圆锥曲线中的参数范围及最值问题（学生版）-2025年高考数学一轮复习专练（新高考专用）

重难点32圆锥曲线中的参数范围及最值问题【七大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1弦长最值及范围问题】.................................................................2

【题型2离心率的取值范围问题】...............................................................2

【题型3三角形（四边形）面积的最值及范围问题】..............................................3

【题型4长度（距离）的最值及范围问题】......................................................5

【题型5斜率的最值及范围问题】...............................................................5

【题型6向量数量积的最值及范围问题】........................................................7

【题型7参数的取值范围问题】.................................................................8

►命题规律

1、圆锥曲线中的参数范围及最值问题

圆锥曲线中的参数范围及最值问题是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，此类问题考

查频率较高，此类问题一般有长度、距离、面积、数量积、离心率等几何量的范围或最值问题，各类题型

都有考查，在解答题中考查时难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.

►方法技巧总结

【知识点1圆锥曲线中的最值问题】

1.处理圆锥曲线最值问题的求解方法

圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：

（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.

（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最

值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.

2.圆锥曲线中的最值问题的解题思路

（1）建立函数模型，求解函数的值域或最值（切莫忘记定义域的考查）；

（2）构建不等关系.

【注意】若求解长度、距离、面积、数量积、离心率等具有具体几何意思的量的范围或最值问题时，

一般可采用函数模型；若求解参量（诸如展加等）、离心率等范围或最值问题时，一般可采用构造不等关系

的方法解决.当然以上的区分并不是绝对的，当一个思路不能解决或不好解决时，应及时切换成另一思路.

【知识点2圆锥曲线中的参数范围问题】

1.圆锥曲线中的参数范围问题的求解策略：

结合题目条件，构建所求几何量的含参函数，并且进一步找到自变量的范围，进而求出其值域，即所

求参数的范围.

►举一反三

【题型1弦长最值及范围问题】

【例1】（2024•湖北武汉•模拟预测）设抛物线C:y=4/的焦点为F,过焦点尸的直线与抛物线C相交于4B

两点，则的最小值为（）

A.1B.-C.-D.-

248

【变式1-11（2024•云南昆明•模拟预测）已知直线/是圆C：/+y2=1的切线，且/与椭圆£：9+f=1

交于4,2两点，则的最大值为（）

A.2B.V3C.V2D.1

【变式1-2］（2024・河南•模拟预测）已知椭圆C:》，=l（a>b>0）的左、右焦点分别为FL，点P（B，句

为椭圆C上一点，且△PF42的面积为2份.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若倾斜角为强直线/与C相交于两个不同的点4B,求|A8|的最大值.

4

【变式1-3］（2024・安徽•一模）已知双曲线C：?一《=1（。>0,6>0）的离心率为2.且经过点（2,3）.

（1）求。的方程；

（2）若直线/与C交于/,2两点，且瓦？•砺=0（点O为坐标原点），求|48|的取值范围.

【题型2离心率的取值范围问题】

22

【例2】（2024•河南濮阳•模拟预测）点M是椭圆宗+力=l（a〉b>0）上的点，以M为圆心的圆与x轴相切

于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q两点，若aPQM是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.（2-73,1）B6

C.胃1）D.（用雪）

【变式2-1］（2024・广东东莞・模拟预测）若双曲线。马―。=l（a>0）的右支上存在力（亚,丫1）,83/2）01中

CL4

4）到点P（5a,0）的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.（1,V5）B.（而,+8）

C.（1,V3）D.（b,+8）

【变式2-2］（2024•陕西•模拟预测）已知椭圆的:捺+，=1（a>b>0）的左、右焦点分别为％（—c,0）,4（G0），

抛物线0：%2=2py（p>0）,椭圆Ci与抛物线C2相交于不同的两点4B,且四边形四尸出的外接圆直径为手，

若b>c,则椭圆Ci的离心率的取值范围是（）

A.得当B.仔甯C.得甯D.修,1）

【变式2-3］（2024•四川德阳•模拟预测）己知双曲线/:《一9=1（0>°/>0）的焦距为2口右顶点为力,

过/作x轴的垂线与£的渐近线交于M、N两点，若SMONN*?,则E的离心率的取值范围是（）

A.样间B.［竽网C.［V2-V3］D.［V3,2］

【题型3三角形（四边形）面积的最值及范围问题】

【例3】（2024•全国•模拟预测）己知双曲线C:?—，=1（（1>0,6>0）过点七（午5）（其中c=Q不"）,

且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为噤.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）记。为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为45P为双曲线C上一动点（异于顶点），M为线段AP的中

点，Q为直线x=<上一点，且力P〃OQ,过点Q作QN1OM于点N,求△4BN面积的最大值.

【变式3-1］（2024・陕西安康•模拟预测）已知椭圆C：《+）/2=i（a>1）的离心率为雪，椭圆C的动弦48

过椭圆C的右焦点F,当4B垂直x轴时，椭圆C在4B处的两条切线的交点为M.

（1）求点M的坐标；

(2)若直线AB的斜率为5,过点M作无轴的垂线1,点N为1上一点，且点N的纵坐标为-直线NF与椭圆C交

于P，Q两点，求四边形力PBQ面积的最小值.

【变式3-2](2024•陕西宝鸡•三模)已知椭圆E：5+，=1(a>b>0)和圆C：x2+y2=1,C经过E

的右焦点尸，点43为£的右顶点和上顶点，原点。到直线46的距离为争.

(1)求椭圆£的方程；

(2)设。，“是椭圆£的左、右顶点，过下的直线/交E于M,N两点(其中M点在x轴上方)，求

与^DNF的面积之比的取值范围.

【变式3-3](2024•甘肃白银•模拟预测)已知抛物线C:/=2py(p>0),4为第一象限内C上任意一点，以A

为切点作C的切线I与久轴交于点B,与y轴交于点M,过点B作垂直于，的直线厂交C于D,E两点，其中点。在第

一象限，设厂与y轴交于点K.

(1)若点4的坐标为(2,1),求切线2的方程；

⑵若|KM|=4|K川,求4的值；

(3)当p=2时，连接。。,。民力K,4D,记△OKEJOKD,△力KD的面积分别为Si，S2，S3，求的最小

值.

【题型4长度（距离）的最值及范围问题】

【例4】（2024•河南信阳•三模）已知椭圆?+%2=1,尸为椭圆上任意一点，过点尸分别作与直线%:y=3x

和12：y=—3x平行的直线，分别交％，匕交于M，N两点，则|MN|的最大值为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式4-1]（2024•黑龙江•三模）已知点P是抛物线=4x准线上的一点，过点P作C的两条切线，切点

分别为48,则原点。到直线4B距离的最大值为（）

A.B.-C.-D.1

432

【变式4-2]（2024•四川自贡・三模）已知椭圆是?+，=l（a>6>0）的左、右焦点分别为F2,上、

下顶点分别为公、42，四边形公尸遇2/2的面积为2国且4尸遇1/2=今

（1）求椭圆E的方程；

⑵过点4（1,3）的直线与椭圆E相交于两点P、Q（P在Q上方），线段PQ上存在点M使得需=解,求|M%|+

IMF2I的最小值.

（x+y2=

【变式4-3]（2024•陕西咸阳•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中,圆%:2产+4,F2（2,0）,P

是圆片上的一个动点，线段的垂直平分线।与直线P%交于点M.记点M的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的方程；

1，

（2）若动直线Z与曲线C相交于Q、N两点，设（2（久为），N（x2iy2）,且句>0,%2>0,71（-1,0）,记直线4Q、

AN的斜率分别为自、的，若的的=-2,求点2到直线1的距离d的取值范围.

【题型5斜率的最值及范围问题】

【例51（2024•内蒙古•三模）已知。为坐标原点,尸是抛物线C:y2=2Px（p>0）的焦点,M是C上一点，且|MF|=

2

|M0|=|

⑴求C的方程；

(2)4B是C上两点(4B异于点。),以AB为直径的圆过点。，。为4B的中点，求直线0Q斜率的最大值.

【变式5-1](2024•湖北•模拟预测)已知椭圆£：《+，=1(a>h>0),直线匕与£交于M(-4,0),N(-2,2)

两点，点P在线段MN上(不含端点)，过点P的另一条直线％与£交于48两点.

⑴求椭圆E的标准方程；

(2)若MP=PN,Q=(7—4b)而，点/在第二象限，求直线%的斜率；

(3)若直线M4,八四的斜率之和为2,求直线％的斜率的取值范围.

【变式5-2](2024•全国•模拟预测)设抛物线C:/=2py(p>0),直线x-y+1=0与C交于力，B两点，

S.\AB\=8.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知点P为久2+(y+1)2=1上一点，过点P作抛物线C的两条切线PD,PE,设切点分别为D,E,试求直

线PD,PE斜率之积的最小值.

【变式5-3](2024・安徽・模拟预测)已知双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F2,

离心率为2,P是E的右支上一点，且△PF/2的面积为3.

(1)求E的方程；

(2)若E的左、右顶点分别为/,B,过点尸2的直线/与E的右支交于N两点，直线和的斜率分

别即为A4M和心山求四”+|/CBN的最小值.

【题型6向量数量积的最值及范围问题】

【例6】(23-24高二上・北京•期中)已知椭圆M:f+y2=1的上、下顶点为4,8,过点P(0,2)的直线/与椭

圆M相交于两个不同的点C,D(C在线段PD之间)，则瓦•命的取值范围为()

A.(-1,16)B.[-1,16]C.(-l,y)D.[-l,y)

【变式6-1](2024•湖北黄石•三模)已知M(出,yo)为双曲线好—y2=4上的动点，xo>0,y0>0,直线4：

-y°y=4与双曲线的两条渐近线交于P,Q两点(点P在第一象限)，R与Q在同一条渐近线上，则而•丽

的最小值为()

A.—8B.—4C.0D.—2

【变式6-2](2024•福建厦门・二模)已知4(-2,0),5(2,0),P为平面上的一个动点.设直线力P,BP的斜率分

别为口，七，且满足灯・七=-；记P的轨迹为曲线匚

4

(1)求r的轨迹方程；

(2)直线P4PB分别交动直线x=t于点C,D,过点C作PB的垂线交久轴于点儿近•丽是否存在最大值？若存

在，求出最大值；若不存在，说明理由.

【变式6-3](2023・上海奉贤•一模)已知椭圆《+/=l(a>6>0)的焦距为2旧，离心率为白，椭圆的左

右焦点分别为Fi、F2,直角坐标原点记为。.设点P(O,t),过点P作倾斜角为锐角的直线，与椭圆交于不同的

两点8、C.

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆上有一动点T,求可・(花-花)的取值范围；

(3)设线段BC的中点为M,当t2迎时，判别椭圆上是否存在点Q,使得非零向量而与向量而平行，请说明

理由.

【题型7参数的取值范围问题】

22_

【例7】(23-24高二上•北京平谷•期末)已知椭圆。%+%=19>6>0)的左右顶点距离为2返，离心率

为当

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点(0,1),斜率存在且不为0的直线2与椭圆。交于4B两点，求弦垂直平分线的纵截距的取值范围.

【变式7-1](2024•浙江温州•一模)已知抛物线/=4y的焦点为F,抛物线上的点久无。,即)处的切线为人

⑴求2的方程(用出,%表示);

(2)若直线，与y轴交于点B,直线4F与抛物线交于点C,若乙4cB为钝角，求y0的取值范围.

22

【变式7-2](2024•江西宜春•模拟预测)已知双曲线。a一3=1(。>0,6>0)的焦距为逐，过点P(0,l)

的直线，与C交于48两点,且当I与x轴平行时，\AB\=2V3.

(1)求C的方程；

(2)记C的右顶点为T,若点43均在C的左支上，直线分别与y轴交于点且丽=APO,PN=丽,

求4+〃的取值范围.

22

【变式7-3］（2024•安徽淮北•二模）如图，已知椭圆「:云+宏=1,（。>8>0）的左右焦点为％/2，短轴长

为6,4为「上一点，6（13）为4”1/2的重心・

（1）求椭圆「的方程；

⑵椭圆「上不同三点B,C,D,满足CF2,OF2,且IB&I/CFZI/DFZI成等差数列，线段BD中垂线交y轴于E点,

求点E纵坐标的取值范围；

（3）直线Z:y=kx—2与「交于M,N点，交y轴于P点，若丽=4而，求实数4的取值范围.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•山东泰安•模拟预测）已知点M在椭圆C:/+9=1上，％,%是该椭圆的两个焦点，贝UIMF/2+

的最小值为（）

A.9B.12C.16D.18

2.（2024・四川成都•三模）已知点P,Q分别是抛物线C:y2=4x和圆E:/+y2一10尤+21=0上的动点，若

抛物线C的焦点为F,则2|PQ|+|QF|的最小值为（）

A.6B.2+2而C.4V3D.4+2遮

22

3.（2024•全国•模拟预测）已知椭圆「京+患=l（a>b>0）的左、右焦点分别为％,F?，点P在椭圆「上，

且西•配=0.若耨€[1,3],则椭圆「的离心率的取值范围是（）

修21

A.原1）B.性用C.图D.[14-2V3]

4.（2024•西藏林芝•模拟预测）已知抛物线产=8%上一点P到准线的距离为到直线，:4久-3y+12=0

的距离为d2,则由+6;2的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.（2024•广东梅州•二模）已知点歹为双曲线C：J—y2=1的右焦点，点N在x轴上（非双曲线顶点），

若对于在双曲线。上（除顶点外）任一点尸，NFPN恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（）

C.（V3,2）U（2,y）D.（V3,y）

6.（2024•全国•模拟预测）已知。为坐标原点，直线=kx+?n（k>0）与双曲线好一看=1相交且只有

一个交点，与椭圆卷+*=1交于〃，N两点，则AOMN面积的最大值为（）

2516

A.10B.12C.14D.16

7.（2024•全国•模拟预测）已知点4-2,2）为抛物线C:/=2py上一点，P为C上不同于点4的一个动点，过

P作P4的垂线与C交于另一点B,则点B的横坐标的取值范围是（）

A.（―8,-6]U[2,+8）B.（一8,-2）U[6,+8）

C.（一8,—6）U（2,+oo）D.（—8,—2）U（6,+oo）

8.（2024・全国•模拟预测）已知双曲线。5一/=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为%,F2,\F1F2\=4,

且C的一条渐近线与直线I:旧x—y+1=0平行.A,B,D,E分别是C在第一、二、三、四象限内的四点，

且四边形ABDE是平行四边形.若4E,尸2三点共线，则△力DE面积的最小值为（）

A.12B.24C.16D.8

二、多选题

9.（2024•全国•模拟预测）已知双曲线。弓一步=1的右焦点为R动点跖N在直线/：尤=,上，且FM1FN,

线段FM,FN分别交C于P,。两点，过尸作/的垂线，垂足为R.设△FMN的面积为Si，的面积为S2,

则（）

A.Si的最小值为:B.黑

zI卜kIz

C.篇黑为定值D.2的最小值为2声

10.（2024・湖北•模拟预测）已知抛物线/=2py（p>0）的焦点为尸，过点尸的直线/与抛物线交于/、B

两点（点/在第一象限），去与离的等差中项为：抛物线在点/、8处的切线交于点M,过点M且垂直

\FA\\FB\2

于y轴的直线与》轴交于点N,。为坐标原点，尸为抛物线上一点，则下列说法正确的是（）

A.p=lB.tan乙4。8的最大值为一（

C.震的最大值为&D.|M*2+|MB|2的最小值为16

IP尸I

2

11.（2024•河南南阳•模拟预测）已知椭圆勿:一v+y2=1,点分别为W的左、右焦点，点C,。分别为加

的左、右顶点，过原点且斜率不为0的直线I与W交于4B两点，直线A&与W交于另一点M,则（）

A.W的离心率为当

B.|441的最小值为2—百

C.加上存在一点P,使NCPD=y

D.△4BM面积的最大值为2

三、填空题

12.（2024・辽宁锦州•模拟预测）在平面直角坐标系宜》中，已知双曲线M:?-y?=1经过点力（2,1）,点B

与点力关于原点对称，C为M上一动点，且C异于4B两点.若aBCr的重心为4点D（8,4）,则|D7|的最小

值.

2-

13.（2024・安徽•一模）椭圆C：vy+y2=1的左右焦点分别为尸2，点河为其上的动点•当4尸1”92为钝

角时，点M的横坐标的取值范围是.

14.（2024•全国•模拟预测）已知直线t久一y-t=0（0<t<1）过抛物线C:y2=2px（p>0）的焦点F,且与

C交于点4B,过线段的中点。作直线x=-1的垂线，垂足为E,记直线的斜率分别为口北2，七，

则的七口的取值范围是.

四、解答题

15.（2024・新疆•二模）已知椭圆。卷+，=l（a>b>0）的左