一元函数的导数及其应用（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

第03讲一元函数的导数及其应用

(新高考专用)

一、单项选择题

1.(2024・全国•高考真题)设函数人支)==署，则曲线y=f(久)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的

三角形的面积为()

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

2.(2024・上海・高考真题)已知函数/(')的定义域为区,定义集合时={%()|%0ER,xE(一8,%0),/(%)</(%())},

在使得M=[-L1]的所有/(%)中，下列成立的是()

A.存在/(%)是偶函数B.存在f(%)在％=2处取最大值

C.存在/(%)是严格增函数D.存在/(%)在%=-1处取到极小值

3.(2023•全国•高考真题)函数/(%)=炉+。％+2存在3个零点，贝必的取值范围是()

A.(—8,—2)B.(—8,—3)C.(—4,—1)D.(—3,0)

4.(2023・全国•高考真题)曲线y=总在点(1,1)处的切线方程为()

Ae—e"e.e「e.3e

A.y=-xB.y=-xC.y=-x+-D.y=-xH—

,4)2’44’24

5.(2023•全国•高考真题)已知函数/(%)=ae%—In%在区间(1,2)上单调递增，则Q的最小值为().

A.e2B.eC.e-1D.e-2

6.(2022,全国•高考真题)函数/(%)=cos%+(%+l)sin%+1在区间[0,2n]的最小值、最大值分别为()

A.-B.--,-C.-+2D.--,-+2

22222222

7.(2022•全国•高考真题)已知Q=b=cos；,c=4sinJ,则()

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

8.(2022・全国•高考真题)当％=1时，函数/(%)=aln%+g取得最大值一2,则/'(2)=()

A.—1B.—C.-D.1

22

9.(2022・全国•高考真题)已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36兀，且

3<Z<3V3,则该正四棱锥体积的取值范围是()

A-[18,?]B.洋用C.洋阁D.[18,27]

10.（2022•全国•高考真题）设a=0.1e°i,6=[,c=—ln0.9,贝!]（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

二、多项选择题

11.（2024•全国•高考真题）设函数f（x）=2炉-3a/+1,则（）

A.当a>1时，”久）有三个零点

B.当a<0时，x=0是八支）的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/（久）的对称轴

D.存在a,使得点（1"（1））为曲线y="久）的对称中心

12.（2024•全国•高考真题）设函数“久）=（K―1）2（久—4）,则（）

A.久=3是/（x）的极小值点B.当0<x<l时，f（%）</（x2）

C.当l<x<2时，-4</（2久—1）<0D.当一1<%<0时，/（2-x）>/（x）

13.（2023•全国•高考真题）已知函数人久）的定义域为R,人盯）=必（0）+//。），则（）.

A./（0）=0B./⑴=0

C.是偶函数D.x=0为fO）的极小值点

14.（2023•全国•高考真题）若函数/'（久）=。111%+^+/（（1k0）既有极大值也有极小值，贝!!（）.

A.be>0B.ab>0C.b24-8ac>0D.ac<0

15.（2022・全国•高考真题）已知函数/（%）=sin（2%+R）（0<0<n）的图像关于点传,0）中心对称，则（）

A./（久）在区间（0,工）单调递减

B.”久）在区间（-工，号）有两个极值点

C.直线x=r是曲线丫=/（%）的对称轴

D.直线y=％是曲线y=f。）的切线

16.（2022•全国•高考真题）已知函数/'（%）及其导函数7''（%）的定义域均为R,记g（x）=/'（X），若/"（I-2x）,

g(2+x)均为偶函数，则()

A./(0)=0B.g(-£)=0C./(—l)=f(4)D.g(—l)=g(2)

17.(2022•全国•高考真题)已知函数/(%)=炉—%+1,则()

A./(%)有两个极值点B./(%)有三个零点

C.点(0,1)是曲线y=/(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/O)的切线

三、填空题

18.(2024•全国•高考真题)曲线y=炉—3x与y=-(x-I)?+a在(0,+8)上有两个不同的交点，贝!]a的取

值范围为.

19.(2024•全国•高考真题)若曲线丫=砂+%在点(0,1)处的切线也是曲线丫=m0+1)+。的切线，则。=

20.(2023•全国•高考真题)设ae(0,1),若函数/(>)=凝+(1+a尸在(0,+8)上单调递增，则。的取值

范围是.

21.(2022・全国•高考真题)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.

22.(2022•全国•高考真题)已知x=和久=町分别是函数/'(久)=2砂—e/(。>0且(241)的极小值点

和极大值点.若/<久2，则a的取值范围是.

23.(2022・全国•高考真题)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是.

四、解答题

24.(2024•全国•高考真题)已知函数/(x)=a(x-1)—Inx+1.

⑴求人切的单调区间；

(2)当aW2时，证明：当x>1时，/(%)<e^T恒成立.

25.(2024•全国•高考真题)已知函数/(久)=In六+ar+6(x-1尸

(1)若6=0,且/''(久)>0,求a的最小值；

(2)证明：曲线y=f(久)是中心对称图形；

(3)若f(x)>-2当且仅当1<久<2,求6的取值范围.

26.(2024•全国•高考真题)已知函数/■(久)=(1一ax)ln(l+%)—x.

(1)当。=一2时，求/(%)的极值；

(2)当X20时，f(x)>0,求a的取值范围.

27.(2024•天津•高考真题)设函数/(%)=%ln%.

(1)求/(%)图象上点(1)(1))处的切线方程；

(2)若/(%)>a(x-在％e(0,+8)时恒成立，求Q的值;

1

(3)若比1，%26(0,1).证明1/01)-/(尤2)1W1的一比2艮

28.(2024•北京・高考真题)设函数fO)=x+fcln(l+x)(fc丰0),直线/是曲线y=f(x)在点>0)

处的切线.

(1)当k=—1时，求/'(X)的单调区间.

(2)求证：2不经过点(0,0).

(3)当卜=1时，设点A(t,/(t))(t>0),C(0J(t)),0(0,0),B为2与y轴的交点，S^co与S^BO分另U表示△四。

与aAB。的面积.是否存在点力使得2s=15SOBO成立？若存在，这样的点4有几个？

(参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95)

29.(2024•全国•高考真题)已知函数/'(久)=e*-ax—a3.

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1)(1))处的切线方程;

(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.

30.(2024•上海•高考真题)对于一个函数/(%)和一个点M(a,b),令s(%)=(%-a/+(/(%)-b)2,若

P(%0，/(%0))是s(%)取到最小值的点，则称P是M在/(%)的“最近点

⑴对于/(久)=：(久＞0),求证：对于点M(0,0),存在点P,使得点P是M在/(x)的“最近点”；

⑵对于/(久)=e，,M(l,0),请判断是否存在一个点P,它是M在f(x)的“最近点”，且直线MP与y=f(X)在点P

处的切线垂直；

(3)已知y=/(幻在定义域R上存在导函数f'Q),且函数g(x)在定义域R上恒正，设点处1-—

g(t)),M2(t+l,/(t)+5(t)).若对任意的teR,存在点P同时是如,“2在/⑺的“最近点”，试判断人龙)的

单调性.

31.(2023•北京・高考真题)设函数/(吗^x-x3eax+b,曲线y=/。)在点处的切线方程为y=-x+1.

(1)求a,b的值;

(2)设函数g(x)=/(x),求g(x)的单调区间；

(3)求f(x)的极值点个数.

32.(2023•全国•高考真题)已知函数/'(%)=g+a)ln(l+久).

(1)当a=—1时，求曲线y=/0)在点处的切线方程.

⑵若函数八久)在(0,+8)单调递增，求a的取值范围.

33.(2023•全国•高考真题)已知函数/(久)=ax-翳,xe(0.71

(1)当a=1时，讨论f(%)的单调性；

(2)若/(%)+sinx<0,求a的取值范围.

34.(2023•全国•高考真题)已知函数/(%)=(§+a)ln(l+%).

(1)当a=-1时，求曲线y=/(%)在点(L/(D)处的切线方程；

(2)是否存在a,b,使得曲线y=关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理由.

⑶若“X)在(0,+8)存在极值，求a的取值范围.

35.(2023•天津•高考真题)已知函数/'(X)=G+yinQ+l).

(1)求曲线y=/(')在％=2处的切线斜率；

(2)求证：当X>0时，f(x)>1；

(3)证明：|<ln(n!)—(九+g)Irm+九41.

36.(2023・全国•高考真题)已知函数/(%)=a(e%+①一%.

⑴讨论/(%)的单调性；

□

(2)证明：当a>0时，/(%)>21na+

37.(2023・全国•高考真题)(1)证明：当OV%V1时，x—x2<sinx<x；

(2)已知函数/(%)=COSQX-ln(l-％2),若％=0是f(%)的极大值点，求Q的取值范围.

38.(2022•天津•高考真题)已知a,bER,函数/(%)=ex—asin%,g(%)=by[x

(1)求函数y=/(%)在(0/(0))处的切线方程；

(2)若y=/(%)和y=g(%)有公共点，

(i)当。=0时，求b的取值范围；

(ii)求证：a2+62>e.

39.(2022•全国•高考真题)已知函数/(%)=a%-：—(a+l)ln%.

(1)当a=0时,求/(%)的最大值；

(2)若/(%)恰有一个零点，求a的取值范围.

40.(2022•全国•高考真题)已知函数/(%)=一%,g(%)=第2+Q,曲线y=/(%)在点处的切线

也是曲线y=g(%)的切线.

⑴若无1=—1,求Q；

(2)求。的取值范围.

41.(2022・浙江・高考真题)设函数/(%)=2+ln%(%>0).

⑴求/(%)的单调区间；

(2)已知GR,曲线y=/(%)上不同的三点(%3，/(%3))处的切线都经过点(a，b