同类项可以是，故答案为：（答案不唯一）．13.若，则________．【答案】【解析】【分析】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，根据非负性的性质求得与的值，将与的值代入，即可求解．【详解】解：，且，解得，，将，代入，有．故答案为：．14.若，则的值为_______．【答案】【解析】【分析】将要求的代数式先化简，再根据已知条件，整体代入即可求值．【详解】解：，，原式．故答案为：．【点睛】此题考查的是代数式的求值，整体代入是解这道题的关键．15.如图，矩形对角线相交于点，沿着对角线折叠，使得点落在点处，其中点的坐标为长度为，则的纵坐标为________．【答案】【解析】【分析】根据矩形的性质，勾股定理可求出的值，再根据全等三角形的判定，设，根据勾股定理可得的值，过点作轴于点，运用相似三角形的判定可得，结合相似三角形的性质可求出，最后根据线段的和差此即可求解．【详解】解：已知，∴，∵四边形是矩形，对角线交于点，∴，，，，∴，在中，，，∴，∴，∵折叠，∴，，在中，，∴，∴，，设，则，在中，，∴，解得，，即，则，如图所示，过点作轴于点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵点在的负半轴上，点在第四象限，∴点的纵坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质的综合，掌握矩形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．三、解答题（一）：本大题共4小题，共28分．16.（1）计算：（2）用公式法解方程：【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本题主要考查特殊角的余弦值，非零数的零次幂，公式法解一元二次方程的综合，掌握实数的运算法则，公式法的运用是解题的关键．（1）先算绝对值，余弦值，零次幂，再算加减即可；（2）移项变形为一元二次方程的一般式子，再运用求根公式即可求解．【详解】解：（1）原式；（2）原方程变形为：，，，，．17.先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键；首先进行分式的化简，再把x的值代入化简后的式子，即可求得其值．【详解】解：原式，，；当时，原式18.教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）【答案】的长约为【解析】【分析】在中，由，再代入数据进行计算即可．【详解】解：在中，，，，∴

．∴的长约为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题的关键．19.如图，的顶点在直线上，已知，．（1）实践与操作：用尺规作图法作关于直线的对称图形；（2）应用与计算：在（1）的条件下，若，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）以点A为圆心，以长为半径画弧，以点B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连接，，即为所求；（2）连接交于点F，首先根据轴对称的性质得到，然后证明出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后得到，进而求解即可．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】如图所示，连接交于点F，∵和关于直线对称，点C和点是对应点∴∵∴∴是等腰直角三角形∴，∴∴∵，∴∵∴．【点睛】此题考查了尺规作对称图形和轴对称性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是正确作出轴对称图形．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．20.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）判断△BOC的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析．【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论．【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）△BOC是等腰三角形，理由如下：∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE，∴∠OBC=∠OCB，∴BO=CO，∴△BOC是等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键．21.生物学上通常用“标记重捕法”来估算特定区域内某种群数量．如在固定区域内用捕虫网捕捉了40只田鼠，将它们标记后放回直到充分混合后，用同一个捕虫网捕捉了80只田鼠，其中有16只是被标记的，于是估算该区域田鼠的数量为：（只）．某研究小组考察了一湖泊中的某鱼种群的年龄组成，结果如下表，请回答问题：年龄ABCD……个体数量92187xy……注：表中“”表示鱼的年龄年，表示年龄年，表示年龄年，表示年龄为年．（1）年龄为，，的个体数量的平均数为125，年龄在，，，的个体数量的中位数是95，则________，________（其中）．（2）若将年龄为的鱼全部标记后并放回湖泊，充分混合后，捕捉120条鱼，其中被标记鱼有12条，那么该湖泊里一共约有多少条鱼？（3）现捕获A，B，C，D年龄段的鱼各一条，从中任抓两条，请用列表或画树状图求抓到的是和年龄的鱼的概率．【答案】（1），（2）湖泊里一共约有940条鱼（3）【解析】【分析】本题考查了平均数、中位数、用样本估计总体、用列表或画树状图求概率，解题的关键在于掌握相关概念并熟练运用．（1）本题考查平均数和中位数的概念和计算方法，掌握相关概念即可解题．（2）本题考查用样本估计总体，根据标记鱼的所占比，利用年龄为的个体数量除以所占比即可解题．（3）本题根据题意画出树状图，得到所有情况的种数，找出抓到的是和年龄的鱼的种数，结合概率公式即可求解．【小问1详解】解：年龄为，，的个体数量的平均数为125，，解得，年龄在，，，的个体数量的中位数是95，且，，解得．故答案为：，．【小问2详解】解：（条），答：湖泊里一共约有940条鱼．【小问3详解】解：根据题意可画树状图如下：由图知总共有种可能，其中抓到的是和年龄的鱼的情况有种，抓到的是和年龄的鱼的概率为．22.综合与实践【问题背景】“夏至”过后，越来越多的市民喜欢去海边游玩，小明同学发现沙滩上有很多的遮阳伞为游客带来一丝清凉，如图1是沙滩上的圆形遮阳伞支架张开的状态，为了了解遮阳伞下方的遮阴面积，小明进行了如下操作调研．【测量与整理】通过操作发现，小明发现：如图2，当伞完全折叠时，伞顶与伞柄顶端点重合，两边主骨架的端点与重合；如图3，在撑开过程中，骨架的中点到点的距离始终等于的一半，；如图4，当伞完全张开时，．【计算与分析】图1图2图3图4（1）当伞完全张开后，求的长度；（2）当太阳光垂直照到遮阳伞上时，求伞完全张开时，遮挡住的阴影部分的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，勾股定理，圆的面积的计算，掌握矩形的判定，勾股定理的实际运用是解题的关键．（1）根据题意，连结，过点作于，可证四边形是矩形，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解；（2）根据圆的面积的计算方法即可求解．【小问1详解】解：如图所示，连结，过点作于，，，又如图3，连接，伞在撑开过程中，点是中点，等于一半，，，四边形是矩形，，，，，，∴的长度为．【小问2详解】解：，所以遮挡住的阴影部分的面积是．五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题10分，共20分．23.年世界环境日的主题是“减塑捡塑”，某城市为营造干净整洁的生活环境，加大垃圾分类的投入力度，准备购买两种型号的垃圾桶．市场调查反映：型垃圾桶每组的单价比型垃圾桶每组的单价多元，用元购买型垃圾桶的组数与用元购买型垃圾桶的组数相同．（1）求两种型号垃圾桶每组的单价；（2）该城市计划购买两种型号垃圾桶共组，且型垃圾桶的组数不少于型垃圾桶组数的，求购买这组垃圾桶所需的最大费用．【答案】（1）型垃圾桶每组的单价是600元，型垃圾桶每组的单价是450元（2）购买这200组垃圾桶所需的最大费用为102000元【解析】【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解题意，列方程求解即可，掌握分式方程的运用是解题的关键．（1）设型垃圾桶每组的单价为元，则型垃圾桶每组的单价为元，根据数量关系列分式方程求解即可；（2）设购买型垃圾桶a组，购买这两种垃圾桶所需的费用为y元，根据数量关系列函数关系，再