已知图形面积求反比例函数系数k（双函数）模型-2024-2025学年中考数学复习之函数模型

已知图形面积求反比例函数系数k（双函数）模型

反比例函数系数k的几何意义：反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形

面积等于闷.

模型呈现：

注意上面结论中的等式正反两个方面的灵活应用.

双反比例函数与图象上一点与坐标轴的两条垂线所围成的矩形面积等于人-身

如图，点A在反比例函数%=2（x>0）的图象上，点8在反比例函数%=4》<0）的图象上,

X%

〃无轴，C是x轴上一点，连接AC,BC,若VABC的面积是6,则上的值为（）

设直线48与y轴交于点由题意得出工0M=1x

1磔=1,S4A0B=S&ABC=6,

BOM+^AOM=^AOB=6得出%。“=；附=5,即可得解.

再结合2

忆』详细解析

解：连接OAO3,设直线2B与y轴交于点M,如图所示:

=加,

|2|=1,^^AOB=S^ABC=6,S&BOM

•S&BOM+^AOM=S&AOB=6,

•V=s

,•0ABOM一」，

=5网=5,

'：k<Of

k=—10,

故选：c.

X

变式题

试卷第2页，共6页

3k

1.如图，点A是函数y=--(x<0)图象上一点，点5是丁=一(k>0,x>0)图象上

xx

一点，点。在x轴上，连结A5,C4,CB.若A3〃1轴，S&a=4,贝心=().

2.如图，点A在反比例函数>=-9(]<0)上，过点A作AB〃x轴，交y轴于点C,交反

x

比例函数，="(%〉0)于点B.若AC=25C,则％的值为()

X

X

A.6B.-6C.-3D.3

k

3.如图，四边形Q4CB为平行四边形，其中，点A在反比例函数y=-(左>0,%>0)的图象上,

X

12

点8在反比例函数>=-上(x>0)的图象上，点C在X轴的正半轴上，若四边形Q4CB的面积

X

为40,贝必的值是()

A.28B.27C.26D.25

4.如图，A,3两点在反比例函数y=勺的图象上，C,。两点在反比例函数的图

XX

象上，AC_Lx轴于点E,BDLx轴于点尸，AC=4,BD=6,EF=10,则人一人等于（）

5.如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线/〃V轴，且直

6k

线/分别与反比例函数y=?（x>0）和尸£（x>0）的图象交于尸，。两点，若5.2=12,则左

xx

的值为.

6.如图，点A,B在反比例函数y=』（x>0）的图象上，点C,D在反比例函数y=（»）

%X

的图象上，AC〃9〃y轴，已知点A,8的横坐标分别为1,2,AQ4C与△河的面积之

和为3,则上的值为

7.如图，矩形Q4BC与反比例函数％=勺（/是非零常数，x>0）的图象交于点M,N,

X

反比例函数%=S（网是非零常数，x>0）的图象交于点B,连接OMQN.若四边形OMBN

X

试卷第4页，共6页

的面积为3,贝I2k2-2kl=

8.如图，点A,3分别在函数y=2（。＞。）图像的两支上（A在第一象限），连结A3交x轴

于点。.点。，E在函数y=（。＜0,%＜。）图像上，AE〃x轴，89〃y轴，连结DE,BE.若

AC=2BC,石的面积为12,四边形ABDE的面积为15,则的值为.

9G

9.如图，点A是反比例函数％=4图象上一点，过点A作y轴的平行线，交函数%=—的图

%x

象于点8,连接。8,交反比例函数M=二的图象于点C,已知&A°B=3.

X

⑴求上的值；

（2）连接AC,若点A的横坐标为4,求△AOC的面积.

10.如图，在平面直角坐标系中，过点尸（6,0）的直线/与y轴平行，且直线/与反比例函数

17k

%=?（x＞0）和％=＞0）的图象分别交于点A、B.

ft

⑴求点A的坐标；

(2)若VA03的面积为24,求左的值.

⑶在(2)的条件下，若x轴上有一点使AO则为等腰三角形，请直接写出所有满足条

件M点的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【分析】本题考查反比例函数上的几何意义，读懂题意，数形结合是解决问题的关键.

连接。4、OB,如图所示，得至再结合反比例函数%的几何意义即可得到

3k

=+g=4,解方程即可得到答案.

22

【详解】解：连接。4、OB,如图所示：

1•"S&4CB=4,

3k

；.=+；=4,解得上=5,

22

故选：D.

2.D

【分析】本题考查反比例函数％值的几何意义，连接OAO3,易得，A℃=3,根据同高三

角形的面积比等底边比，求出S.B"的面积，即可得出上的值.

:.轴，

6k

•点A在反比例函数y=(x<0)上，点B在反比例函数y=—(x>0)上,

xx

k

,.04A0C_Q&B0C_2，

•/AC=2BC,

答案第1页，共9页

・q•v—9•1

.•°AAOC.°&BOC_4」，

・S_j_Q-l-L

・・MBOC-5%AOC_5_5，

k=3；

故选：D.

3.A

【分析】本题考查反比例图象与四边形结合，熟练掌握反比例函数系数上的几何意义是解题

关键.根据题意作轴，BE。轴，根据点B在反比例函数y=-上17(x>0)的图象上可以

X

求出“OEB，进而求出以.。，进而求出上值.

【详解】作轴，轴

,四边形OACB为平行四边形，面积为40,

S-ACO=S-BCO=2。

•.•点2在反比例函数y=-上17(彳>0)的图象上；

X

9•S^OEB=/x|-12|=6,

••SACEB=Loo=20-6=14

,4=14,

2

即k=28

故选：A

4.C

【分析】本题考查了反比例函数的性质，比例系数的几何意义，连接。4、oaOD、OB,

答案第2页，共9页

由反比例函数的性质可知LOE=】BOF=；同=一)勺，S^COE=S^DOF=^k2,由

SxAOC=SMOE+S&OE，S^BOD=^^DOF+SABOF即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：连接。4、oaOD、OB,如图，

由反比例函数的性质可知工4O£=s.=*|=-9],S^C0E=SADOF=^k2,

,•Q—C_i_V

•3Aoe-"AAOE丁QACOE，

.1.|ACxO£=1x4OE=2OE=1(^2-)tl)(l),

•S4BOD=S/\DOF+S^BOF，

.1.1B£>XG>F=1X6(£F-6>£)=1X6(10-OE)=30-3O£=1(^2-^)(2),

由①②两式解得OE=6,

则履-左=24,

故选：C.

5.-18

【分析】本题考查了反比例函数比例系数上的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向

坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是:1口，且保持不变.

由于S.O2=SMMQ+S.OMP，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到gkl+gx|6|=12,

然后结合函数y=人的图象所在的象限解方程得到满足条件的k的值.

x

【详解】解：:SAP0Q=S&OMQ+SQMP9

:」|%|+』x16bl2,

22

.•.网=18,

而左<0,

答案第3页，共9页

/.k=—18.

故答案为：-18.

6.5

【分析】本题主要考查反比例函数的性质、上的几何意义等知识点，用人表示出相关图形的

面积是解题的关键.

如图：过A作x轴垂线，过8作x轴垂线，可求出«2,\,C（l,k）,。"，鼻，将

9

面积进行转换=^hCOM~^hAOMSMBD=S梯形AMNO—S梯形AMNB进而求解即可.

【详解】解：如图：过A作X轴垂线，过5作X轴垂线，

..•点A,2在反比例函数＞=!（»）的图象上，点A,B的横坐标分别为1,2,

.5（1,1）,

AC〃血）〃y轴，

/.C（l,k）,。。，金，

：AOAC与△ABD的面积之和为3,

S

SSOAC=SACOM-LAOM=gx上一;xlxl=5_g,

„_„„_If,ky.1（.I一左-1

=1+Xi-X+X1=—

=3梯形AMW_3梯形AMNB2I2J2r2J^）

k1Z--1

••----+^-3,解得：k=5.

224

故答案为：5.

7.6

【分析】本题考查反比例函数中％的几何意义的应用，读懂题意，数形结合，将所求代数式

准确用k的几何意义对应的图形面积表示出来是解决问题的关键.

根据反比例函数中左的几何意义：反比例函数图象上点向坐标轴作垂线，与原点构成的直角

答案第4页，共9页

三角形面积等于口，数形结合可以得到山*=?凡孙爸，5矩…c=网，根据图象均

在第一象限可知勺>0,&>0,再由四边形OMBN的面积为3,得到&=5+3+3,即可得到

答案.

k

【详解】解：・.・矩形Q4BC与反比例函数凶=」（勺是非零常数，元>0）的图象交于点忆N,

x

•••由反比例函数中七的几何意义知，S,AOM=邛，S，CON=?，

•.,矩形OABC与反比例函数%=&（鼠是非零常数，%>0）的图象交于点8,

X

•••由反比例函数中k的几何意义知，S矩形6MBe=履|，

,♦・四边形OMBN的面积为3,

由图可知，S矩形0A5C-SAAOM+S卫ON+S四边形，

kk

即《=^+3+3,解得左2—匕=3,

/.2k2一2左1=6,

故答案为：6.

8.16

[分析】依据题意，设A、,身，再由AE〃x轴，8。〃y轴，AC=2BC,可得812m,一言],

D[-2m,-^\,fif—,-L再结合AABE的面积为12,四边形的面积为15,即可

[2m）\amJ

得解.

【详解】解：设《九靠],

•.•AE〃x轴，且点E在函数y=2上，

VAC=2BC,且点8在函数y=9上,

X

—2m,———].

（2mJ

•.•3。〃^轴，点。在函数丫=9上，

「△AfiE的面积为12,

答案第5页，共9页

aaa1a-b3a_3（〃-b）

SAABE=万*—+——m=—m-------=------=12.

m2mI2m2a2m4

a-b-16.

【点睛】本题主要考查反比例函数与图形的综合，掌握反比例函数图象的性质，几何图形点

坐标的计算方法，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算方法是解题的关键.

9.⑴%=8

【分析】本题考查了反比例函数左的几何意义，求反比例函数的解析式;

(1)延长交x轴于。点，根据反比例函数%的几何意义直接计算即可;

(2)过点C作先求出正比例函数的解析式，然后求出点C的坐标，从而求

出，最后根据=2.5-久的。计算即可;

熟知反比例函数上的几何意义是关键.

【详解】(1)解：如图，延长8。交了轴于。点,

过点A作y轴的平行线，交函数％=A的图象于点

XX

B,且后＞0

S^OBD=5%，SAOAD=1

•-J

S&AOB=SQBD-S4AD=/"—1=3

解得，k=8

故女的值为8；

(2)如图，过点C作CEL54,

答案第6页，共9页

O\D*

:点A的横坐标为4,点A是反比例函数y=2图象上一点，

X

：54平行于y轴，

Q

...点B的横坐标为4,%=—

X

.•.8(4,2)

.1

x

-'y0B=-

..2

…工

—=~x^x>0)

解得，x=2

，正比例函数为的图象与反比例函数%,图象的交点C的坐标为(2,1)

X

/.CE—2,

13

：.BA=2——=—

22

A5ASC=-X-X2=-

AABC222

.33

=

,・SAAOC=SAA08-S^BC3--=—

3

故△AOC的面积为

10.(1)(6,2)

⑵-36

⑶(6夜,0)或(-672,0)或(12,0)或(6,0)

答案第7页，共9页

【分析】本题考查了反比例函数系数4的几何意义、等腰三角形的性质、勾股定理以及两点

间的距离等知识，具有一定的综合性，熟练掌握相关知识是解题的关键.

19

(1)把尤=6代入(尤