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文档简介
2025届威海市重点中学高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若圆锥轴截面面积为,母线与底面所成角为60°,则体积为()A. B. C. D.2.已知为正项等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则的值是()A.29 B.30 C.31 D.323.已知a>b>0,c>1,则下列各式成立的是()A.sina>sinb B.ca>cb C.ac<bc D.4.已知是虚数单位,若,,则实数()A.或 B.-1或1 C.1 D.5.已知(),i为虚数单位,则()A. B.3 C.1 D.56.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()A. B. C. D.7.若实数满足不等式组则的最小值等于()A. B. C. D.8.已知集合,则全集则下列结论正确的是()A. B. C. D.9.设为虚数单位,复数,则实数的值是()A.1 B.-1 C.0 D.210.点是单位圆上不同的三点,线段与线段交于圆内一点M,若,则的最小值为()A. B. C. D.11.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为()A. B. C. D.12.一个盒子里有4个分别标有号码为1,2,3,4的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是4的取法有()A.17种 B.27种 C.37种 D.47种二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知圆C:经过抛物线E:的焦点,则抛物线E的准线与圆C相交所得弦长是__________.14.双曲线的焦点坐标是_______________,渐近线方程是_______________.15.在正方体中,为棱的中点,是棱上的点,且,则异面直线与所成角的余弦值为__________.16.的展开式中,x5的系数是_________.(用数字填写答案)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆()经过点,离心率为,、、为椭圆上不同的三点,且满足,为坐标原点.(1)若直线、的斜率都存在,求证:为定值;(2)求的取值范围.18.(12分)在如图所示的几何体中,面CDEF为正方形,平面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,点Q为AE的中点.(1)求证:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC与平面DQF所成角的正弦值.19.(12分)设不等式的解集为M,.(1)证明:;(2)比较与的大小,并说明理由.20.(12分)已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值.21.(12分)某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足l小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为,,健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为,,且两人健身时间都不会超过3小时.(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望;(2)此促销活动推出后,健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.22.(10分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
设圆锥底面圆的半径为,由轴截面面积为可得半径,再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为,由已知,,解得,所以圆锥的体积.故选:D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算,涉及到圆锥的定义,是一道容易题.2、B【解析】
设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质,求出公比,再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求.【详解】设正项等比数列的公比为q,则a4=16q3,a7=16q6,a4与a7的等差中项为,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(负值舍去),则有S5===1.故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题.3、B【解析】
根据函数单调性逐项判断即可【详解】对A,由正弦函数的单调性知sina与sinb大小不确定,故错误;对B,因为y=cx为增函数,且a>b,所以ca>cb,正确对C,因为y=xc为增函数,故,错误;对D,因为在为减函数,故,错误故选B.【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及指数函数的单调性,属基础题.4、B【解析】
由题意得,,然后求解即可【详解】∵,∴.又∵,∴,∴.【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题5、C【解析】
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.【详解】由,得,解得.故选:C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.6、A【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的最值,判断a的范围即可.【详解】作出约束条件表示的可行域,如图所示.因为的最大值为,所以在点处取得最大值,则,即.故选:A【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.7、A【解析】
首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求的最小值.【详解】解:作出实数,满足不等式组表示的平面区域(如图示:阴影部分)由得,由得,平移,易知过点时直线在上截距最小,所以.故选:A.【点睛】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,属于中档题.8、D【解析】
化简集合,根据对数函数的性质,化简集合,按照集合交集、并集、补集定义,逐项判断,即可求出结论.【详解】由,则,故,由知,,因此,,,,故选:D【点睛】本题考查集合运算以及集合间的关系,求解不等式是解题的关键,属于基础题.9、A【解析】
根据复数的乘法运算化简,由复数的意义即可求得的值.【详解】复数,由复数乘法运算化简可得,所以由复数定义可知,解得,故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算,复数的意义,属于基础题.10、D【解析】
由题意得,再利用基本不等式即可求解.【详解】将平方得,(当且仅当时等号成立),,的最小值为,故选:D.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用,考查基本不等式的应用,属于中档题.11、C【解析】
先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有种情况,2张均没有奖的情况有(种),故所求概率为.故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题.12、C【解析】
由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种;先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
求出抛物线的焦点坐标,代入圆的方程,求出的值,再求出准线方程,利用点到直线的距离公式,求出弦心距,利用勾股定理可以求出弦长的一半,进而求出弦长.【详解】抛物线E:的准线为,焦点为(0,1),把焦点的坐标代入圆的方程中,得,所以圆心的坐标为,半径为5,则圆心到准线的距离为1,所以弦长.【点睛】本题考查了抛物线的准线、圆的弦长公式.14、【解析】
通过双曲线的标准方程,求解,,即可得到所求的结果.【详解】由双曲线,可得,,则,所以双曲线的焦点坐标是,渐近线方程为:.故答案为:;.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用,考查了运算能力,属于容易题.15、【解析】
根据题意画出几何题,建立空间直角坐标系,写个各个点的坐标,并求得.由空间向量的夹角求法即可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解】根据题意画出几何图形,以为原点建立空间直角坐标系:设正方体的棱长为1,则所以所以,所以异面直线与所成角的余弦值为,故答案为:.【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,利用空间向量求异面直线夹角,属于中档题.16、-189【解析】由二项式定理得,令r=5得x5的系数是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)首先根据题中条件求出椭圆方程,设、、点坐标,根据利用坐标表示出即可得证;(2)设直线方程,再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出,即可求出范围.【详解】(1)依题有,所以椭圆方程为.设,,,由为的重心,;又因为,,,,(2)当的斜率不存在时:,,,代入椭圆得,,,当的斜率存在时:设直线为,这里,由,,根据韦达定理有,,,故,代入椭圆方程有,又因为,综上,的范围是.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解,三角形重心的坐标关系,直线与椭圆所交弦长,属于一般题.18、(1)见解析(2)【解析】
(1)连接交于点,连接,通过证明,证得平面.(2)建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量,计算出线面角的正弦值.【详解】(1)证明:连接交于点,连接,因为四边形为正方形,所以点为的中点,又因为为的中点,所以;平面平面,平面.(2)解:,设,则,在中,,由余弦定理得:,.又,平面..平面.如图建立的空间直角坐标系.在等腰梯形中,可得.则.那么设平面的法向量为,则有,即,取,得.设与平面所成的角为,则.所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查线面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19、(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)首先求得集合M,然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论;(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|>2|a-b|.试题解析:(Ⅰ)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|,则f(x)=,所以解得-<x<,故M=(-,).所以,||≤|a|+|b|<×+×=.(Ⅱ)由(Ⅰ)得0≤a2<,0≤b2<.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以,|1-4ab|>2|a-b|.20、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,可得所求通项公式;(Ⅱ),由数列的错位相减法求和可得,解方程可得所求值.【详解】(Ⅰ)等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:则相减可得:化简可得:,即为解得:【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.21、(1)见解析,40元(2)6000元【解析】
(1)甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况,因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况,分情况计算即可(2)根据(1)结果求均值.【详解】解:(1)由题设知可能取值为0,20,40,60,80,则;;;;.故的分布列为:020406080所以数学期望(元)(2)此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为:(元)【点睛】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法,中档题.22、(1)(2)见解析【解析】
(1)由题得a,b,c的方程组求解即可(2)直线与直线恰关于轴对称,等价于的斜率互为相反数,即,整理.设直线的方程为,与椭圆联立,将韦达定理代入整理
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