数值分析 试题及答案 共2套

第2页共2页试卷3(10分)已知反映某实际问题的数学模型为，经测量所得,测量仪器的误差限为0.002，试求出的误差限和相对误差限；2、判定近似函数值有几位有效数字.解：………6分…………8分因为的误差限，所以有1位有效数字.…………10分二、（18分）设节点用Langrange插值和牛顿插值求三个节点的二次插值多项式；当增加一个条件：时，求对应的三次Hermite插值多项式解：1、…………6分0-1-2******10-3-1***21032…………12分设…………18分三、(10分)求函数在给定区间上对于权函数，的最佳平方逼近多项式.解：，，，.解法方程得，因此所求多项式.…………10分四、（10分）方程，讨论如下几种迭代求根公式在区间上的敛散性：1、改写方程为，相应的迭代格式为；2、改写方程为，相应的迭代格式为.解：1、令，则，由于，因此迭代发散.2、令，则，由于，当时，，因此迭代收敛。………10分五、（10分）已知(1)推导以这三点为求积节点在上的插值型求积公式（即求系数）；(2)该求积公式所具有的代数精度是多少？解：(1)所求插值型的求积公式形如：故。或：由三点插值型求积公式的代数精度至少为2，将代入上述公式，可得所以…6分（2）所求的求积公式是插值型，故至少具有2次代数精度，再将代入上述公式，可得………8分故代数精度是3次.……………10分六、（10分）取,用改进的Euler方法求初值问题在处的近似值.（计算过程保留5位小数.）解：改进的Euler公式为得到；………7分得xy0.51.12511.390625………10分七、（10分）利用矩阵的LU分解法解方程组.解：6分令得，得.10分八、（11分）利用龙贝格公式计算定积分(计算到即可)：将计算结果填入下表(*号处不填).（小数点后保留5位小数）0*********1******2***3解，, ,,, ,,, ,,.016*********116.9442817.25904******217.2277417.3222317.32644***317.3060017.3320917.3327517.33285………10分九、（12分）分别写出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯—赛德尔迭代求解方程组：的迭代公式.并判断用高斯—赛德尔迭代法求解该方程组的收敛性。解:Jacibo迭代公式为:Gauss-Seidel迭代公式为:………8分(2)解:设矩阵可分解为三个矩阵的和,即,其中,所以,Gauss-Seidel迭代的迭代矩阵.可求得所以,所以,用Gauss-Seidel迭代法求解该方程组是发散的.………12分试卷4一、填空(54=20分)1.的相对误差约是的相对误差的倍.2.对于个节点的插值求积公式至少具有＿n＿次代数精度。3.用二分法求非线性方程在区间内的根时，二分次后的误差限为..4.已知,则条件数=_____9____.5.设，则差商1.二、(14分)给定数表-1012-11201.用Lagrange插值求满足的三次插值多项式；2.当增加一个条件：时，求对应的四次Hermite插值多项式.解：1、8分2.得四次插值多项式14分（12分）1.用Romberg方法计算,将计算结果填入下表(*号处不填).02.73205*********12.780242.79630******22.793062.797342.79740***32.796342.797432.797442.797446分2.求使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度。解：是精确成立，即8分得。求积公式为9分当时，公式显然精确成立；当时，左=，右=。所以代数精度为3。12分四、（6分）解：牛顿迭代公式为4分取初值进行迭代，得6分五、（10分）设有求解初值问题的如下公式：假设，试确定使该格式的局部截断误差精度尽量高.解：，，，4分所以从而，且，10分该格式的局部截断误差精度为3阶。六、(10分)x012y1250解：设多项式为7分解方程组得9分则的最佳平方逼近多项式为：.10分七、（10分）取步长，用改进的Euler法（预估-校正法）解常微分方程初值问题（保留小数点后4位）.解：即6分步长，所以7分，代入迭代公式得，，，，.10分八、（8分）利用矩阵的LU分解法解方程组。解：6分令得，得